本日は半日出張でした。訪問した事業所は内部の改装は終わって、今は本業の拡大に専念している感じでした。活気があります。
微分幾何学の方は、3次元内の曲線については曲率と捩率(れいりつ)、3次元内の曲面については第一・第二基本微分形式、の4つが最初の重要キーワードのようです。その後は少し経緯があって、曲率テンソルの話で一旦落ち着くようです。ですから、その4つの数式を丹念に理解するのが最初の一歩のようです。今週やるのはそのあたりになりそうです。
微分幾何学では曲線と曲面はパラメータ表示(媒介変数表示)されているのが肝の一つのようで、ですからユークリッド直線と平面からの写像になっています。その関数を微分した、微分方程式に出てくるような式の感じで記述するみたいです。
微分と物理次元には密接な関係があり、一つ次元が下がります。我々が住んでいるのは3次元なので、3を法とした感じとなり、スカラー量を1回微分すると共変ベクトルに、共変ベクトルを1回微分すると反変ベクトルに、反変ベクトルを1回微分するとスカラー量に戻るはずです。この0/3次元とスカラー、1次元と反変ベクトル、2次元と共変ベクトルの対応は3次元空間だからそうなっている、いわば偶然のはずで、任意の次元を考えるのなら微分形式の方が数えやすい。これが今のところの私の理解で、曲率テンソルでいきなり突然、反変・共変ベクトルが出てくる感じがするのは、そのためのはずです。
まあ、このあたりは何とかして突破しないと先に進めません。その先は、まずは複素数が出てきて欲しいことで、擬ベクトル(軸性ベクトル)とか書いてあったような気がしますから、電子のスピンなどはその範囲に入るはずです。
ベクトル解析に出てくるgrad/rot/divが書いてあって、しかし流体力学の本を見るともう少し先があるような気がします。少なくとも剪断応力は何とかしないといけません。幸いなことに行列による演算の範囲に入っているので、ここも注意点と思っています。
さらにその先は、ゲージ理論(物体中の電子軌道など)や一般相対性理論と結びつくことで、そのための参考書は買ってあるのですが、今は難解です。現在の目標は、ここに到達することです。
本ブログとしては、面白い図が出てくればコンピュータに描かせて披露したいので、私にとっては重要要素です。(リーマン)曲率テンソルの各要素の解説は、私が見た参考書の範囲では見たことがないので、まずはここを最初の目的地にしています。
