4227. 多面体の論文、続き

　先週末に突如として「思い立ったが吉日」状態に入ったので、その1954年の一様多面体の基本文献「Coxeter HSM et al., 'Uniform polyhedra'」を一気に読んでしまいました。ふむ、予想通りだった部分とそうで無い部分と。
　この数学論文にも線画がとても詳しく描かれていますが、形が知りたい方は書籍「Wenninger MJ, 'Polyhedron Models'」をお勧めします。邦訳は「多面体の模型」ですが、古いので大学の図書館などでしか見られないと思います。元の英語版は簡単に手に入り(ただし高価)、英文は難しくなく、写真や模型の部品図を見るだけでも楽しいです。

　論文の方は現在の観点からは電子計算機の威力でもう少し踏み込める部分があるような気がします。
　私の一番の収穫は、「凸で無い変形一様多面体」の頂点座標が4次方程式の解になっていること。多分そうだと思っていましたが、70年も前に解決されていた訳です。ただし、かなり強引に代数的に解いています。ここは幾何学らしく図形表現できますが、そうはなっていません。論文を簡潔にするために経緯を大幅に省略された可能性はあります。4次式と分かってしまえば図形から接近しても同様になるはずなので、とりあえず無理難題に直面することは無さそうな気がしてきました。

　後は、なぜか面が省略された感じの図形と、最後の一様多面体、の詳細が分かったことです。
　最後の一様多面体「great dirhombicosidodecahedron」(グレイト・ダイロンビコシドデカヘドロン)は通常の導出方法「ワイソフの構成法」からは直接には導かれない唯一の一様多面体です。その構成法が分かりました。数学におけるたった一例外は一般化のしようが無いので現在もそのままのはずです。幸いにも模型をCGで表示するのは簡単な図形です。
　面が省略された方はもう少し英文を精査する必要がありますが、単に面プラス逆面イコール消失、の感じの解説です。私はその直前に細い図形になるので、対称性が完了すると稜(線分)になってしまって退化したのだと思っていました。ここはもう少し考察が必要と思います。

　後はなぜか密度(density)にこだわっていて、しかし面が中心を通る図形には適用できない、とされています。私はてっきりトポロジーの種数(genus)とほぼ同義と思っていたので意外でした。
　あと、ウェニンガーの書籍の方でなぜか星形に執着していた理由が、おそらくこの論文のためだと思えるようになりました。論文の最後の方で、入れ子になった図形の楽しい解説があります。

4226. 多様体の特集

　先週末に職場近所のショッピングモールに隣接する大型書店で一般向け数学雑誌の2冊を購入しました。こういうのは一気に読まないと後で読もうと置いておくと、よほどの関心領域で無い限り手つかずになります。

　特集は多様体(manifold)です。なぜそのようなものが数学に導入されたかの話から始まるのですが、私にはなかなかイメージがつかめなかったです。
　私の多様体のイメージは平面や空間みたいなもので、(関数や微積分で)どこをとっても均質なもの。トポロジーで言う単体とほぼ同様です。単体(シンプレックス)の反対語は複体(コンプレックス)で、例えば円盤は2次元の中身と1次元の外縁から構成されます。球面にすると単体になり、いわゆるコンパクト化と概念が重なると思います。まあ、このような説明は中学レベルと思われるのか、めったに見ません。
　多様体という時、(可算)無限に分岐したり、(多分、非加算無限に)しわしわになったりした場合にどうなるかは、一時期盛んに解説を見たような気がします。

　連続群と実際の空間(多様体)の関係が割とまとまって見られるので良好な特集と思いました。この部分はしっかり言っておかないと、3次元ユークリッド空間、または4次元ミンコフスキー空間に特有の現象なのか、(任意の次元の)一般的な話なのかは、超弦理論あたりを鑑みると理解しておきたいところです。

4225. 中の人の誕生日

　明日、10月15日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、白瀬咲耶の声優の八巻アンナさん、仮想アイドルの母親、奥空眞弓の声優、勝生真沙子さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で精鋭Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4224. スターリットシーズン、2周年

　PS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンは2021年10月14日に発売されました。明日はその2周年なので、いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4223. 中東問題

