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2020年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい

2018年11月16日 00時00分00秒 | タイで子育て
FACEBOOKのローカルニュースページ「Udonthani skyline」で知ったのだが、2020年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい。
今までもウドンタニへインター校と称する学校はいくつか有っても、インター校と言いながら児童はタイ語しか話せなかったり、運営の実態が不明確だったりで、私は何となく不安を感じて見ていたのだが、ようやくある程度の規模のインター校が開校する様だ。

ウドンタニは国際結婚カップルが多い街で、娘が通ったキリスト教系の小学校ではクラスに数人は片親が外国人の児童だったが、自宅で父親の母語を話しているからか、それともタイの教育環境に慣れないのか、残念だがウドンタニでは「西洋人の子供は勉強ができない」と言われたりもする。
西洋式の充実した教育が行われば、そういう残念な評判は消えるだろう。

2020年にウドンタニへ開校を予定しているのは International Community School (ICS) で、バンコク校は1993年に開校し、約千人の児童・生徒が在籍しているそうだ。ウドンタニキャンパスのWEBページはこちら。ビデオも貼っておこう。




それでは前回の記事で出題した中学校で教えない因数分解の解答。

問1 ①~⑤を因数分解しなさい。

① (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

JIMMYさんから頂いた回答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=x^4+10x^3+35x^2+50x+25

(x^2+〇+〇)でくくってみます。最後が25なので(x^2+〇+5)が見えてきます。
あとは〇に入るxを探せば(x^2+5x+5)になります。
x^4+10x^3+35x^2+50x+25を(x^2+5x+5)で割ったら、(x^2+5x+5)になりましたので(x^2+5x+5)^2となりました。
これ以上の分解では(x-(-5+√5)/2)^2*(x-(-5-√5)/2)^2ですが、そこまで分解しなくてもいいかと思います。

メンカームのコメント
◯=5は、後から見ればそうだなと思うのですが、自分で解く時に状況を調べて推理していく力が私には足りません。数学のセンスを付けなければなりません。

私、Menkarmの回答

最初に学校で教えられた通りに解いてみよう。
 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x2+3x+2)(x2+7x+12)+1
=x4+ 7x3+12x2
   + 3x3+21x2+36x
       + 2x2+14x+24+1
=x4+10x3+35x2+50x+25
ここから因数分解したいが、上記の様にJIMMYさんは可能でも、私の能力ではこれ以上進めない。(恥w)

「係数を揃えて置き換える」因数分解
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)の展開だが掛け合わせる順番を・・
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)と入れ替えると・・
 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 と、x2+5xまでの係数が揃った。
2+5xをAと置き換えると
与式=(A+4)(A+6)+1
  =A2+10A+25
  =(A+5)2
Aを元のx2+5xに戻して
与式=(x2+5x+5)2

答え (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2


② 4+4

JIMMYさんから頂いた回答

x^4+4=0とおくと、x^4=-4、x^2=2iなので(x^2-2i)(x^2+2i)となりますが、複素数の因数分解でもいいのかな。
メンカームのコメント
設問の引用元にも指定は無かったので、複素数(i2=-1)を使った因数分解でも良いでしょう。
私は中学生な娘向きに、複素数を使わない因数分解をやりました。

私、Menkarmの回答

中学校では4乗はやらないし、例え2乗でもこのパターンの因数分解は教えないだろう。
「a2-b2を作る」因数分解
2をAと置き換えると
4+4=A2+4
(A+2)2=A2+4A+4なので
2+4=(A+2)2-4A
Aを元のx2に戻して
 (A+2)2-4A
=(x2+2)2-4x2
=(x2+2)2-(2x)2
2-b2=(a+b)(a-b)なので
 (x2+2)2-(2x)2
=(x2+2+2x)(x2+2-2x)
=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

答え x4+4=(x2+2x+2)(x2-2x+2)


③ (x2-1)(y2-1)-4xy

私、Menkarmの回答

たすき掛け(クロス法)は数だけでは無く、文字係数でも出来る。
「文字係数もたすき掛けする」因数分解
 (x2-1)(y2-1)-4xy
=x22-x2-y2-4xy+1
=(y2-1)x2-4yx-(y2-1)
=(y-1)(y+1)x2-4yx-(y-1)(y+1)
ここで文字係数の「たすき掛け(クロス法)」←たすき掛けをご存じない時はクリック。

y-1   -(y+1)   -y2-2y-1
    ✕
y+1    (y-1)    y2-2y+1  +
                   4y      

与式=((y-1)x-(y+1))((y+1)x+(y-1))
=(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)

