前々項(4132)に出した式は本日検算して、正しさを数値計算で確認しました。まず大丈夫です。微妙なところ(極など)についての確認は面倒かもしれません。単なるグラフ表示には十分です。
本日は普通にお仕事。なので楕円関数の複素平面表示の方はごくゆっくりとしか進みません。進んでいるのは良いことだと思っておきます。今度の週末に頑張れるかどうかです。
それにしても、ネットは落ち着いている感じだし、通勤電車などから外を見ている範囲では日本はとても順調な感じです。当方もおかげさまで何事も無く。
本日は内勤で、ルーチンワークの日でした。職場近所の街中は特に変わったことは無し。週の後半は少々忙しくなりそうなので、一旦のまとめを。
ヤコビの楕円関数の加法定理の公式の分母は3関数(sn/cn/dn)とも同じ形をしているので、[ (実部 + 虚部) / 分母 ] (分母は実数)の形に整えると、とりあえず分母は同一となります。まず、その整えた式を、
sn(u + iv) = (sn1(u + iv) + i sn2(u + iv)) / sn0(u + iv)
cn(u + iv) = (cn1(u + iv) + i cn2(u + iv)) / cn0(u + iv)
dn(u + iv) = (dn1(u + iv) + i dn2(u + iv)) / dn0(u + iv)
と表記します。
現在のところ、私がグラフにして見ているのは、
sn0(u + iv) = [(θ1 u)^2 (`θ1 v)^2 + (θ0 u)^2 (`θ2 v)^2]
です。ただし、`θは母数がk'、つまり補母数の楕円テータ関数です。θ'と書くと導関数になってしまうので、とりあえずバッククオートで区別することにします。θの母数はもちろんkです。
分母は3関数で共通なので、
sn0(u + iv) = cn0(u + iv) = dn0(u + iv)
です。分母が0となる場所が極(無限大)になります。実数の2乗の和になっているので0になるのは[(θ1 u)^2 (`θ1 v)^2]と[(θ0 u)^2 (`θ2 v)^2]が同時に0となる場所です。つまりuが整数で、かつ、vが半整数(整数+1/2)のところが3関数とも必ず極になる、ということ。
つまり、複素変数のsn/cn/dnの極は同じ場所にあります。分子と分母の決め方には任意性があるので、こうした言い方はなかなか楕円関数の教科書には載っていません。
先に行きたい方のために、この時の分子の形を書いておきます。
sn1(u + iv) = k'/k [(θ1 u) (θ0 u) (`θ3 v) (`θ0 v)]
sn2(u + iv) = k'/k [(θ2 u) (θ3 u) (`θ1 v) (`θ2 v)]
cn1(u + iv) = k'/k [(θ2 u) (θ0 u) (`θ2 v) (`θ0 v)]
cn2(u + iv) = - k'/k [(θ1 u) (θ3 u) (`θ1 v) (`θ3 v)]
dn1(u + iv) = k' [(θ3 u) (θ0 u) (`θ2 v) (`θ3 v)]
dn2(u + iv) = - k' [(θ1 u) (θ2 u) (`θ1 v) (`θ0 v)]
まだ完全には未確認ですが、ブログと言うことで先走りして書きました。何となく想像をかき立てる式の形をしていると思います。なのでどのようにグラフ表示するのが効果的なのか、あれこれ考えています。
明日、7月19日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、三浦あずさ(オリジナル765)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。
当方はしっかり3連休したので、なんとか気力を振り絞って、ではなく、単に気分が向いたから懸案になってしまっている、趣味のヤコビの楕円関数3種の複素平面表示計画を進めました。
表示の際の取り決めと、数式を表示しやすくするための下準備が必要なのです。
複素変数の楕円関数に関しては、戸田盛和「楕円関数入門」の第10章にやり方が載っていて、概要を述べると、sn関数の加法定理が複素域でも成り立つのを利用して、uとvが実数の時、
sn(u + iv) = (sn u cn(iv) dn(iv) + cn u dn u sn(iv)) / (1 - k^2 (sn u)^2 (sn(iv))^2)
( i は虚数単位。 ^ は累乗)
で、純虚数の楕円関数の所をそれぞれ、
sn(iv, k) = i sn(v, k') / cn(v, k')
cn(iv, k) = 1 / cn(v, k')
dn(iv, k) = dn(v, k') / cn(v, k')
に置き換えれば良い、とのこと。k'は補母数で、母数kとの関係は、
