（その１２）タイの小学生向けの模試等へ出題され、解答パターンを知らないと解けない算数の問題はこれ。

１問追加！

集中更新中で次は数列。小学生へ数列なんかさせるなと思うが、必ず出題されると言っても良いほど。
一番多く出題されるのは一定の数ずつ増えたり減ったりする等差数列で、ｎ番目の数や数列の和（合計）を問われる。他は隣り合う項の差が数列になっている階差数列や、隣り合う二項の比が項番号によらず一定の等比数列に、どの項もその直前の2つの項の和となっているフィボナッチ数。これらはｎ番目の数が答えられれば大丈夫だろう。
今回は等差数列の問題で、引用元は。

先ずは等差数列の基本の問題。
問題１５５

上の図の様にピラミッド型にブロックを並べて行き、全部で３６１個のブロックを使いました。何段のピラミッドが出来ましたか？

１段目　１個
２段目　３個
３段目　５個
４段目　７個
５段目　９個
と並び、ピラミッドが１段増える度に、その段のブロックは２つずつ増えている。
１，３，５，７，９・・・と増える数列のｎ項目の数Ａｎは、
Ａｎ＝初項１＋公差２（項番ｎ－１）で求められる。
Ａｎ＝１＋２（ｎ－１）
　　＝１＋２ｎ－２
　　＝２ｎ－１
この数列の初項１からｎ項Ａｎまでの合計Ｓｎ＝１＋３＋５＋７＋９＋・・・＋Ａｎは、
Ｓｎ＝項数ｎ（初項１＋Ａｎ）／２で求められるので、
全てのブロックの数３６１＝ｎ（１＋２ｎ－１）／２
　　　　　　　　　　　　＝ｎ²
ｎ²＝３６１
　 ＝１９²　１から３０までの２乗は全部暗記すること
ｎ＝１９
答え　１９段

タイヤイさんから教えて頂いた、等差数列Ａｎの和Ｓｎを求める式Ｓｎ＝項数×（初項＋最終項）÷２の意味。
今回の数列を、少ない順と多い順に並べると、
項番　　１　　２　　３　　４　　５　・・・　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９
数列　　１　　３　　５　　７　　９　・・・　２５　２７　２９　３１　３３　３５　３７
数列　３７　３５　３３　３１　２９　・・・　１３　１１　　９　　７　　５　　３　　１
和　　３８　３８　３８　３８　３８　・・・　３８　３８　３８　３８　３８　３８　３８
同じ項番の和は等しいので、その和に項数を掛けて２で割ると数列の和が求められる。

次は等差数列の応用
問題６３
１００から始まって７ずつ増える数と、１０００から始まって８ずつ減る数があります。この２つが同じになる数を答えなさい。

１００から始まって７ずつ増える数をＡｎとすると、
Ａｎ＝１００＋７（ｎ－１）
　　＝７ｎ＋９３
１０００から始まって８ずつ減る数をＢｎろすると、
Ｂｎ＝１０００－８（ｎ－１）
　　＝１００８－８ｎ
ＡｎとＢｎが同じになるので
Ａｎ＝Ｂｎ
７ｎ＋９３＝１００８－８ｎ
１５ｎ＝９１５
ｎ＝６１
Ａｎ＝７ｎ＋９３
　　＝７×６１＋９３
　　＝５２０
答え　５２０

＜追加＞ＵＰ校モー６（高３）の息子の後期中間試験から。
一定の数ずつ増える数がいくつか並んでます。その数列の真中とその前後の３つの数を足すと５７（息子の記憶では５６？）です。真ん中の数を答えなさい。
公差ｄの等差数列で、真ん中の数をａとすると、真中とその前後の３つの数はａ－ｄ、ａ、ａ＋ｄと表せる。
３つの数の和は　（ａ－ｄ）＋ａ＋（ａ＋ｄ）＝３ａ
３ａ＝５７　ａ＝１９
答え　１９

私が学生だった時は公式を覚えて終了。勉強嫌いなので公式の成り立ちや意味なんて考えもしなかった。（恥ｗ）娘が通う算数のギフテッド問題専門の塾は早い子だと字が読めるようになった小２から来て、小６と机を並べて勉強している。子供の能力と可能性に驚くばかり。＼(＠o＠;)／
今年の勉強関連の投稿はここまで。皆様の応援に感謝 m(_@_)m

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（その１１）タイの小学生向けの模試等へ出題され、解答パターンを知らないと解けない算数の問題はこれ。