　本日もたっぷり働かされたような気がします。他は少し本を読んだだけで終わりそうです。充実した生活をしている、と思っておきます。

　中東での紛争再開が伝えられています。どこまで拡大するのかが世間の関心のようです。我が国の通商路と関係するので、マスコミはそこそこ伝えているようです。今のところの影響は限定的です。

4222. 国内の動向

　本日の出張先はおそらくサービス業だと思います。このあたりの分類は詳しくないので。こちらの作業用に案内された室内はとても小綺麗にまとまっていて、明らかに儲かっている感じです。幹部と会った訳では無いので、あくまで外見からの私の想像です。

　やや遠くへの出張だったので、高速道路を走って周囲を眺める機会を得ました。私は運転していません。
　工業地帯は少し前からのもので、活気はあるものの特に大規模な変化は無し。変化が見られるのは、その高速道路の拡張と、インターチェンジ付近の巨大な物流拠点が建築中であること。
　そう、建築中です。稼働は早くても来年(2024年)でしょう。通勤途中の別の箇所でも同様の光景が見られて、ニュースなどから想像するに我が国の複数の場所で物流の整備が進んでいるようです。半分は私企業の活動ですから当然、当てがあるというか必然を伴っているはずです。

　工場の拡張は所々で見られて、しかし新規分はおそらく私の活動している範囲から外れているみたいです。
　まだ浮かれている感じは無いです。着実に事を進めている感じ。

4221. 多面体の論文

　1954年の(3次元の)一様多面体の数え上げの、図形愛好家にとっては割と重要な数学論文を見ていて、前半1/3程度の所まで来ました。ここまでは基礎論というか一般論で、この先は具体例に入ります。
　一様多面体の紙の模型の本は別にあって、邦訳があり、そこでは簡潔明瞭な説明なので、その元の論文がとても丁寧なのが必ずしも伝わらないみたいです。

　正多面体、つまりプラトン立体とケプラー・ポアンソ立体、半正多面体、つまりアルキメデスの立体の話で、さらに同様の作りの自己交叉のある図形が数十あり、それが一様多面体です。大半の図形は星形の感じに見えます。
　私は内容をかなり知っているから、ずいぶん丁寧な説明だな、と思いながら読んでいますが、おそらく具体的な立体図形を知らないと何を言っているのか理解するのが厳しいと思います。多分、そのためにこの論文は我が国ではあまり有名ではない気がします。
　数学的には微妙で、空間対称群には絡んでいるものの図形が具体的すぎて、さらに多少の理由があって綺麗にはまとまらなかったので、ここで行き止まりの感じがします。

　何とか早急にC言語/OpenGLのプログラミングに持ち込みたいものの、今回はこの英文を丁寧にトレースする必要があると考えました。なので時間がかかっています。他にも全然別の分野で知りたいことが沢山あるし。
　私は面白く感じるので、おそらく図形を描く前にこの論文の簡単な紹介をすることになると思います。

4220. 4Kモニタ

　無線通信の本は(アナログの)FM変調とベッセル関数の解説の部分を確認しました。気が向いたら後でじっくり見てみます。デジタル信号処理でもFM変調は普通に出来るはずですから、関係なくは無いはずです。あとはざっと見してしまいました。

　我が家のPS5にはゲーム用の23インチ、4K/120Hzモニタを繋いだので、それ以前に使っていた32型の4K/60Hzモニタが余っていて、しばらく放置していましたが、3連休のついでに普段使っている、このブログを打っているノートパソコンに繋いでみました。快適です。
　もちろん、画面が広く使えるのが利点です。Windows11もこれなら感じが良いです。HDRにすると画面が光ってしまうので、SDRで使用。
　良い点はワープロで縦長のウィンドウが使えることです。Webページも縦に連なることが多いので見やすくなります。20年ほど前だったか、ブラウン管を縦長に置いたパソコンや日本語ワープロがありましたが、あの感じで、脇が広いので別のウィンドウが置けます。これが便利です。

　直接ノートパソコンに繋ぐと4K/60Hzとなり、しかし今はUSB-C経由の小型ハブ経由でHDMI接続しているので4K/30Hzとなります。ゲームで使っている訳では無いのでこれで十分です。

4219. 響の誕生日

　明日、10月10日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、我那覇響(オリジナル765)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4218. 無線通信の本

