週明けの普通の月曜日。本日もたっぷり働かされたような気がします。やりがいは感じるし、この歳になっても社会勉強になる、とは思っていますが疲れることは疲れる。体調は良好です。
昨日は書庫の発掘作業をしました。書庫と言っても六畳間みたいな所に机と書棚があって、本は書棚に入りきらないから床の上にも山積みで、半年前に来客があった時に慌てて突っ込んだものだから、最近見たくなった本が奥の方に埋もれていたのでした。無事見つかりました、複数。
ガウス整数とアイゼンシュタイン整数の他に似たようなものがあったな、と感じて探しました。案の定、複素平面で1の7乗根を使うのと、四元数を元にしたものがあるそうです。後者は四次元の正24胞体の対称性を持つみたいで、超球の充填を想起させます。
ううむ、こちらのコンピュータグラフィックスも進めないと。10年以上前から計画倒れしているものです。正24胞体は四次元図形ですが、胞で接していて、その胞は三次元なので超球面(三次元)に投影してから、我々の三次元ユークリッド空間に平射図法などで(再度)地図投影します。
対称性はF4と呼ばれている、四次元特有の対称性です。群論で言う基本領域は超球面上の球面4面体で、位数は1152だそうですから1152個の球面四面体で超球面上を覆い尽くします。こちらは測地線の接続や各6本の稜での面角が見所となるはずです。
細かい議論はすっ飛ばしていますから、上述の文章は細部を詰めないと正しい文章にならないかもしれません。あしからず。