１問追加！(2017.12.31)

本日２回目の更新！
年末年始の予定で毎日娘と一緒に勉強しているので、出来なかった問題を次々と紹介。（恥ｗ）
今回はややこしい計算問題。今回もから引用。

問題６７
２５５５（２５５４００００＋２５５４）－２５５４（２５５５００００＋２５５４）

そのまま計算すると・・
２５５５（２５５４００００＋２５５４）－２５５４（２５５５００００＋２５５４）
＝２５５５（２５５４２５５４）－２５５４（２５５５２５５４）　この計算面倒ｗ
＝６５２６１２２５４７０－６５２６１２２２９１６
＝２５５４

別の簡単な方法を探して・・
ａ＝２５５４　ａ＋１＝２５５５　として解いてみると
２５５５（２５５４００００＋２５５４）－２５５４（２５５５００００＋２５５４）
＝（ａ＋１）（１００００ａ＋ａ）－ａ（１００００（ａ＋１）＋ａ）
＝（ａ＋１）（ａ（１００００＋１））－ａ（１００００ａ＋１００００＋ａ）　え？これもややこし！
＝（ａ＋１）（１０００１ａ）－ａ（１０００１ａ＋１００００）
＝１０００１ａ²＋１０００１ａ－１０００１ａ²－１００００ａ
＝ａ＝２５５４
桁の多い掛け算をするより良いが、十分面倒。

それなら・・・
ａ＝２５５４　ｂ＝２５５５　で解いてみよう。
２５５５（２５５４００００＋２５５４）－２５５４（２５５５００００＋２５５４）
＝ｂ（１００００ａ＋ａ）－ａ（１００００ｂ＋ａ）
＝１００００ａｂ＋ａｂ－１００００ａｂ－ａ²
＝ａｂ－ａ²
＝ａ（ｂ－ａ）
ａ＝２５５４　ｂ＝２５５５　なので
ａ（ｂ－ａ）
＝２５５４（２５５５－２５５４）
＝２５５４×１
＝２５５４
これが一番簡単！

問題７８
（２５６３７×２５６３９＋２５６３８）／（２５６３８×２５６３９－１）＋４（１２４９４＋１２４９３×１２４９５）／（１２４９５×１２４９４－１）－２（２４３７×２４３９＋２４３８）／（２４３９×２４３８－１）

最初の（２５６３７×２５６３９＋２５６３８）／（２５６３８×２５６３９－１）だけ計算。
２５６３７、２５６３８、２５６３９の３つの数なので、真ん中の２５６３８をａとして、
（２５６３７×２５６３９＋２５６３８）／（２５６３８×２５６３９－１）
＝（（ａ－１）（ａ＋１）＋ａ）／（ａ（ａ＋１）－１）
＝（ａ²＋ａ－１）／（ａ²＋ａ－１）
＝１

次に（１２４９４＋１２４９３×１２４９５）／（１２４９５×１２４９４－１）を計算。
１２４９３、１２４９４、１２４９５の３つの数なので、真ん中の１２４９４をｂとして、
（１２４９４＋１２４９３×１２４９５）／（１２４９５×１２４９４－１）
＝（ｂ＋（ｂ－１）（ｂ＋１））／（（ｂ＋１）ｂ－１）
＝（ｂ²＋ｂ－１）／（ｂ²＋ｂ－１）
＝１

同様に（２４３７×２４３９＋２４３８）／（２４３９×２４３８－１）を計算。
２４３７、２４３８、２４３９の３つの数なので、真ん中の２４３８をｃとして、
（２４３７×２４３９＋２４３８）／（２４３９×２４３８－１）
＝（（ｃ－１）（ｃ＋１）＋ｃ）／（（ｃ＋１）ｃ－１）
＝（ｃ²＋ｃ－１）／（ｃ²＋ｃ－１）
＝１

（２５６３７×２５６３９＋２５６３８）／（２５６３８×２５６３９－１）＋４（１２４９４＋１２４９３×１２４９５）／（１２４９５×１２４９４－１）－２（２４３７×２４３９＋２４３８）／（２４３９×２４３８－１）
＝１＋４－２
＝３