　本日は土曜日で私は休日です。家庭でやることやって普通に休息しました。

　1994年刊の無線機器システムの本が届きました。古本です。当時はケーブルテレビは特殊ケースのはずで、本当に空中線で通信していたはずです。やたら詳しくて、これからじっくり読むつもりです。
　当時の私は電子計算機指向だったから、この手の知識は技術雑誌の記事で断片的に得るだけだったと思います。今役立つのかというと、デジタル信号処理で役立ちます。デジタルと言っても、デジタル処理は足し算と掛け算でアナログと同様だし、回線はアナログ動作していますから、インターネットでもUSBやHDMIでも。

4217. 新サービス

　PS4/PS5でソニー独自のオンライン映画販売が開始というか復活したようです。まだしっかりとは試していません。
　いわゆるサブスクリプションは有料TV放送みたいなものだと思っていましたから、セルビデオが本格的に始まるのなら私は嬉しいです。だって気に入った作品はじっくり時間を掛けて何回でも見たいですから。ある期間限定なんて冗談じゃ無いです。

　PS4/PS5ではDVD/BDが見られるので、それはそちらで、になりかけていたのでしょう。もったいないことです。揺り戻しに見えるのは最近のソニー(ゲーム系)の動きと関連があるのかもしれません。

　PS4は大ヒットのゲーム機で、今も売られています。そういえば、職場近所の量販店では最近になってPS4 proの販売が復活しています。こちらも何かあったのかな。
　少し高価ですが、PS4よりもぐっと快適なので満足感はあるはずです。PS-VR1はこの機種でしか動かないので、そのためかもしれません。ただし、もちろんPS5専用ソフトは動作しません。4Kテレビへの対応もPS5よりは限定的です。

4216. 木曜日

　本日は普通の日の感じでした。いつものように昼食時に職場近くのショッピングモールに行って量販店に移動。技術系の2雑誌でChatGPTの特集をしていたみたいなので購入。みたいなので、と言うのもまだ読んでないからです。というか、急速に世間の関心が薄れてきているようなので、今のチャンスを逃すと突っ込んだ記事が見られなくなる恐れがあるから手に入れたのでした。

　ネットではやや国際情勢に関わる論調に変化が出てきて、どうやら次の体制に移行した後の準備をしていて、友軍側からの世論誘導の感じが目立ちます。これは単なる私の感想で、10年以上も国際会議などからは離れているので、かえって勝手な意見が書ける訳。
　おそらく約30年前に東西の壁が崩れてグローバル主義の世界に誘導しようとしたら完全には成功せず、にもかかわらず西側の目論見は予想を上回るペースで実現して行っている部分があるので調整が必要と言うこと。これ以上書くと憶測になるので止めますが、想定の中にはかなり深刻なのがあるようです。

4215. 琴葉の誕生日

　明日、9月5日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、田中琴葉(ミリオンライブ)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4214. 少し古い技術書

　本日もおつとめ。きつい仕事では無いのに結構ふらふらになってしまいました。まだ火曜日です。仕事は普通にこなせそうですが。

　なので読書はごくゆっくりと。デジタル変調の本なのにアナログのFM変調に関する記述があって、ベッセル関数が出てきたので取り寄せることにしました。1994年刊の本なので、まだまだ放送界はアナログの時代です。もうすでにFM放送は安定していましたし、このころにも割と品質向上があったはずです。
　全然別の観点からベッセル関数を見ていたので、参考になるかもと思いました。

　これとは別に、懸案だった微分幾何の本を読む予定です。物理学では光が物質の濃度(?)で速度が異なるので屈折現象が出て、これの数学での取り扱いが当面の注目点です。数学で濃度の概念があったかな、ということ。曲率の概念はあるので直線や面が曲がるのは普通にあるようです。

4213. プレイステーション・ポータルの予約、続き

　本日は午前出張で内容は普通の感じ。特に何事も無く、通勤途中の感じも同様と思います。日本は順調な感じで、このままの景気感が10年くらい続くと仮定すると、さらに進化した段階に到達すると思います。

　昼食後に職場近所の量販店に立ち寄って、ゲームコーナーではPS5のリモート端末であるプレイステーション・ポータルの予約票がまだ数枚用意されていました。今回は買い占めのようなものは起きなかったようです。なぜかPS5本体の方は一時的に売り切れのようでした。
　PS5は引き続き順調のようで、PS4のソフトがそのまま動作しますから、盛りだくさんの感じがします。