3607. ゲージ場、続き

　本日は午後から接客仕事だったので午前の仕事は早々に切り上げて、いつものように昼食と称して職場近所の量販店へお出かけしました。店内の書店にてブルーバックスの新刊が並んでいたので宇宙の方を購入。通勤中に読む予定です。

　ふう。でよく考えてみたら、ガウス曲率(スカラ値)ではなくてリーマン曲率テンソルはテンソルですから剪断力とか応力の成分があって、移動に伴いベクトルの方向が次第に傾いて行くのはなんだか当たり前の気がしてきました。これらが重力子の潮汐力由来だけだったら、我々はいわゆる万物理論の一端にたどり着いている感じがします。
　とはいえ、ヒッグス粒子のようなスピン0の粒子はゲージ理論とは無関係のはずで、私の当てにならない予感では暗黒物質とか暗黒エネルギーの分。

　後者に対応する幾何学要素は今のところ思いつきません。暇があるときに当てもなく考察してみる予定です。

　4次元には3次元までに見られない対称性が出てきます。2重回転です。回転を表す行列は2次元では、

`(,(cosθ  -sinθ)
  ,(sinθ  cosθ))

の1成分だけで、3次元では、

`(,(cosθ  -sinθ  0)
  ,(sinθ  cosθ   0)
  ,( 0      0      1))
　
`(,( 1      0      0)
  ,( 0     cosθ  -sinθ)
  ,( 0     sinθ  cosθ ))

`(,(cosθ   0    sinθ)
  ,( 0      1      0)
  ,(-sinθ  0    cosθ))

の3成分となり、4次元では6成分となります。その6成分の中で独立な2回転を同時に選ぶことが出来て、たとえば、

`(,(cosθ  -sinθ  0       0  )
  ,(sinθ  cosθ   0       0  )
  ,( 0      0     cosφ  -sinφ)
  ,( 0      0     sinφ  cosφ))

などが2重回転です。1、3、6の数列の規則性は三角数で、5次元では10になります。

　以上はユークリッド空間での話ですが、ミンコフスキー空間にも直交変換(回転と鏡映)に対応するユニタリ変換と呼ばれるのがあって、ただしこちらの2重回転の想像は難しいです。4次元ユークリッド空間の2重回転でも想像は難しいですけど、たしかネットでは「クリフォード変位」で図が出てきたか(ドーナツの表面にらせんを描いたような図)。

　他はとっさには思いつきません。まだまだ先は長そうです。

3606. 相対論とゲージ場の古典論を噛み砕く

　などと言っていたら、あっという間に解決しました。ラッキーだったというか、これも読者の皆様のおかげというか。

　本日は昼食時に職場近くの大型商業施設に隣接する大型書店へ直行。ゲージ理論の本を物色しました。少しでも手がかりがつかめたらと思ったからです。どうしても一歩でも近づきたかったから。
　でそれっぽいのが数冊あって、最新刊らしい「一般ゲージ理論と共変解析力学」と言うのをとりあえずつかんでレジへ。とはいえ、帯によると重力理論のゲージ場の話らしく、現在の物理の最先端の話題ですから内容が理解できることは到底出来ないはず、と絶望的な感じでした。
　で、前書きを見るとこの本は続き、ということで、その前が表題の書名の本です。慌てて書店に引き返し、書棚を探すとちょっと薄めの本で、しかも表紙がかわいいこと、ついでに中身のイラストも。

　前書きでは物理学ノートの感じで、著者がゲージ理論獲得に苦心したため、それに接近する方法をまとめたものみたいです。ゲームの攻略wikiみたいな感じです。とはいえ、目次を見たらかなり手強そうな話題が並んでいて、しかし知りたい領域はほとんど書いてある感じがしました。
　たまたま偶然、中身をちょっと眺めていたら125ページの脚注に「一般の微分可能多様体に対する平行移動の指定方法は、複数存在します」とのこと。私が知りたかったのは、実はこれだけです。

　本文はまだ読めてないのですが、いつものフィーリング理解ですと、ガウス曲率では無く、リーマン曲率テンソルが必要な空間(一般相対論)では解析接続がいろいろ選択できて、局所の平行移動が大域構造と合致する式が存在するとのこと。それこそがゲージ場の方程式のようです。多分、ラグランジアンですからニュートン力学で言うところの運動量の話みたいです。

