3643. 楕円関数、おまけ

　ううむ、なぜかインターネットが不思議なほど快適な状態です。何かあったのかな。

　前項のたたみ込みとローパスフィルタの下りは説明しないといけない気がしてきました。

　アナログコンピュータの積分器を使った線形2階微分方程式の解は、いわゆるインパルス応答とかステップ応答とか呼ばれていて、インパルスの方は一瞬(理論上は時間ゼロ)の衝撃を受けたときの系(システム)の応答、ステップは0が続いていてスイッチを入れた瞬間に1になってそれが持続するときの系の応答です。インパルスの方が理論上は基本です。
　で、ローパスフィルタと言うときは入力は音声とか音楽とかの波形で、様々な周波数の不規則な成分がある信号です。この一瞬一瞬をインパルスの一撃と解釈して、その一撃のエネルギーが波形に応じて時間変化すると解釈し、インパルス応答と重ね合わせると出力が計算できるという塩梅。これがたたみ込み(convolution: コンボリューション)です。

　ええ、もちろん理想的には微積分の無限小時間で考えるべきですが、現実の浮世ではそうは行かず、特にデジタル計算の世界では微分が差分になってしまって無限小からは離脱するので、困ったことに考える空間のトポロジーが変化してしまいます。このあたりの事情はデジタルフィルタで検索すると、もしかすると出てくるかもしれません(例によって、日本語版wikipedia、どなたか頑張って下さい。英語版に圧倒的に負けてます)。

　楕円関数に戻ると、前項で私が読んだ本では楕円曲線は複素数だから実質的には平面である、と解説されていたのですが、私の記憶とは異なります。
　楕円関数の元となった楕円の道のりの長さを表す積分に出てくる√(xの三次/四次式)をyと置くと、y^2 = xの三次/四次式が書けて、これはxyの平面グラフで表せるので、これを楕円曲線だと思っていました。楕円暗号の本でもそのように紹介されているはずです。なかなか印象的なグラフですので、興味のある方は楕円曲線でweb検索してみて下さい、すぐに出てくるはずです。

　もちろん、こちらの楕円曲線と楕円関数は繋がっていて、その詳細は興味あるところですが、当面の私の関心では無いのでどうするかな。たまたま数学者アーベルの楕円関数論を解説した本が手元にあって、ガウスが生きていた19世紀前半の数学で流行していた話題のようです。群論で有名なガロアもこの当時の数学者です。アーベル共々短命の数学者で、フランス市民革命の世相の影響かも。
　音楽のモーツァルトやベートーベンもこのあたりの時代の人で、欧州では激動の時代だったようです。科学の革命は20世紀初頭あたりですから、その100年ほど前の話。我が国では天明～文化・文政の時代で、平賀源内の少し後の時代です。杉田玄白がこの時代の人。