で、その解説書を見始めたのですが(数度目のトライのはず)、いわゆる技術系の線形代数のまとめの章(ここはとても良い出来)が終わって、いよいよ行列の変形の話になったら、いきなり固有値を求めて下さい、ですと。固有値が求まるのなら、さっさと普通の対角化をすれば良いのではないか、というのが私の感覚ですが、どうやらそうでは無いみたいで。
著者は初期の計算機科学では割と有名な方で、当時の大型機で構造計算などの大型計算を何とかこなさないといけない、と書いてあれば良いのですが、数学書の体裁を保つためかそのあたりは曖昧になっているようです。
で、構造計算で有限要素法を扱うとして、3次元を素直に再現するのならメッシュは簡単に百万点は超えてしまい、数百万次方程式の解を求めるのは、それはそれで大作業で、あっさりと固有値を求めて下さい、などとは言えないはずです。
いや、私の今回の目標(微分幾何学 / 曲面論)からは遠ざかっているので、ジョルダン標準形回りの話題は一旦棚上げさせていただきます。
とはいえ、何を考えていたかは言い訳のために書いておく方が良いでしょう。(ベクトル)空間の次元をnとしてn-1回の、行列式が1の剪断変形だけで、n次元超球から同容量の任意のn次元楕円体に変形出来ると考えたのです、少なくともパラメータの数はつじつまが合います。
とすると、空間を正方格子に分割して、その正方格子内にn次元超球を内接の感じで埋め込み、容量を変えない剪断変形により同容量のn次元楕円体に変換させます。楕円体ですから二次関数で、どこを切っても楕円(体)になるはずなので、いわゆる四重極子しか出てきません。これがスピン2の重力子の(幾何学的?)起源を連想させます。つまり、線形の変形だけではスピン2が上限、だと考えました。何となく、一般相対性理論や(拡張?)ゲージ理論に役立ちそうな気がしたのです。
なお、外枠の超立方体は同容量の平行2n胞体に変形されます。平行四辺形、平行六面体…の系列です。こちらはこちらで、斜交座標でのベクトルの扱いに便利な図と思えます。適切な図が描けたら披露します。
座標変換だけだと、そのn次元楕円体のn本の(互いに直交する)主軸がどちらを向いているのかは関心の外です。主軸の方向を知るには確かに固有値を求めないといけないでしょう。
それにしても、数学書は割とはっきりと意識されていますが、物理系の解説書ではやはり3次元空間が暗黙に仮定されているようで、そこでしか役立たない数式では無いのか、の疑いが晴れません。まあ、このあたりも含めて、今回の数学の旅の目標です。