k' = √(1 - k^2)
です。先に試してみたい方のために、他の楕円関数の加法公式は、
cn(u + iv) = (cn u cn(iv) - sn u sn(iv) dn u dn(iv)) / (1 - k^2 (sn u)^2 (sn(iv))^2)
dn(u + iv) = (dn u dn(iv) - k^2 sn u sn(iv) cn u cn(iv)) / (1 - k^2 (sn u)^2 (sn(iv))^2)
です。3種とも分母の形は同じです。また分子は綺麗に実部と虚部に分かれています。
これらをそのまま数値計算することはもちろん可能です。しかし、楕円テータ関数を計算途中で使うと効率が良く、楕円テータ関数は4種しか無いので大幅に重複する可能性があり、実際、重複します。なので式の整理が必要ですが、楕円テータ関数での表現はこの本には書いてありません。手元にある他の公式集にもありません。
これを計算する(式の変形)のが第一課題、ということ。
式の変形は機械的に出来ますが、考慮点は「極」(分母が0になる点)の存在です。これは今回の複素平面表示のポイントの一つですから避けて通れません。具体的にはsn関数を3つの実数関数に分解して、
sn(u + iv) = (sn1(u + iv) + i sn2(u + iv)) / sn0(u + iv)
の形にします。これを本日、必死になってやった、ということ。表計算ソフトでこの3種の部分関数のグラフを(sn/cn/dnとも)描いたので、しばらく眺めて、次の戦略を練ります。
割と綺麗な式や定数が出てきたので、多分正解と思いますが、頭を冷やして少々観察することにします。
想像通りというか、複素数はガウス平面ですから2パラメータで十分なのに、3パラメータとなって同次座標の感じとなります。分母のsn0が0になっても、sn1とsn2が都合良く0にはならず、これを通常はリーマン球面の北極点にしてしまうので、多少乱暴な気がします。その代償というか、「留数」というのを極の属性として持たせるみたいです。
リーマン球面の平射図法では無く、心射図法にすると無限遠点は円周になり、しかし対蹠点は同一視するのでトポロジーは球面では無く射影平面になります。これについて述べている本がある、と思っているのですが難解で今のところついて行けてません。簡単な調査方法があれば便利なので、時間があれば探ってみます。
経済協力の枠組みであるTPP(環太平洋経済連携協定)に本日、英国が加入したそうです。報道では欧州と連結したとの表現が見られて、しかし私はどちらかというと海路というかアフリカ大陸をぐるっと回ってインド洋から太平洋に抜ける道が開けた感じがします。
すでに経済協定はあるので効果は限られている、という意見が目立ちますが、英国は経済力があり、その裏打ちとなる外交・軍事力に長けていて、なにしろG7の主要国であり国連の五大国の一つであり、核戦力を保持している国です。
科学・文化面でも目立つ国です。私は中東には行ったことがありませんが、インドや東南アジアではアルファベットは英語の看板が目立ち、英国綴りです。香港の最近は知りませんが、ずっと以前に行った時はもちろん英国風でした。日本に来ると突然、米国風となり、多少変わった国に見えます。
現在でも我が国の最大の貿易相手国は米国でしょうけど、この際、英国風を見ておくのも悪くない選択と思います。私の世代だとビートルズや人形劇のサンダーバードで、映画の007やMr.ビーンなどで英国文化の一端が分かるはずです。
科学ではニュートンやホーキングはたいていの人は知っていると思います。コンピュータでも英国一国で歴史が語れるほどの内容を持っています。
身近なところでは、流通している日本語ワープロが米国綴りしか対応していないのを何とかして欲しいです。少し以前に英国の数学書と取り組んでいる時に難儀しました。
まあたしかに、これからです。少しの効果が見られるのにも1～2年はかかると思います。これからの数年間をかけて、どこでどのように連携できるのかを探らないといけません。
本日は土曜日で私は休日です。今度の8月は毎年同様に忙しくなりそうなので、今は力をためておく時期です。必要な家事以外はほとんど何もせず。
現在の懸案の、ヤコビの楕円関数の複素平面表示の準備は非常にゆっくりの進行です。多分、高校か大学1～2年の頃なら一週間ほどで片付けていた内容と思います。別に急ぐ必要も無いのでこのままのペースで。
国内では梅雨末期の豪雨の地域があるそうで、当方も先週に一瞬でしたが大雨に遭いました。国際関係ではウクライナというかロシアというか、東欧の情報が少なくなっていて、微妙な時期なのだと思います。中国からの情報はめっきり少なくなりました。