答え (x2-1)(y2-1)-4xy=(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)


④ 5x2-56x-1536

JIMMYさんから頂いた回答

1536を素数に分解すると1536=3×2×2×2×2×2×2×2×2×2
そこでクロス法を用いて(x-a)(5x+b)=0
5X^2=5×1*X^2
-a×b=-1536
とおいて5a+1b=-56
となればいいので、aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付けます。結果はa=24,b=64
5x^2-56x-1536=(5x+64)(x-24)

メンカームのコメント
「aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付け」られるのが羨ましい。私や娘はまだまだ経験不足です。

私、Menkarmの回答

たすき掛けで解けそうだが、適当な数が見つからない。こんな時は・・
「二次方程式の解の公式を使う」因数分解
仮に 5x2-56x-1536=0 として二次方程式の解の公式を利用してxを求める。
二次方程式の解の公式より ax2+bx+c=0の時のxの値は、
x=(-b±√2-4ac)/(2a)なので、
x=(56±√562-4・5・(-1536))/(2・5)
 =(56±√3136+30720)/10
 =(56±√33856)/10
 =(56±√6×232)/10 12~252まで要暗記。
 =(56±23×23)/10
 =(56±184)/10
 =24 , -12.8

x=24は判るが、x=-12.8へピンと来ない私は因数定理を利用した組立除法を使って求める。

24| 5  -56  -1536
       120   1536
    5   64      0

(x-24)(5x+64)=0

答え 5x2-56x-1536=(x-24)(5x+64)


⑤ a3+3a2b+a2c+2ab2+2b2c+3abc (誤記修正しました。御指摘ありがとうございます。)

JIMMYさんから頂いた回答

(a+b)で割りますと、
(a+b)(a^2+2ab+ac+2bc)となるので、さらに因数分解して、
(a+b)(a+c)(a+2b)になりました。

メンカームのコメント
a+bで割れそうだなと、気が付かない私が悲しい。修行不足です。

私、Menkarmの回答

複雑で、どれを係数にするか悩んだ時は
「低い次数に着目した」因数分解

先ずは次数について。多項式の次数とは、その項が何乗であるか、または最高何乗の項を持つかを示す数を言う。
3+3a2b+a2c+2ab2+2b2c+3abcは、aについて言えば最高3乗の項を持つので次数は3。bについては最高2乗の項を持つので次数は2。cは最高1乗の項なので次数は1となる。

与式を次数が3のaで整理する
 a3+3a2b+a2c+2ab2+2b2c+3abc
=a3+(3b+c)a2+(2b2+3bc)a+2b2
残念だが、私の低い能力ではここから因数分解出来ない。

与式を次数が2のbで整理する
 a3+3a2b+a2c+2ab2+2b2c+3abc
=(2a+2c)b2+(3a2+3ac)b+a3+a2
=(2a+2c)b2+(3a2+3ac)b+a(a2+ac)

2a+2c    a2+ac  a2+ ac
     ✕
1        a     2a2+2ac  +
               3a2+3ac      

与式=((2a+2c)b+a2+ac)(b+a)
  =(2(a+c)b+a(a+c))(b+a)
  =(a+c)(2b+a)(b+a)
  =(a+b)(a+2b)(a+c)

与式を次数が1のcで整理する
 a3+3a2b+a3c+2ab2+2b2c+3abc
=(a2+2b2+3ab)c+a3+3a2b+2ab2
=(a2+2b2+3ab)c+a(a2+3ab+2b2
=(a+c)(a2+2b2+3ab)
=(a+b)(a+2b)(a+c)

多項式は次数が低い文字で整理し、次数が高い文字を係数とした方が、因数分解し易い場合があるのを理解出来ただろう。


問2 4x4-12x3+13x2-6x+1=(ax2+bx+c)2
a+b+c=?