もし、２５６３７、２５６３８、２５６３９の３つの数の、最初の２５６３７をａとすると、
（２５６３７×２５６３９＋２５６３８）／（２５６３８×２５６３９－１）
＝（ａ（ａ＋２）＋（ａ＋１））／（（ａ＋１）（ａ＋２）－１）
＝（ａ²＋２ａ＋ａ＋１）／（（ａ²＋３ａ＋２）－１）
＝（ａ²＋３ａ＋１）／（ａ²＋３ａ＋１）
＝１
当然計算結果は同じだが、真ん中の２５６３８をａとして（ａ＋１）（ａ－１）＝ａ²－１を利用すると、計算は少しだけ楽。

＜追加＞
問題６２
８７／５２０＝１／ａ＋１／ｂでありａ＞ｂの時、ａ＋ｂ＝？
分子８７へいくつを掛けたら分母５２０より大きくなるか探す。
５２０÷８７≒５．９８＝６（切り上げ）
８７／５２０
＝８７×６／５２０×６　分子が元々の分母の５２０より大きくなる数を分母と分子へ掛ける。
＝５２２／５２０×６
＝２／５２０×６＋５２０／５２０×６
＝１／５２０×３＋１／６
＝１／１５６０＋１／６
ａ＝１５６０　ｂ＝６
ａ＋ｂ＝１５６６

娘の場合は桁数が多かったりで少し面倒な計算になると、全然設問へ取り組まずに見ただけで負けている。＼(?o?)／~（お手上げ～ｗｗｗ）
「あのねえ、５０過ぎた親が小学生の算数に一生懸命取り組んでいるのだがら、見ただけで諦めるとか止めてくれない？」と話すのだが・・(ﾉД`)ｼｸｼｸ

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【解答】（その１０）タイの小学生向けの模試等へ出題され、解答パターンを知らないと解けない算数の問題はこれ。

先日記事にした『（その１０）タイの小学生向けの模試等へ出題され、解答パターンを知らないと解けない算数の問題はこれ。』の解答。

問題８１
商品を１２個仕入れて売ったら１２％の損でした。その売値に商品１つあたり２２バーツ価格を上乗せしていたら１０％の利益がある筈でした。商品はいくらで売ったでしょう。

商品一つの仕入れ値をｂとする。
最初の売値は１２％の損なので、売値は（１００－１２）ｂ／１００＝０．８８ｂ　
０．８８ｂ＋２２＝（１００＋１０）ｂ／１００
０．８８ｂ＋２２＝１．１ｂ
０．２２ｂ＝２２
ｂ＝１００
売値０．８８ｂ＝０．８８×１００＝８８
答え　８８バーツ

問題１７７
ある池の睡蓮の葉へ蛙が２匹ずつ乗ると、９匹が葉へ乗れずに余りました。翌年は蛙が５匹生まれて睡蓮の葉が３つ枯れ、葉へ蛙が４匹ずつ乗ると、蛙が乗らない葉が１枚余りました。最初の年に蛙は何匹居ましたか？

最初の蛙の数をｘ、睡蓮の葉の数をｙとする。
最初の年の蛙の数ｘは、ｘ＝２ｙ＋９　・・・①で表せる。
翌年は、ｘ＋５＝４（ｙ－３－１）・・・②となる。
②を整理してｘ＋５＝４ｙ－１６　・・・②'
①×２－②’
２ｘ　　＝４ｙ＋１８
　ｘ＋５＝４ｙ－１６　－　←タイの筆算はこの位置に符号
---------------------------------------
　ｘ－５＝　　　３４
ｘ＝３４＋５＝３９
答え　３９匹

問題１７８
Ａさんは、人生の１／６が幼児・児童期で、１／１２が少年期。１／７が青年期で、青年期の終わりに結婚し、５年後に息子が生まれ、Ａさんが亡くなる４年前に息子が亡くなりました。息子の寿命はＡさんの寿命の半分でした。Ａさんは何歳で亡くなりましたか？

Ａさんが亡くなった年齢をｘとする。
ｘ＝ｘ／６＋ｘ／１２＋ｘ／７＋５＋ｘ／２＋４
ｘ＝３ｘ／１２＋９ｘ／１４＋９
ｘ＝２１ｘ／８４＋５４ｘ／８４＋９
ｘ＝７５ｘ／８４＋９
９ｘ／８４＝９
ｘ＝８４
答え　８４歳

問題２１１
Ａさんは、３３６０バーツでスマホをいくつか仕入れました。その２／３は４６２０バーツで、２台は４５００バーツで売り、残りは３８４０バーツで売り切りました。このスマホを全部売った利益は１３３２０バーツです。スマホは全部で何台有ったでしょう。