手近にWindows7のノートパソコンがあって、最近作ったプログラムを動作させようとしたらVisual Cのランタイムルーチンが無い、と表示されます。いわゆるリリースバージョンでも起動しません。しかし、対策は簡単で必要なファイルはすぐにダウンロードできました。消極的なサポートは続いているようです。こちらとしても、このノートパソコンが壊れても修理に出すことは無いと思いますが、サポートは嬉しいです。
本日は半日出張。多分、製造業に分類される事業所を訪問しました。内部がぐっと綺麗になっていて、おそらく社員向けの自社の事業内容の分かりやすいパネル説明が壁に貼られていました。業界が違うので、適当に想像で補って、と。
一部で燃料のようなものを作っていて、資源活用の感じでした。我が国は資源に乏しいと言われますが、経済規模は大きくて国内で動いている「資源量」は莫大なので活用はいろいろと考えられるようです。例のSDGの一環なのかもしれません。
仕事は午前で終わったので、昼食と称して職場近所のショッピングモールへお出かけ。併設する大型書店でいつもの一般向け数学雑誌の2冊を購入。こういうのは一気に読まないといけない気がするので、さっきざっと目を通しました。なかなか論点が興味深いです。いや、深いところは分からないのでそこはフィーリング理解で補って、と。数理論理学は今でも検討の値打ちがあるようです。
これよりもぐっとくだけた一般向け科学啓蒙特集雑誌でブラックホールが取り上げられていました。時流の話題をうまく取り入れていてイラストの綺麗なこと。ただ、時空の取り扱いについてはもう少し何とかすべきだったような気がします。エントロピーも同様。このあたり、興味を引く話として紹介するのは難しいのかな。
本日は一日出張で、自分の趣味については簡単な計算をしたのみでした。明日からは数日間、時間が取れそうなので一気に仕上げるかどうか、気力が湧けば良いのですが。
日本のNATO入りは一旦棚上げになったそうです。どうやら主要各国の思惑があるようで、外から見ていると何が何だかの感じがします。いずれにしろ、緊密な連絡は必要な気がしますが、それは従来通りでしょう。
ニュースというかネットの感じでは、生成型だったかの人工知能ブームが急速にしぼんでいるとのこと。一瞬の流行だったような気がするので、どこかの宣伝か何かだったのかと邪推します。OR(operations research)指向の「人工知能」は統計の活用の意味だと私は思っていて、必ず役立つはずだと思っていたのでちょっと意外でした。今のままでは数ヶ月後に覚えているかどうかの感じです。まあ、最も影響を受ける業界があれのような気がするので、もっともな経緯なのかも。
本日、7月12日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、田中琴葉の声優、種田梨沙さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で精鋭Pがお祝いのPVを上げています。
本日は内勤。昼休みに職場近所の量販店に行ってほとんどカラーコピー機と化している部署内のプリンタのインクを購入。先代の所長が個人的に勝手に置いていったもので、管理者がはっきりしていないのです。あれば便利の位置づけです。
で、ここは主要駅の近くで、なぜか普通の平日なのにサヨク(?)の人々がこぢんまりした集会をやっていました。何かありましたか。目立ったニュースと言えばスウェーデンがNATO入り確実になった、事くらいでしょう。確かに大きなニュースですが、東アジア情勢にそんなに変化をもたらすのかな。
あとは暑い以外は特に何も無いはずです。
本日は月曜日で普通に勤務日で普通にお仕事。午後からは出張だったので、早めの昼食のために職場近所のショッピングモールにお出かけしました。
併設の大型書店に行って、新刊の棚に理工学者の書いた線形代数の復刻版の文庫本があったので購入しました。まだ最初の章しか読んでいません。
そういえば、大学に入って数学としての線形代数の授業の他に、物理学の教授が教科書の冒頭にあるベクトル解析の部分を丁寧に解説していたのを思い出します。それと内容がそっくりでした。
特徴は開始早々ベクトルが出てきて、しかも基底(base)と成分(component)の構成をはっきりと言うこと。実を言うと私は大学の時にはここはふんふんと気軽に聞いてしまったためにあとで慌てることになったりして。
要するに物理学では基底(単位ベクトルの一式)が変化したときに当然、成分が変化するのですが、ベクトル自体は変わらないので、式に不変の部分が出てきて、それはどれかの議論をこれでもかとやります。
結局は固有値と固有ベクトルの話になるので、数学の授業と内容が一致するのですが、計測してメーターに出てくるのは成分ですから、どうやらそれが念頭にあるみたいで、いろいろと前提が多いように感じます。