JIMMYさんから頂いた回答

a=-2,b=3,c=-1になるのでa+b+c=0になりました。
今回も教えて下さったJIMMYさんへ感謝! m(_ _)m <いつも有難うございます。

私、Menkarmの回答

 (ax2+bx+c)2
=(ax2+bx+c)(ax2+bx+c)
=a24+abx3+acx2
    +abx3+ b22+bcx
         +acx2+bcx+c2
=a24+2abx3+(b2+2ac)x2+2bcx+c2
4x4-12x3+13x2-6x+1と係数を比べると・・
2=4、2ab=-12、b2+2ac=13、2bc=-6、c2=1

2=4 より a=±2

a=2の時 2ab=-12より b=-3。
2+2ac=13へ a=2 と b=-3 を代入して c=1
a=2、b=-3、c=1 で 2bc=-6 c2=1 となるのを確認。
a+b+c=0

a=-2の時 2ab=-12より b=3。
2+2ac=13へ a=-2 と b=3 を代入して c=-1
a=-2、b=3、c=-1 で 2bc=-6 c2=1 となるのを確認。
a+b+c=0

答え a+b+c=0

いかがだっただろうか?JIMMYさんと私の解答を見て、私が感じる大きな違いは(当然能力の違いが大きいのだけど、それは置いといてw)「経験」の差。JIMMYさんは、多分この辺だなと推測されて、サクサクと解かれている。娘をそのレベルまで持って行きたいが、まだまだ時間が必要。
今回紹介した因数分解は高校レベルだが、このくらいを知らないと中学生向けでもレベルが高めの問題集に手が出せない。出来なくても中学校の成績には関係無いが、IJSO等の試験や高校で進学校の理数なんかを狙うと影響はあるだろう。
娘と私がやっている自宅での数学の学習で、学校で教えない定理や公式の学習を終えて、今はサマーコムカニッタサー試験の対策問題集に取り組んでおり、10月のピッタームで中2の範囲までを終わらせた。今回の記事で中1の1学期に自宅で学習して難しかった部分の紹介は終わり。

未だやるの?と言われそうだが、最後に息子の大学受験問題集から1問。



∠Aの角度を求めなさい。




息子から教えてくれと頼まれて取り組んだが、中学生でも余裕で解ける問題だった。解答は1週間後に掲載。

タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高1入試ギフ



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一人で同じ問題集を7冊買う理由

2018年11月12日 00時00分00秒 | タイで子育て
ステップアップを目指してもう一回大学受験をしようと頑張っている息子。同じく再受験を目指している同じ大学の学生数人で集まって毎日勉強しているが、環境の変化が脳の海馬を刺激して能力が高まる話をしてやると、最近は仲間がサイアムの塾へ行く時に同行し、近くのチュラの図書館で勉強するそうだ。自分が合格した後の生活をイメージしながら勉強すると、記憶力が高ま(った気がす)るらしい。(←扱い易いバ◯息子w)

チュラブックセンターへも時々行っており、幼稚園から高校生までを対象にした学習参考書を集めた14階へ司書の様に知識が豊富なスーパー店員さんが居られるそうで、目標とする大学や学部と理解度を話すと、レベルが合った参考書を紹介していただいたと喜んでいた。

その14階で息子が見た不思議な光景だが、トリアムウドム高校の生徒が一人で同じ問題集を7冊買っていたそうだ。同じトリアムウドム高の生徒が7冊も買ってどうするのと尋ねると、7回繰り返して解くと答えたそうで、トリアムウドムの生徒は考える事もやる事も違うなと息子が驚いていた。(息子の大学の友だちはBNKの握手券を12枚買って喜んでいたそうだw。)
記憶には繰り返しが有効だそうで、完全に記憶するまで繰り返す回数に個人差は有るが6回くらい繰り返すと大体の人は記憶できるらしい。
先日、昨年の息子の受験勉強にチェックを入れると、解けない設問は解答を見て終わっただけで、解き直しもやってない。これでは解ける物も解けないだろう。昨年は親の干渉を嫌がったくせに、やるべきものは全く出来てない。既に手遅れかも知れないが、今年はそういう低レベルな勉強は許さないつもり。

さて、今日も因数分解の問題を出そう。これは私も娘も悩んだし、大学生の息子へやらせても半分は解けなかった(大恥w)が、これを理解しなければ数学競技会の入賞や上位高校の受験は難しい。題して「中学校で教えない因数分解w」。

問1 ①~⑤を因数分解しなさい。
① (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
② x4+4
③ (x2-1)(y2-1)-4xy
④ 5x2-56x-1536
⑤ a3+3a2b+a2c+2ab2+2b2c+3abc (誤記修正しました)

問2 4x4-12x3+13x2-6x+1=(ax2+bx+c)2
a+b+c=?


