本日、7月7日は七夕です。いつものようにPS4のスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pが七夕にちなむPVを上げています。
旧暦の七夕は、今年は8月22日のようです。こちらだと晴れていることが多いかも。
以前に掲載したヤコビの楕円関数の実数部分のグラフ表示の数式に誤りがありました。お詫びして訂正します。
k値では無くq値から出発したグラフを作ってみましたが、その訂正前のグラフとも印象が全く同じでした。数式が複雑になるだけでほとんど変わりません。
明日、7月6日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想芸能事務所、765プロダクションの社長、高木順二朗社長の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。
本日は一日出張でした。厳しい仕事では無いものの、時間は取られます。昼休みが長かったので多少の計算を、と。
楕円テータ関数のq値について、0.99等の極端な値を試しておく値打ちがあるような気がしてきました。ふつうのk値では無く、こちらは極めて極端な値になります。つまりテータ関数の級数の有効項数(?)が少なくとも10個ほどは欲しい、ということ。参考文献2に載っている極端な場合の楕円テータ関数、つまりディラックのδ、インパルスの繰り返しのグラフがどこまで再現できるかです。
対応する物理現象があるかどうかは全く不明で、今のところ趣味の領域です。なんだか楕円関数には魔力みたいなのがあるような気がしてきました。毒が回らないうちに撤退した方が良いような気がしますが、ある程度のめり込まないと様子すら分からないし、のジレンマ。
無理矢理例えると、ひも理論のひものような感じです。楕円がほぼ平らになってずっと伸びて行く感じ。級数は良いとして、肝心の元の関数がまともな楕円関数になっているのかすら私には不明です。
逆にとある現象が観察できたら、私にとっては嬉しいです。つまりsn(v)のグラフがリバウンド無しの矩形波に見えたら成功。リバウンドが見えたらさらに面白いし。
多少疲れていたのか、前項の解説は妙なところがありました。差し替えます。元のを見てしまった方、申し訳ありません。
本日は普通の勤務日でした。特に街中も変わった感じは無し。まだ梅雨空で、しかし季節柄、新緑が映えます。
国際情勢のためか、ネットの一部が陰鬱な感じになっている気がします。日本の景気は良好なので、こちらの心配はありませんが、いわゆる南北問題は深刻化しそうです。とりあえず、現在の流動的な感じが落ち着くまではなかなか手出ししにくいと思います。
楕円関数の今回の考察は一旦落ち着く所に来た感じなので、今回が一旦の最終回です。少し補足します。
ヤコビの楕円関数の実数部分を計算する場合、母数k (楕円の離心率eに相当)から出発する方法が大抵の解説書に載っていて、これを元に第一種完全楕円積分K(k)を算出します。以下、kは固定の話になるので単にKとも書かれます。sn(u)とcn(u)関数の場合は4Kが一波の周期となります。dn(u)の周期は2Kです。
計算の途中で楕円テータ関数というのを採用すると数値計算が容易となります。ここで必要なのがq値で、
τ = i K'/K
q = exp(τπi)
で算出します。iは虚数単位で、exp()は自然対数の底eの指数関数です。肩文字が煩わしいので関数形で書きました。このように表示している参考書はあります。両者を合わせると、
q = exp(-π K'/K)
です。ここで、K'は補母数k'、
k' = √(1 - k^2) ( ^ は累乗)
から第一種完全楕円積分で算出された値、K(k')の事です。
k → K は正式には定積分の数値計算ですが、Kを介さずにk → qをl値を経由する便法があって、広範囲で使えます。
qが先に算出できたら、KとK'は楕円テータ関数経由で、
K = (π/2) (θ3(0))^2
K' = (K/π) log(1 / q)
と計算出来ます。
楕円テータ関数は4種あり、いずれもq値の級数となっていて、非常に速く収束するので公式集に載っている級数をそのまま計算機で実行します。
これらの知識があると、k (0 ≦ k ≦ 1)ではなくq (0 ≦ q ≦ 1)から出発するのが可能となります。
kやk'をqから逆算するには、
k = (θ2(0) / θ3(0))^2
k' = (θ0(0) / θ3(0))^2
を使います。
ちなみに、補母数k'に対応するq値、q'は、
q' = exp(-π K/K')
で、上述のqの式と合わせると、
q' = exp((π^2) / log(q))
後は笑い話になりますが、数学書でlog()は自然対数の底eが底になっていて、表計算ソフトではLN()を使います。LOG()は常用対数(底が10)の関数です。あと、セルの指定を一行間違えて慌てたことがありました。なかなか発見しにくいバグとなります。
ワイエルシュトラスの楕円関数の方は定義域の方が二重被覆のリーマン面になっているような気がしてきました。何となく私が見ている解説に歯切れが無いのはそんな感じのことが起こっている感じです。二重周期の状況を把握するにはヤコビの楕円関数で十分ですし、ここでの目的は適切な複素平面表示なので、こちらで行くことにします。
まあ、私が高校生か大学生だったら面白がって考察を進めて行くところです。もう一つの方向は値域がリーマン球では無く射影平面の場合で、おそらく別の楕円関数の本で考察されています。まだざっとしか見ていません。やや難解な本なのです。
思わぬ広大な領域に突っ込んでしまいました。興味は尽きないところですが、隣接する分野で物理応用に絡んでいるところがあり、そちらも深そうなのでどうしようかな、の感じです。私が知りたかった方向とはどんどん離れている気がします。気になると言えば気になるので、空き時間を見つけて時々帰ってくる感じにしたいです。
元々はいわゆる有理関数の複素平面表示が目的だったので、楕円関数に近づいたのは勉強にはなりましたが、寄り道した気がします。おかげさまで理解がずっと深まり、面白かったですが、普通の複素関数に戻ろうと思います。