売ったスマホの台数をｎとする。
２／３ｎ（４６２０－３３６０）＋２（４５００－３３６０）＋（ｎ－２／３ｎ－２）（３８４０－３３６０）＝１３３２０
２／３ｎ（１２６０）＋２（１１４０）＋（１／３ｎ－２）４８０＝１３３２０
８４０ｎ＋２２８０＋１６０ｎ－９６０＝１３３２０
１０００ｎ＝１２０００
ｎ＝１２
答え　１２台

問題２１４
男５人と女３人で６日、男９人と女４人で４日掛かる仕事があります。その仕事を女１人でやると何日で終わりますか？（男１人が１日にやる仕事量、女１人が１日でやる仕事量は、性別にそれぞれ等しいとします。）

男１人が１日にやる仕事量をｍ、女１人が１日にやる仕事量をｗとし、全ての仕事量をｊとする。
６（５ｍ＋３ｗ）＝ｊ　３０ｍ＋１８ｗ＝ｊ　・・・①
４（９ｍ＋４ｗ）＝ｊ　３６ｍ＋１６ｗ＝ｊ　・・・②
３０と３６の最小公倍数は１８０なので
①×６－②×５
１８０ｍ＋１０８ｗ＝６ｊ
１８０ｍ＋　８０ｗ＝５ｊ　－
---------------------------------------
　　　　　　２８ｗ＝　ｊ
ｊ＝２８ｗ
答え　２８日

問題２１７
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人が居ます。ある仕事をこの３人でやると２分、Ａ君とＢ君だと３分、Ｂ君とＣ君だと４分掛かります。Ａ君とＣ君がやれば、どのくらい時間が掛かりますか？

Ａ君の１分間の仕事量をＡ、Ｂ君の１分間の仕事量をＢ、Ｃ君の１分間の仕事量をＣとし、全ての仕事の量をｊとする。
ｊ÷（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝２　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｊ／２　・・・①
ｊ÷（Ａ＋Ｂ）＝３　　　Ａ＋Ｂ＝ｊ／３　　　・・・②
ｊ÷（Ｂ＋Ｃ）＝４　　　Ｂ＋Ｃ＝ｊ／４　　　・・・③
①－③
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｊ／２
　　Ｂ＋Ｃ＝ｊ／４　－
---------------------------------------
Ａ　　　　＝ｊ／２－ｊ／４＝ｊ／４

①－②
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｊ／２
Ａ＋Ｂ　　＝ｊ／３　－
---------------------------------------
　　　　Ｃ＝ｊ／２－ｊ／３＝ｊ／６
ｊ÷（Ａ＋Ｃ）＝ｊ÷（ｊ／４＋ｊ／６）
　　　　　　　＝ｊ÷（３ｊ／１２＋２ｊ／１２）
　　　　　　　＝ｊ÷（５ｊ／１２）
　　　　　　　＝１２／５
　　　　　　　＝２＋２／５
２／５分＝（２／５）×６０秒＝２４秒
答え　２分２４秒

問題２２３
学校の子供達へキャンディを準備しました。半分の子供へ１人５個、残りの子供へ１人４個ずつ配ると、５個余ります。２８０人へ１人４個、残りの子供達へ１人６個ずつ配ると７７個足りません。この学校は子供が何人居ますか？

準備したキャンディの個数をｃ、学校の子供達の人数をｋとする。
ｃ＝５ｋ／２＋４ｋ／２＋５　２ｃ＝５ｋ＋４ｋ＋１０　２ｃ＝９ｋ＋１０　・・・①
ｃ＝４（２８０）＋６（ｋ－２８０）－７７　ｃ＝１１２０＋６ｋ－１６８０－７７　ｃ＝６ｋ－６３７　・・・②
①－②×２
２ｃ＝　９ｋ＋　　１０
２ｃ＝１２ｋ－１２７４　－
---------------------------------------
　０＝－３ｋ＋１２８４
３ｋ＝１２８４
　ｋ＝４２８
答え　４２８人

問題２２９
今からサッカーの入場券を売ります。現在待っている人は３２０人。新たな来場者は３分で１０人です。入場券は１人１枚ずつ売り、２分で１２枚売ります。待っている人が無くなるまでに、入場券は何枚売れますか？

