3628. 数値計算

　常微分方程式はとある数学文庫を読んでいて、こちらはこちらで話題は面白いですがなかなか私の知りたい箇所に近づかないです。なので、別の常微分方程式の数値解法の本を読んでみましたが、最初はものすごく難解に感じました。
　結局、後者の本は数値解析をする場合のサンプリング点というか量子化のやりかたによって計算後の微分方程式の数値解が真値とどう異なってくるか、というかなり高度な話題を扱っていたので、常微分方程式自体については当然の知識みたいに扱われていたから、のようでした。

　具体的には常微分方程式の連続値をデジタル計算機で直接扱うことは出来ないので、サンプリングして差分の問題に置き換えます。最も基本的なのがオイラー法で、差分をweb検索すると出てくるように、前進と後進の2種があり、本書でのお勧めは中間値法、つまりルンゲ・クッタ法で、その中間値の決め方に幾分の任意性があって、それらの特性の解析のようです。まあ、ここまで高度になると普通は市販の応用別のソフトを買って使うことになるので、その中身の技術解説と考えれば良いみたいです。

　ふう、なのでこれはざっとの理解で済ませておいて、必要になったら必要な部分を読み返せば良いような気がしてきました。
　とはいえ、常識で済まされているのか、述べられていない事項が気になりました。

　つまり、連続値の空間と離散値の空間はトポロジー的に異なるのです。これはデジタル信号処理を学習する際の最初の壁で、s変換とz変換の違い、と言えば分かる方には分かるはずです(後者は複素対数関数のリーマン面みたいになっている)。
　フィーリングで言うと、CD等のデジタル信号ではサンプリング定理とか折り返し雑音とかのアナログ処理では出てこない概念が入ってきます。ただし、その代わりとしてその範囲内では細かい処理、特に位相情報の制御が楽になります。
　ややこしいのは、離散の話題なのにz変換の空間は連続なことで、要は説明のためのトポロジーです。ここが突破できれば、嘘みたいに理解が楽になります。

　2階以上の微分方程式にも周期解が出てくるので、同様の考え方は微分方程式自体にもあるはずです。今の私は群論を多少心得ているので、何となくは分かるのですが、まだその内容を説明できるほどの知識はありません。