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外接円の半径の求め方

2018年11月09日 00時00分00秒 | タイで子育て
「ピッ(閉)ターム(学期)」に娘と取り組んで難しかった外接円の半径の求める問題の解答。





三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。



JIMMYさんから頂いた回答

極めて教科書通りに解きますと、
三辺の長さ a,b,c、外接円の半径R の三角形の面積 S は、S=abc/4RですのでS=4*5*6/4R=30/R。

また三辺の長さ a,b,c、の面積 S は、ヘロンの公式で求められます。
S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
s=1/2(a+b+c)

そこで両者を合わせると、
S^2=(30/R)^2=15/2*(15/2-4)*(15/2-5)*(15/2-6)=7*(15/4)^2
30/R=√7*(15/4)

R=(8/7)*√7

=(8√7)/7 ←の「=(8√7)/7」と1段上の(8/7)を囲む「()」はメンカームが書き加えました。

私が少し解説。
先ずはS=abc/4Rについて。



Bから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をA'とする。
∠A'CB=90°(小6レベルの知識)
∠Aと∠A'は同じ弧BCの上に立つ円周角で等しく、三角形の辺BC=aとすると、
正弦定理により a=2RsinA  sinA=a/2R ---①



⊿ABCの面積S=(1/2)・h・c
h=bsinAなので
S=(1/2)・bsinA・c
①より
sinA=a/2Rなので
=(1/2)・b(a/2R)・c
 =abc/4R

S=5・4・6/4R
 =30/R ---②


続いてヘロンの公式の解説。

⊿ABCの面積S=(1/2)・h・c
h=bsinAなので
S=(1/2)・bsinA・c
 =(1/2)・bcsinA
 =(1/2)・bc√1-cos2
第二余弦定理 a2=b2+c2-2bc・cosAより
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
S=(1/2)・bc√1-((b2+c2-a2)/2bc)2
 =(1/2)・bc√((2bc)2-(b2+c2-a22)/(2bc)2
 =(1/4)√((2bc)2-(b2+c2-a22
 =(1/4)√(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2
 =(1/4)√((b+c)2-a2)(a2-(b-c)2
 =(1/4)√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
 =√((a+b+c)/2)((a+b+c-2a)/2)((a+b+c-2b)/2)((a+b+c-2c)/2)
 =√((a+b+c)/2)(((a+b+c)/2)-a)(((a+b+c)/2)-b)(((a+b+c)/2)-c)

s=(a+b+c)/2
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
2=s(s-a)(s-b)(s-c)


s=(5+4+6)/2=15/2
S=√(15/2)((15/2)-5)((15/2)-4)((15/2)-6)
 =√(15/2)(5/2)(7/2)(3/2)
 =√(15・5・7・3/16)
 =15√/4
②より正弦定理を利用して求めた⊿ABCの面積S=30/Rなので
30/R=15√/4
R=30/(15√/4)=8/√=8√/7

定理を導いたので長くなったが、定理を覚えて利用すれば短くサクサクと解ける。定理の証明は高校レベルだが、中学生でも式を覚えて活用できる。日本の高校受験参考書にも書かれている。以上JIMMYさんから頂いた解答の解説終わり。
解答を頂いたJIMMYさんへ感謝。m(_ _)m


次にtaiyaiさんから頂いた解答

同じ弧の上に立つ円周角同一ですね。
直角三角形から 2RsinA=5です。Rは半径。
第二余弦定理でcosAはわかっています。 9/16
半径は、8/√7
=(8√7)/7←の「=(8√7)/7」はメンカームが書き加えました。

こちらも私が少し解説。

「同じ弧の上に立つ円周角同一」は・・・



Bから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をA'とする。
∠Aと∠A'は同じ弧BCの上に立つ円周角で等しいことを指している。
三角形の辺BC=aとすると、正弦定理により a=2RsinA=5  sinA=5/(2R) ---①