　ということで、私の関心のレベルでは一気にすっかり解決してしまいました。
　ううむ、どうしようかな。今のところ物理学を極める動機はほとんど無いので、ざっと読むだけになりそうです。反変・共変ベクトルでは無く微分形式がしだいに物理学の分野では主流になっている、なのでgrad/div/rotのベクトル解析が少し主流から遠ざかっている感じ…、ざっと眺めたところで私の関心事(幾何学系)と近いところはそうなっているようです。
　簡単に言うと、位置の移動や流れや力をどう取り扱うかで、数学的な次元(ベクトルの独立な方向の数)と、物理で言う次元(物理量の長さや時間の数)の相克みたいなのがあって、その形式的な(表現の)部分には関心があります。

　物理学方向に行くと、最先端過ぎていろんな説が飛び交っている場合にどれが今後主流になるのかは素人判断ではとても無理となりそうな気がします。じっさい、私の少年期はクォーク理論が主流になる直前の時期で、啓蒙書には新たに発見された「素粒子」が100種類にも迫っていて、しかもストレンジネス(奇妙さ)と呼ばれる正体不明の属性があるとか何とか。現在から見たら笑い話ですが、当時は真剣な雰囲気でした。

　どおりで高校の数学科目で一旦、行列が廃止され、複素空間(ガウス空間)が復活した訳です。実は訳ありだった、ということ。テンソル解析が出てくるので、同様の書き方の行列は混乱の元となるかもですから。そのテンソル解析も古典的な方法とは多分ずれてくるはずです。

　いやはや、とんだ面白い方向に物理界が動機付けられていた、ということ。今後この物理の最新傾向が数学教育に反映されるのか、あるいは西洋数学の伝統に回帰して、一階述語論理が素直に通用する代数学と幾何学でじっくり基礎を固めるのか。
　まあ、私の当面の課題は、このゲージ場まわりがどれだけ理解できるかです。ゲージ場ですからスピン1の光子などの話が主体のはずで、重力理論(重力子はスピン2)との接点があるそうなので、そこがある程度理解できて面白い話になりそうなら再びこのブログで話題にすると思います。

3605. 杏の中の人の誕生日

　本日、12月13日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、双葉杏(シンデレラガールズ)の声優、五十嵐裕美さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

　キャラの誕生日では無いので少数精鋭のPが心を込めたPVとなります。

3604. 線型代数、続き

　で、ベクトル解析は私の解釈では微分方程式の視覚化の感じがします。ネットでも十分に見られると思いますが、おなじくちくま学芸文庫の比較的最新刊に竹之内脩氏の「常微分方程式」と言うのがあって、図が多くて楽しめます。いえ、宣伝では無くてたまたましばらく前に買っていた本の一つです。大気現象のシミュレーション(偏微分)の数値計算などで想像は容易と思います。

　ところで、その常微分方程式の333ページに解析接続の話が出てきて、こちらでのベクトルの動きと微分方程式の全体図の印象が異なるので困ったものです。
　というのは、ベクトルを解析接続して行くと、空間に0でないガウス曲率がある場合は経路によってベクトルの方向が違ってくるからです。大きさは一緒だったか。
　しかし、たとえばブラックホールの周囲の電場とか磁場は見た方向に寄らず固定と思いますので、矛盾しています。これのすっきりした解説は私はまだ見たことがありません。

　物理では当然困りますので、多分私の想像ではゲージ対称性とかの話がこれのことだと思っています。まだ詳しくは調べていません。
　ふむ、だから複素数がこの手の話(波動関数など)では出てくるのだと思います。実数だけだとサイン波ですから-1と1の間に0が入ってしまいます。しかし複素数だとガウス平面の原点は通らず、距離(絶対値)1の円(1次元)をぐるぐる回っているだけです。空間なら四元数で、こちらは球面(2次元)を漂うだけ…、のはずです。

