明日、4月8日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、神崎蘭子(シンデレラガールズ)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。
まあ何とかガロア理論については納得できる段階まで来ました。自分で証明するにはまだまだですが、傍観する分には今の状態でOKと思うので、おそらく一旦離脱します。
要するに、元の代数式だけだと因数分解が(四則では)途中で出来なくなり、ガロア拡大(有理数に虚数単位iや累乗根の導入)を行うと因数分解が少しずつ進んで行く、そんな感じです。
これを群論の言葉で言うと、既約群にガロア拡大を適用すると可約群になる場合があって、可約になると2個以上の互いに直交する既約群になる、とのこと。
この時なぜか「2個以上の互いに直交する」の言葉が出てこないので、私にとっては迷う原因になりました。
コクセター=ディンキン図で言うと、単純群は木構造をしていて、しかしガロア拡大するといくつかの枝が消失し、独立した葉(点)だけになると完全に因数分解された状態になる、ことのようです。いや詳細をこれ以上詰める気にはなりそうに無いので、こんな感じの説明でストップです。
で、五次方程式の代数式部分が単純群になる場合でも、対応するコクセター=ディンキン図は複数あって、そのどれなのかの話は、多分、見なかったと思います。思い出した時に考えてみます。
あと、少々分野ごとに詰めないといけませんが、一段落と思うので、今回に読んだ本を羅列して行きます。
まず、きっかけになったのは一般向けの数学啓蒙書で、再掲になりますが、
瀬山士郎。集合と位相 数学はいかに「無限」をかぞえたのか。講談社ブルーバックス(2024年)
加藤文元。数学の世界史。角川書店(2024年)
です。ここでいわゆる現代数学に興味が湧いて、次に読んだのが位相と測度のための、
彌永昌吉、小平邦彦。現代数学概説 I。岩波書店(1961年)
河田敬義、三村征雄。現代数学概説 II。岩波書店(1965年)
ですが、高価な上に難しくて、特にお勧めはしません。確かに概要は分かります。
次に、加群が出てきたので良い機会と見たのが、
清水勇二。圏と加群 (現代基礎数学 16)。朝倉書店(2018年)
で、圏論が出てきたので良い機会と思って書庫から出したのが、
S.Awodey。前原和寿 訳。圏論-原著第2版。共立出版(2015年)
です。肝心の加群が曖昧理解に終わったので、その次が、
桂利行。代数学I 群と環 大学数学の入門1。東京大学出版会(2004年)
同。代数学II 環上の加群 大学数学の入門2。東京大学出版会(2007年)
同。代数学III 体とガロア理論 大学数学の入門3。東京大学出版会(2005年)
これらは正統の数学教科書ですから部外者にはかなり歯ごたえがあるので、参考書として、
中村亨。ガロアの群論 方程式はなぜ解けなかったのか。講談社ブルーバックス(2010年)
で補いました。ガロア理論についてはもう一冊、数学啓蒙書を読むつもりです。が、その前に何となく納得できる段階に達したのです。
まとめると、集合論 → 連続・近傍 → コンパクト性 → 位相・測度、と来て、群・環・体からガロア理論のコースでした。
抽象群から始まっている本が多くて、群については具体例から入る方が良いのですが、ここを解説すると実は本ブログで好き放題言っている勢いを維持できなくなるので省略させていただきます。数項前あたりで、理解にのたうち回っている感じの表現が出来なくなりそうなので。