第二余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理。



2=b2+c2-2bc・cosAより
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
    =(42+62-52)/2・4・6
    =(16+36-25)/48
    =27/48=9/16 ---②

ここからどうやってRを求められたのか書いて頂いてないので私の推測だが・・・

【推測1】
sinA=5/2Rを示されているので、
ピタゴラスの基本三角関数公式 sin2A+cos2A=1より
cos2A=1-sin2
①より sinA=5/(2R) なので
cos2A=1-(5/(2R))2

②より cosA=9/16 なので
(9/16)2=1-(5/(2R))2
(5/(2R))2=1-(9/16)2
25/4R2=1-(81/256)
25/4R2=175/256
25・256=175・4R2
2=(25・256)/(175・4)
2=256/28=64/7
R=8/√7=(8√7)/7

【推測2】
sinA=5/2Rを示されているが、第二余弦定理で求めた cosA=9/16 しか使わなかったとすれば



辺A'C=2RcosA=2R(9/16)=9R/8
ピタゴラスの定理を利用して、
AB2=BC2+A'C2
(2R)2=52+(9R/8)2
4R2=25+81R2/64
(4-(81/64))R2=25
2=25/(175/64)=64/7
R=8/√7=(8√7)/7

taiyaiさんの解答も高校で学ぶ第二余弦定理を使ったが、簡単に答えが導ける。
解答を頂いたtaiyaiさんへ感謝!m(_ _)m


最後に日本の参考者「塾技数学100」を見ながら解いた私、メンカームの解答



点Aから辺BCの垂線を引き、垂線と辺BCの交点をD、ADの長さをh、DCの長さをaとする。
⊿ACDをピタゴラスの定理で表す。
2=a2+h2 ---①
⊿ABDをピタゴラスの定理で表す。
2=(5-a)2+h2
  =52-10a+a2+h2
①の式を代入して
2=52-10a+42
10a=52+42-62
   =25+16-36
   =5
a=1/2

①より
2=42-a2
       =42-(1/2)2
       =16-(1/4)
       =63/4
h=√63/2=√2×7/2=3√/2



Aから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をEとする。
∠ABE=∠ADC=90°(∠ABE=90°は、小6レベルの知識)
同じ弧AB上の円周角で等しいので、
∠AEB=∠ACD
⊿ABEと⊿ADCは、2つの角が等しいので、
⊿ABE∽⊿ADC
相似な2つの三角形の辺の長さの比は等しいので、
6:(3√/2)=2R:4
(3√/2)・2R=6・4
(3√)R=24
R=24/(3√)=8/√=(8√)/7

三角関数を使わず、相似な三角形の辺の長さの比を利用した解き方。


外接円の半径を求める問題は5月にも1問紹介している。学校の授業ではそれほど教えないが、数学の競技会や上位の高校を目指すなら理解しておきたい。
娘は塾技数学100の解き方しか教えてないが、そろそろ高校で習う第二余弦定理も教えるつもり。
第二余弦定理は大学生の息子が「分からない」と言ってきた問題があるので、それも後日記事にしよう。

この記事が長々と数式ばかりなのを見た娘から「そんな面倒なのは、誰も読まないよ❤」と言われたが、紙で保管しているとどこへ行ったか判らなくなるのが我が家。元々勉強嫌いな私は、参考書を読んで知った1つの解き方しか分からないが、記事にしたので沢山の解き方を教えて頂いた。解答やコメントを頂いた皆様へ感謝!


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メネラウスの定理を簡単に理解する

2018年11月05日 00時00分00秒 | タイで子育て
今日も中学生向けの数学の話。メネラウスの定理のまとめだ。

先日は日本の高校受験参考書と睨めっこをしながら、下の様に(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=1 を導いてみた。



DCと平行な線をFから引き、ABとの交点をPとする。
AC:CF=DA:DP
AC・DP=DA・CF
(AC/CF)=(DA/DP) ---①
FE:EB=DP:BD
FE・BD=DP・EB
(FE/EB)=(DP/BD) ---②
①×②
(AC/CF)×(FE/EB)=(DA/DP)×(DP/BD)
両辺へ(BD/DA)を掛ける。
(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=(DA/DP)×(DP/BD)×(BD/DA)
(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=1