3603. 線型代数

　表題でおやっと思った方は勘が良い、と思います。ネットで調べたら、今は「線形」の表記が主流らしいです。しかしこれは書名の話。ちくま学芸文庫の比較的最新刊に京大の名物教授だった森毅氏の数学セミナーの1978年頃の雑誌記事のまとめです。
　この文庫本の冒頭に、数学者・教育者の氏が見た数学教育界の推移がごく簡単にですが紹介されていて、現在の線形代数がなぜどこで何の目的でまとめられたかを隙間時間に調べている私には大変に参考になりました。

　何でも、1950年代(戦後直後)には「代数学と幾何学」の高校の科目があったそうな。つまり、この時代には西洋数学の伝統の2本柱である代数と幾何の融合が、高校レベルでも始まっていた、ということ。内容は「行列代数と線型幾何」とのことで、つまり行列とベクトルのことみたいです。1960年代には線型代数の科目になり、70年代に定着したそうです。その70年代に私は数学教育を受けていました｡
　で、氏によると理想的数学カリキュラムは、正比例から微積分と線型代数に入って、ベクトル解析で集合する、みたいです。ベクトル解析は多少関わった方なら、grad/div/rot、そして∇(ナブラ)のことと言えば、ああそんなのもあったな、と思い出すと思います。

　我が国の教育界では無くて、西洋の数学の歴史に関してはその続きで述べられていますので、関心のある方はこの文庫本を買って下さい。数学好きなら買って良かったと思うと思います。

　ただし、この文章に決定的に欠けているのは近代産業界で計算需要が急増したのと、電子計算機の急速な立ち上がりとの関係です。私の考えでは、この世間的な動きが教育界に影響が無いはずは無いです。
　技術者が数学の言葉をごく当たり前に会話するのは、近代以降と思います。今は生産現場でも数学語が飛び交っていると思います。

3602. 数値予報

　私の職場の事業所はそろそろ年末モードに入ってきています。少しですが余裕ができたので、溜まっていた本を少し読み始めました。
　通勤時間に読んでいた天気予報に関する一般向け科学啓蒙新書の一冊で、2名の著者で前半と後半を受け持っていて、前半が観測結果をどうまとめて予報に生かすかで、後半はいわゆる数値予報の話題でした。

　前半も良かったですが、後半が良い解説で、大気の物理モデルを計算機に解かせる話です。なんだか初めて偏微分の具体的な解説を見たような気がしました。思っていたのと同じで、空間の格子点で前後左右上下のデータをやりとりする常微分方程式が偏微分方程式のシミュレーションになるみたいです。
　ごくまともな解説で、ふむふむと見ていたのですが、最後の最後に実際には格子点では無く「スペクトルモデル」というのが採用されているのですと。はて、この言葉は多分初めて見ました。

　で、さっそくweb検索しましたが、ごく軽い解説しかありません。良く解説された資料、と紹介されているのは報告書の類いみたいで、今は買えません。
　本日も昼食時に職場近くの大型書店に行き、気象コーナーでそれっぽい解説書があるかなと数冊みてみましたが、項目は出ているものの、こちらも軽い解説のみです。つまり数値予報では常識的に使われている手法のようです。分かったのは、数個の隣接する格子点を律儀に計算する代わりにsin/cosのいわゆるサイン波を当てはめるのですと。

　ふむ、なのでここからは私の勝手な想像、ほとんど妄想になります。

　全球モデルのようなものすごい計算量の場合に出てくるので、計算量を稼ぐ手法と類推できます。一方で高速フーリエ変換の言葉が出てきて、一般にですが解析分野でこの言葉が出てくると碌なことはありません。大抵は粋がってフーリエ変換を使ってみたものの、ほとんど成果はありませんでした、の報告ばかりです。

　成功している事例と言えば…、そう、画像圧縮のjpegです。皆様今ご覧のwebページで写真画像が出てきたら、まず間違いなくjpeg圧縮されています。私のこんな簡単なホームページにもいくつかの写真があって、多分すべてjpeg圧縮画像になっています。

　jpegの場合は8×8ドットの画素をひとまとめにして、まず平均値の明るさと色のデータを送り、さらに差分のデータとして離散コサイン変換と呼ばれる手技で画像の詳細情報を添えます。こうすると通信量が削減でき(典型的には1/10程度のはず)、その代償として計算量は増えますが、今の計算機は高速なのでへいちゃら。つまり平均値だけだと1/64の圧縮となり、それにいわゆる摂動成分(高次成分)のデータを添える、ということ。
　例によって、英語版のwikipediaの解説が素晴らしいです。日本語版、頑張ってください。