入場券売り場への１分間の入場者は１０／３人。
入場券の１分間の販売数は１２／２＝６枚。
入場券は１人１枚売るので、１分間に入場券を買った人は６人。
１分間に入場券を買った人－入場券売り場への１分間の入場者＝６－１０／３＝８／３人
１分間に８／３人ずつ待っている人が減る。
待っている人３２０人が１分間に８／３人ずつ減り、全員が居なくなるまでに掛かる時間は
３２０÷８／３＝３２０×３／８＝１２０（分）
入場券は１分間に６枚販売するので、６（枚／分）×１２０分＝７２０枚
答え　７２０枚

塾技１１の例題
一定量の水が湧き出ている井戸の水をポンプで汲み出すのに、ポンプ４台では８時間掛かり、６台では４時間掛かります。ポンプ１０台では何時間掛かりますか？

詳しい解法は、塾技１００算数を買って読んで欲しい。
夏休みに娘と塾技１００算数に取り組んだ時は、例題は解けても記載の入試問題は急に難解で、時間ばかり掛かって解法の習得は難しいと感じたが、娘へ中学生向けの高校入試対策の問題集をやらせ始めると、塾技１００算数で解法が説明されている物ばかり。子供へはレベルと目的に合ったタイの問題集を解かせ、親は塾技のどこで説明されているか一通り例題でも解いて覚えておくだけ。解法を全て覚える必要は無く、算数の解法の事典の様に使える。タイの小学生向けの多くの試験へ対応。難関と言われるシリントーン試験は、塾技１００数学で対応出来そう。（娘がシリントーン試験の過去問題を解く時は、図形の設問を塾技１００数学を参考に教えた）

それでは塾技を参考に私なりに解いてみる。塾技では線分図を書いて分かり易く説明してあり、代数として①や②を使っているのだが、うちの我儘娘には解り難いらしい。普通にｘとかｙとかＡやＢでやりたいそうなので、それに合わせて解いてみた。

井戸へ１時間で湧き出す水をＡ、井戸に元々あった水をＢ、ポンプ１台で１時間に汲み出す水をＣとする。
ポンプ４台で８時間掛かって汲み出したので、
８Ａ＋Ｂ＝８（４Ｃ）　８Ａ＋Ｂ＝３２Ｃ　・・・①
ポンプ６台では４時間掛かったので、
４Ａ＋Ｂ＝４（６Ｃ）　４Ａ＋Ｂ＝２４Ｃ　・・・②
①－②
８Ａ＋Ｂ＝３２Ｃ
４Ａ＋Ｂ＝２４Ｃ　－
---------------------------------------
４Ａ　　＝　８Ｃ
　Ａ　　＝　２Ｃ
１時間に湧き出す水は２Ｃ＝ポンプ２台で１時間に汲み出す水量
①より
８Ａ＋Ｂ＝３２Ｃ　Ａ＝２Ｃなので　８（２Ｃ）＋Ｂ＝３２Ｃ　１６Ｃ＋Ｂ＝３２Ｃ　Ｂ＝１６Ｃ
井戸に元々あった水は１６Ｃ＝ポンプ１６台で１時間に汲み出す水量
ポンプ１０台で１時間に汲み出す水量は１０Ｃ。井戸へ１時間で湧き出す水量は２Ｃなので、
ポンプ１０台で１時間に井戸から減る水の量は、
ポンプ１０台で１時間に汲み出す水量－井戸へ１時間で湧き出す水量＝１０Ｃ－２Ｃ＝８Ｃ
井戸に元々あった水は１６Ｃなので、１６Ｃ÷８Ｃ＝２（時間）
答え　２時間

いかがだっただろうか？最後のニュートン算は、何度もやって慣れておかないと難しいかも？小学生がやる問題ではない？私もそう思うが、出題されれば解くしか無い。文句を言うだけで解けなければ負け。普通の小学校ではこのレベルまで教えないので、親が教えるか、塾や家庭教師へ頼むしか無い。やらなければ、うちの息子と同じ道を歩むことになるかも？同じ学校でもクラスは成績順で決められ、上と下では授業の内容が異なるし、塾は学校によって入塾を断られたり、ギフテッドの生徒だけのコースが別にあったりで、思い通りに勉強できなく格差は広がるばかり。後から取り戻すのは困難で、大学入試で壁へぶつかるかも？

もう少し簡単な小６算数の基本的な文章題へタイ語で取り組まれるなら、FOCUS社へ文章題専門の問題集が有る。全部で２２章だが、簡単なので早い子なら二日も掛からず終了可能。書店ではあまり見ないので、書店で取り寄せるか、出版社へ直接注文。

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