線形変換はよく知られているように(何次元でも)、
(変換後の列ベクトル) ＝ [変換を表す正方行列] × (変換前の列ベクトル)
の形になります。並進(平行移動)を追加すると、任意の変換(並進、回転、鏡映とその組み合わせ)になります(すべて実数)。
コンピュータグラフィックスとかやっていたら、なんて当たり前のことを今更、の感じです。ですが、数学では公理から一階述語論理を駆使して証明しないことには頼れる定理にはなりません。しかも、こんな基本的な所で論理的に崩れると洒落にならないので、慎重に事を進める、ということ。
ちなみに、書籍「ユークリッド原論」が今でも翻訳されて書店の戸棚に並んでいるのは、理由のあることです。微積分の開祖、この世を支配しているニュートン力学の始祖、碩学中の碩学、ニュートンですら、最初はユークリッドの論証が冗長に思えたそうです。ですから、今の学生が数学に抱く感想は、古典の時代も近代の時代も同じだと思います。
現在の、微積分や連続の概念を知ってしまった今から振り返ると、ユークリッド幾何学は、たまたま偶然が重なっただけのラッキーな数学体系、でしょうけど、その真摯な態度は今にも引き継がれていて、私の感想では、人間の素直な直感と一階述語論理は頼ってOKということ。
述語論理と言えば、私は中世のスコラ哲学を想起し、面白い三段論法(多数ある)をしていたと思うのですが、アンラッキーなことにそれを解説した啓蒙本を遺失してしまい、追えません(wikipediaでは、三段論法は歴史抜きにあっさり出てくる(英語版には歴史章あり。てか、ここを無視してはいけないです、日本語版様)。ベン図での解説には笑った)。
ラテン語の基礎とともに、科学するならこのあたりは教養として押さえておきたいところと思います。
西洋思想と言えば、他に聖書外伝(ドラゴンが出てくるやつ)とか、錬金術(ホムンクルスはこれだったか)とか、占星術(元はバビロニア文明だったか)とか。ヨーロッパのキリスト教会に、我が国の仏教寺院の餓鬼みたいな感じで飾られているガーゴイルだったか、なども、どこでどうこちらに伝わったのか、何となく理解できるのが興味深いです。
またもや表題に達しなかったので、気分が持続するなら続きを書きます。