　なので、私の想像ではスペクトルモデルというのは離散コサイン変換の三次元版、なのだと思いました。つまり、隣接する格子点の常微分方程式の係数はほぼ同じと推定できますから、中心の一点で計算して、その他の、たとえば8×8×8だと1/512もの計算量が稼げて、その周辺の格子点の差分は別途計算するにしても512倍には至らない、…申し訳ないですが、すべて私の想像です。どこかに公開された、ほどよくこなれた解説があることを祈ります。

3601. 初代雪歩の中の人の誕生日

　本日、12月9日は初代アイドルマスターの仮想アイドル、萩原雪歩の声優、長谷優里奈さんの誕生日だそうです。いつものようにPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンのPV欄で有志Pがお祝いのPVを上げています。
　芸名が何度か変わっているようで、私は落合雪歩と記憶しています。CDなどで声が聞けます。2から現在の声優さんに変わりました。

3600. スターリットシーズン、DLC03

　PS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンの新たなDLC03が来たみたいでバージョンが少し上がってゲームを始める前にダウンロードが始まってしまいました。
　私はS4U(ステージシーン)主体に使っているのでダウンロードコンテンツはありがたいです。外伝(多分)の追加もあるみたいですが、ずっと先の話。いつまで続くのかな、続いて欲しいです。

　本日も昼食時のついでに職場近所の量販店に行きました。スターリットシーズンはまだまだたくさん在庫はあります、の状態です。少なくとも古参アイマスPには好評みたいなので何とかしたいところです。とにかく本編をほんの少し進めればDLCと併せると楽しい状態になります。
　まあ美少女ポリゴンの仮想ステージを楽しむなんて世間的には少々(ものすごく)変わった趣味だと思いますけど、もともと芸能界はこんなものじゃないかな、とも思います。

　その量販店とは少し離れたショッピングモールにある大型書店の店頭で中古CDの行商(?)みたいなのがあって、ブラームスの第3交響曲のいかにも名盤っぽいのがあったので、安かったから買ってしまいました。
　CD自体は1997年の出版で、録音は1952年とのことでモノーラル。当然私も生まれていない時代の録音を当時のデジタル加工技術で雑音のない状態にしたもの、みたいです。
　ブラームスには今に伝わる4つの交響曲があって、第1番が特に有名です。しかし、他の交響曲(Sinfonie)も名曲揃いで、特に第4交響曲の第4楽章のシャコンヌが楽しめる状態となるとオーケストラの西洋古典音楽はほぼ卒業と思います。

　このブラームスの第3交響曲は楽団や指揮者によってまるで違った印象になるので、私は趣味的に楽しめる曲だと思います。指揮者は私はよく知りませんし、楽団は東ドイツの地方都市、しかも第二次世界大戦直後の録音です。でも演奏も録音も抜群です。欧州社会の底力を感じます。とても迫力があって、しかし標準を外れない演奏は20世紀の音楽の印象でした。
　映画、第三の男を思い出します。時と場所は第二次世界大戦直後の連合国(国連)による占領下の敗戦国の都市、ウィーン。でも映画では廃墟では無くすでに文化的生活を送る人々と、でも同時に悲壮な戦後の混乱が描かれています。

3599. 立体図形、続き^4

　で、続きの行列編を書き始めたのですが、数式が出てくるためかものすごく間延びします。ということで、このシリーズはお終い。言いたいことは言ってしまったし、線形代数に関してはネットで十分に自習できるほど情報があふれているので、それに付け加えるのも野暮な感じがしてきました。