まず、基底ベクトルが空間を張る、と言う表現が無く、ここは多分普通の選択公理が働いているはずで、元のベクトルは非可算無限個のはずです。ベクトル空間の無限次元という場合は多分、可算無限のことで、実際に計算に入る場合は高々有限個になるのだったか。
しかも、基底の変化による成分の変化の時に、反変ベクトルと共変ベクトルが出てくるはずなのに、こちらは補遺に回されて双対ベクトルという用語になっていて、さらにしかも我々のいる空間が3次元である前提が組み込まれていて、スカラーの扱いが0次元なのか3次元なのかいまいち。ちなみにベクトルは1次元か2次元で、後者の取り扱いはやや独特になるはずなのに、そのままベクトル(直交座標の時は動きは同一)。
そのため、前段落の問題が出てきたら新用語どころか新概念が続出の感じがします。ちなみに、私が数学系の古典を読むときに頼りにしている1950年代の数学公式集ではベクトルは幾何学の話題の最後の方に出てきて、テンソルの話まで出てきて、ここで一旦すっきりと落ち着いて、しかしその先は微分幾何学でここが話題豊富です。
今から思えば、その大学初年度の数学も物理も、産業界が要求する大量の技術者の養成ための授業で、余計なことは教えない、の感じです。線形代数と言うとき、ベクトルと行列の単純計算で何とかなる範囲のこと、みたいな感じ。ある程度まではそれで押し通せるのですが、当然ながら万能では無く。欲を言えばそのあたりの事情もごく初期に、とぶつぶつ。
今のところ、複素平面で極(無限遠点)のある場合の表示はヤコビの楕円関数の3種(sn, cn, dn)で始めようと思っています。もっと簡単な有理式はその後に試す予定です。
値域は複素数のリーマン球面となり、南極が絶対値0で北極が絶対値無限となり、絶対値の等高線は緯度に相当することになります。つまりtanの逆関数、atanの等差でまずは試す予定です。偏角は経度に相当し、前回同様の色分けにします。
などなど、あらかじめ予想しながら取り決めを決めて行きます。構想というやつ。私の場合はここをかっちり決めておいて、しかし進行に伴って柔軟に変更して行きます。元があるから迷わないし、途中で破綻しても立ち戻る基点がありますから。まあ、お蔵入りしたアイデアの方が多かったような気はします。
ネットでは2重周期に対して正方格子の表示が多くて、しかも縦横の周期(KとK')が同じ長さで表示されています。参考文献1では平行四辺形になっていて、アフィン座標(直線は直線だが角度には意味が無い)のつもりなのか、あるいはモジュラー群(頂点が整数点で面積が1)と言いたいのか。こちらの対策も一応は考えなきゃ。
本日は私はお休みの日。普段通りの家事の他はゆっくりと過ごしました。
国内動静も普段通りのようです。ゆっくりと前に進んでいる感じです。
国際ニュースでは英国が今月中旬にもTPPに加入することになったそうです。経済の枠組みなので、規模の大きい英国の参加はEUに匹敵する経済圏の出現だそうです。
ニュースと言えば、数学のABC予想に対して理論の本質的な欠陥を指摘した論文の執筆者に莫大な賞金が出る、というのがありました。私はあまり調べていませんが、整数論の範囲の予想のようです。どうなるのかに関してはちょっと気になります。
q値から出発する表計算ソフトのプログラム(?)はk値からのものとほとんど同じなので掲載しません。おそらく複素平面でのヤコビの楕円関数の表示を近々公開しますが、その時にC言語のソースとして掲載する予定です。
つまり、大した改良にならなかったと言うこと。元の公開中の表計算ソフトのプログラムでもq=0.6程度までは表示できます。改良後でもq=0.7程度がせいぜいで、原因はおそらく64bitのIEEE倍精度浮動小数点演算の精度の限界だと思います。これ以上の極端な値を望むのなら、大幅な改良が必要と言うことで、現在の私の目標からは外れてしまいます。
そのq=0.7のグラフを示します。
dn(v)のグラフは省略しました。これを見るとsn(v)のグラフがほぼ方形波になっています。cn(v)の方はインパルス波で、何となくRSフリップフロップの動作のグラフのようにも見えます。これ以上1に近いq値を指定すると本法ではグラフが崩れます。
ちなみにこの時のK値は13.836程度で、つまりk=q=0のサイン波の8.808倍程度に周期が延びています。
おそらくリバウンドというかリンギングは起こりません。フーリエ解析で出てくるギブズ現象は起こりません。
方形波を見た時に、いくら何でも時間0で遷移はしないだろうと思えると思いますが、アナログで表現すると接続部はこのようにtanh(t)に近い動きをします。cnの方はおそらくsech(t)です。ディラックのδ関数は理想状態で、現実にはこのような双曲線関数で近似されていると思います。
下にはその時の4種の楕円テータ関数のグラフです。おそらくq=0.99程度になるとこちらも幅が狭くなってインパルスに見えそうな気がします。
