数学の美しさ

　私立中模試からの出題。場合の数の問題で、見かけは簡単そうだが、論理的に考えていかないとこんがらがってしまって正解にたどり着けない。なかなか厄介な問題だ・・。

【問い】


　上の図は、１辺の長さが１cmの正三角形を２４個使って正六角形をつくったものです。点Ｐは、図形の真ん中の点Ｏを出発して、正三角形のそれぞれの辺上を毎秒１ｃｍの速さで動きます。
　このとき、点Ｐが点Ｏを出発し、４秒後に点Ｏにある進み方は全部で何通りありますか。ただし、同じ辺や点を何回通ってもよいものとします。


　この問題の対象である小６年生は言うまでもなく、国立大学合格を目指す浪人生にも解かせてみたができなかった。偉そうに言う私でさえも、正解を導き出すのにかなり苦労した・・。
　だが、世の中には頭のいい人はいくらでもいるもので、「この問題はこうやって解くんだぞ」と理路整然として、美しくさえある模範解答が教師用の解説に載っていた。それを見て、「私にはとても思いつけない」とすぐに脱帽してしまったほどなので、以下にその解法を載せておくことにする。



　最初の１秒をＯＢと進む場合を考える。
　　①最後の１秒（３～４秒後）がＢＯのとき、２秒かけてＢからＢにもどればよいから、６とおり。
　　②最後の１秒がＣＯのとき、ＢからＣへ２秒で行けばよいから、２とおり。
　　③最後の１秒がＤＯのとき、ＢからＤへ２秒で行けばよいから、２とおり。　　
　　④最後の１秒がＥＯのとき、ＢからＥへ２秒で行けばよいから、１とおり。
　　⑤最後の１秒がＦＯのとき、③と同様に２とおり。
　　⑥最後の１秒がＧＯのとき、②と同様に２とおり。
よって、あわせて、６＋２＋２＋１＋２＋２＝１５（とおり）。
　最初の１秒がＯＣ、ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ、ＯＧのときもそれぞれ１５とおりずつあるから、全部で、１５×６＝９０とおり。

　素晴らしい！！
　数学の美しさには時々驚かされる。高校の時にもっと数学が好きだったら、もうちょっと違う人生を歩んでこれたかも・・。