　簡単にまとめると、行列を平面図形の変換と見なすとき、原点は固定で、しかし正方形が任意の平行四辺形に変形できる、と言うことはある三角形を任意の形に変形できます。合同変換になるのが回転と鏡映(裏返し)です。
　立体だと、立方体が任意の平行六面体になり、つまり四面体が任意の形の四面体に変形できます。この特性があるので、現在は行列が人気と言うことです。
　これとベクトルの加算の平行移動を加えると図形の移動に関する操作が揃います。

　行列に関しては、行列式と固有値・固有ベクトルが出てきて終了します。個々の細かい計算法はありますが、項目としてはこれだけ。

　それとは別に、今回調べた結果、どうしても片付けたかった二次形式のまとめをする気になったので、収穫はありました。読者の皆様、お付き合いいただいてありがとうございました。二次形式というので面白いことが分かったら報告しますが、線形代数では特段強調されていないので、当然のことしか分からない予感がします。

3598. 週明け

　本日は午前出張の日でした。訪問したところは新型コロナウイルス感染症の影響をもろに受ける業界、アミューズメント業界の一端の事業所で、気の毒にも事業規模を半分ほどに縮小したみたいです。創始者は高齢で、専務クラスが踏ん張ったのでしょうけど、すべてを支えるのは無理だったようです。
　新型コロナウイルス感染症に関してはワクチンの効果が分かってきましたし、治療薬が登場するとのことで、当初誰かが予想していたとおり、2年ほどの経過をたどりそうです。流行は諸外国では今も猛威を振るっているものの、光明がわずかに見えてきた感じで、我が国も明らかな景気回復中の感じです。
　なので、その事業所の雰囲気はそれなりに明るかったです。

　米中対立が落ち着いたら本物の好景気が来るはずなので、産業界は仕込みの真っ最中の感じです。日本周辺の外交・軍事は緊張が続いていて、つい最近もものすごくきな臭いニュースが立て続けにありました。関係者の皆様、ご苦労痛み入ります。

　で、例によって昼食と称して職場近所の量販店へ行きました。ゲームコーナーではPS5のいわゆるゲリラ販売中で、ディスクドライブ有りの通常版も売られていたようです。
　その隣に電子楽器コーナーがあって、なぜかヤマハのポータトーンだったか、のミニキーボード版(3オクターブ鍵盤)が売り切れでした。先週は次回入荷が来年2月だったのが、本日見たら来年5月になっていました。ネット配信の音源として経済的でかつ優秀な内容なのと、クリスマスプレゼント需要が重なったみたいです。
　半導体不足が報道されていますが、ネットではそれ以外の一般電子・機械部品も国際流通環境の激変で品不足感とのこと。邪推するとその影響です。もともと非常に人気のあるキーボードだったそうですが。

　グランドピアノの鍵盤数は88鍵で、これ以上の単一鍵盤数は珍しいと思います。シンセサイザーは61鍵、つまり5オクターブで、パイプオルガンの一段の鍵盤数と同じ。つまり、ここが音楽家には使いやすい鍵盤数のようです。
　小さな子供へのプレゼント用の、昔は黒鍵が印刷だけの、音源は金属棒のオルゴールを拡大したみたいなおもちゃピアノが主流だったと思いますが、昨今は電子楽器になっているようです。内蔵曲が50曲ほどあって、鍵盤は2オクターブで強弱機能はありませんが和音は可能のようです。それなりに真剣に作られているようで、音程が正確との売り文句がパッケージに書いてあります。入門用としては悪くない、つまり買って良いと思います。
　しかし、音楽が出来る子はすぐに卒業してしまうでしょう。その次をどうするか。もちろん、余裕があれば上述の本物のピアノとか本格的キーボードを手に入れるでしょう。バイオリン教室などの選択肢もあります。

　3オクターブのキーボードは重量が軽いのが売りと思います。音域としては片手でも4オクターブは欲しくなりますが、どうしても幅は取るし重くなります。
　3オクターブはかろうじてですが、左手で和音を、右手でメロディーを奏でることが出来ます。私はたまたまその3オクターブのミニ鍵盤で強弱機能付きのシンセサイザー二種を持っていて、たしかに遊べます。思いついたメロディーや和音進行を試すには十分と思います。

3597. 立体図形、続き^3

　3点の座標を決めると三角形が描けます。現在のコンピュータグラフィックスの主流のポリゴンモデルでは、物体の表面は細かい三角形で表現されるので、とりあえず三角形だけを考えることにします。

　平行移動はベクトルで表すのですが、座標とベクトルの混合演算は出来ないので、位置ベクトルに換算します。この時、基本ベクトルを座標のx, y, z軸の方向に一致させ、単位ベクトルにすると座標の数値と始点を原点に取った位置ベクトルの成分表示の数値が一致します。
　ですから、直交デカルト座標では単なる手続きというか表現の形式を変えただけのように見えます。

　これで形式的準備は完了です。空間の任意の三角形ABCは3点、

　(xa, ya, za)  (xb, yb, zb)  (xc, yc, zc)

で決定され、これとは別にx軸、y軸、z軸に沿う基本ベクトル、

　,(1 0 0)  ,(0 1 0)  ,(0 0 1)

を決めると、

　`(xa ya za)  `(xb yb zb)  `(xc yc zc)

と成分表示の位置ベクトルになります。なので、位置ベクトル`a、`b、`cの三角形と表現出来ます。長々と解説して、結果はこれだけ。ただし、こちらはベクトルになっているので平行移動をベクトルの和で表現出来ます。移動の向きと大きさを成分表示したベクトル`s、

　`(sx sy sz)

を用意すると、移動先の`aの位置ベクトルは、

　`(sx+xa sy+ya sz+za)

と単なる成分の足し算になります。もちろん、さらに平行移動させるには、次々と新しい列ベクトルの成分を加算して行けばOK。

　`a' = `a + `s + `t + ...
　`b' = `b + `s + `t + ...
　`c' = `c + `s + `t + ...

みたいになります。これで移動先の座標が得られたので、グラフ用紙にプロットするなど、具体的な描画が可能となります。

　まあ、ここまでは軽くこなせると思います。何度も言って申し訳ないですが、この程度は突破しないと先に進めません。先に行って迷ったら、このあたりに戻るとよろしいと思います。

　線形代数の直前の時代の数学では、座標変換とベクトルの加算は別の話で、ベクトルはこの基本要素の解説の後に、斜交座標、曲線座標、テンソルへと発展し、微分や計量といった無限小解析の話に入って行きます。見るからに物理指向で、おそらく電磁気学やニュートン力学、当時必要となってきた相対性理論、初期の量子力学に応用されていったと思います。

　図形に戻ると、形を変えない図形の変換、つまり合同変換には平行移動(並進)の他に、回転と鏡映の操作があります。鏡映では図形が裏返ってしまい、3次元では右手と左手の関係になります。
　現代の線形代数では、この2変換には行列を使います。

3596. 立体図形、続き^2

　普通の線形代数の話なので、直交デカルト座標の3次元ユークリッド空間を仮定します。
　点Pのx座標がx1、y座標がy1、z座標がz1の時、この点を座標を使って、

　(x1, y1, z1)

　と表記します。この表記は標準的な書き方です。
　これを基点が原点の位置ベクトルを使うと、

　`(x1 y1 z1)　または　,(x1 y1 z1)

　となります。前者が列ベクトルで、現在はこちらが普通に見られます。しかし、後者のように行ベクトルで表す人もいました。初期にはこれらをベクトルの行列表示みたいに言っていたようです。

　ベクトルは向き(3次元なら2自由度)と大きさ(負でも良い。複素数でも良いがとりあえず実数のみを扱う)を持った数学的対象です。大きさだけの場合はスカラ値と言います。
　イメージとして、ベクトルは有向線分(矢印)で表されます。
　位置ベクトルのように基点が固定された場合は、束縛ベクトルと表現するようです。ですが、束縛の文字はめったに出てきませんので文脈で把握する必要があります。束縛されず、自由に平行移動できるベクトルを指すときは自由ベクトルと言います。

　数学の授業ではベクトルは始点P1から終点P2に向かう移動のイメージが強いです。つまり平行移動の向きと距離の感じ。なので、平行移動を合成するのがベクトルの和で、位置ベクトルの終点の違いがベクトルの差のイメージです。ベクトルの和はスカラ値と同様に交換法則と結合法則が成り立ちます。

　授業では平行四辺形の辺と対角線で説明されると思います。こんな所でつまずくと先にゆけないので、とりあえずベクトルを二本では無く、多数を数珠繋ぎするとどこに行くか(合成)、その差分はどう計算されるか(分解)、くらいの想像はやっておく必要があります。
　(実を言うと、本ブログの数項前に揉めた、と言ったのはここです。私が激しく落胆した様子をご想像ください、今後話が通じるのか、と)

　数学ではこの初期段階で単位ベクトル、零ベクトル、基本ベクトルと成分、ベクトルのスカラ倍、と矢継ぎ早に新解説が出てきて結構しんどい感じがします。迷わせる決定打の、しかしとても大切な概念の内積は後述します。

　特に基本ベクトルと成分の下りは、直交デカルト座標ではあまりに当然に思えるので、どこが嬉しいのかいまいち分からないと思います。私もそうでした。よく見ると、斜交座標でも成り立つ反変・共変ベクトルの書き方になっているのですが、その斜交座標が高校レベルや大学の初期の授業ではちっとも出てきません。これは対象の物理学が先に進むと出てきます。

　物理などではベクトルは物理現象を表すときに用いられ、たとえば流速とか電場や磁場を表します。これらは空間のどの位置でも同じ速さや強さだと同じ大きさのベクトルで表されるので自由ベクトルです。
　惑星の運動とか、川の水の流れとか、磁石や地球の磁力線とか、普通は曲がっているので、これがベクトルで表現されると言われても、なんだか困惑します。速さや強さ、と言っているところがポイントで、要は微分です、代数の解析学です。

　ううむ、最初の意図であった立体図形の扱いにあまり近づいていないような気がしますが、数学は大切ですのでこのまま続ける予定です。

3595. やよいの中の人の誕生日

　本日、12月2日は765プロの仮想アイドル、高槻やよいの声優、仁後真耶子さんの誕生日だそうです。いつものようにPS4/PS5のアイマスゲーム、スターリットシーズンのPV欄に有志Pがお祝いのPVを上げています。

3594. 立体図形、続き

　まあ何というか、私も私でこの歳になってから立体図形の動かし方を再確認しているありさまなので、偉そうには言えないのですが、混乱したことは確かです。
　なので本ブログを通じて復習です。退屈に感じた方は本項は飛ばしても結構です。

　例によって、列ベクトルや行列などの縦に並んだ数字や変数記号を、タイピングの都合上、私が勝手に決めた記法で書きます。これを例の古典幾何学書の原稿でやってしまったので、ちょっと不評だったようです。つまり変数記号が、

a
d
g

　と縦に並んでいるとき、`(a d g)と表記します。「`」はバッククオートで、どちらかというと「`(」と「)」が対になっていると思っていただくと私の意図に合います。
　さらに、横に並んでいる、

a b c

　をことさらに強調する場合、,(a b c)と書きます。「,」は普通のカンマで、こちらも「,(」と「)」が対になっていると思っていただくと幸いです。
　こうすると、行列の中身が、

 a b c
 d e f
 g h i

　と並んでいるとき、これを、

`(a d g) `(b e h) `(c f i)

　と書いても良いですし、

`(,(a b c) ,(d e f) ,(g h i))

　とも書けます。ややこしいですが、私は下段の書き方を好みます。

　なので、列ベクトルは、

　(`(a d g))

　となります。行ベクトルは普通に、

　(a b c)

　です。行列は、

(`(,(a b c) ,(d e f) ,(g h i)) )

　になります。

　というのが原則なのですが、今回は縦に並んだ数字で別の意味は出てこないので、列ベクトルは、

　`(a d g)

　行ベクトルは、

　,(a b c)

　行列は、

　`(,(a b c) ,(d e f) ,(g h i))

　と書かせていただきます。もちろん本稿だけの書き方ですので、学校のテストでこれを書くと零点を食らいます。ちなみに行列式は、

　|`(,(a b c) ,(d e f) ,(g h i))|

　とタイプしていました。

　以上が本稿独特の書式の説明で、ここからが本編です。

　と思ったのですが、思わぬ長文になったので、多分、続きます。