辺AC上のACとCFの割合(AC/CF)を辺AB上のDAとDPの割合(DA/DP)へ変換し、辺FB上のFEとEBの割合(FE/EB)も辺AB上のDPとBDの割合(DP/BD)に変換。この2つの割合を掛け合せた上へ辺AB上のBDとDAの割合BD/DAも掛けると1になると導いているが、中1の娘は理解できてもスッキリでは無いらしく、タイヤイさんから頂いたアドバイスと問題集の模範解答を参考に「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用してメネラウスの定理を導いてみたい。

先ずはメネラウスの定理を導く基になる「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」の話から。



⊿ABGと⊿ACGは共に高さがhの三角形。
⊿ABGの面積S1=(BG×h)÷2
⊿ACGの面積S2=(CG×h)÷2
S1:S2=(BG×h)÷2:(CG×h)÷2
     =BG:CG

⊿ABGの面積S1と⊿ACGの面積S2の面積比は、⊿ABGの底辺BGと⊿ACGの底辺CGの長さの比と等しい。



⊿EBGと⊿ECGは共に高さがjの三角形。
⊿EBGの面積S3=(BG×j)÷2
⊿ECGの面積S4=(CG×j)÷2
S3:S4=(BG×j)÷2:(CG×j)÷2
     =BG:CG

⊿EBGの面積S3と⊿ECGの面積S4の面積比は、⊿EBGの底辺BGと⊿ECGの底辺CGの長さの比と等しい。

⊿ABEの面積S5=S1-S3
         =((BG×h)÷2)-((BG×j)÷2)
         =BG(h-j)÷2
⊿ACEの面積S6=S2-S4
         =((CG×h)÷2)-((CG×j)÷2)
         =CG(h-j)÷2
⊿ABEの面積S5:⊿ACEの面積S6=S1-S3:S2-S4
                  =BG(h-j)÷2:CG(h-j)÷2
                  =BG:CG

⊿ABEの面積S5と⊿ACEの面積S6の面積比は、BGとCGの長さの比と等しい。


ここまでを理解したらメネラウスの定理へ入ろう。



このままでは難しいので、以下の様にAEとBCへ補助線を入れ、⊿EAFの面積をS1 ⊿ECFの面積をS2 ⊿EBCの面積をS3とする。



⊿EAFと⊿ECFは高さが等しい三角形で、面積比S1:S2と底辺の長さの比AF:CFが等しいので、
AC/CF=(S1+S2)/S2

⊿ECFと⊿EBCは高さが等しい三角形で、面積比S2:S3と底辺の長さの比FE:EBが等しいので、
FE/EB=S2/S3

⊿EBCと⊿EACの面積比S3:(S1+S2)と 辺BDと辺DAの長さの比BD:DAが等しいので、
BD/DA=S3/(S1+S2)

(AC/CF)・(FE/EB)・(BD/DA)=((S1+S2)/S2)・(S2/S3)・(S3/(S1+S2))
                       =((S1+S2)/S2)・(S2S3)・(S3/(S1+S2))
                       =1


「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」を利用するとメネラウスの定理を簡単に導ける。


同じ方法でチェバの定理も導く。

チェバの定理についての詳細な解説はウィキペディアを参照。 日本語のページ タイ語のページ



チェバの定理とは上の図で(AD/DB)・(BG/GC)・(CF/FA)=1の等式が成立する定理。

AD/DB=⊿ECA/⊿ECB=S2/S3
BG/GC=⊿EAB/⊿ECA=S1/S2
CF/FA=⊿ECB/⊿EAB=S3/S1 なので
(AD/DB)・(BG/GC)・(CF/FA)=(S2/S3)・(S1/S2)・(S3/S1)
                       =(S2S3)・(S1S2)・(S3S1
                       =1


このくらいに書くと中1の娘でも理解できるそうだ。単に式だけ覚えるより良いだろう。メネラウスの定理もチェバの定理も中学や高校では教えないらしく、タイの高校受験や大学受験の問題集でも「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用して解いてあるが、そんなことをやっていたのでは1問3分で解くのは難しい。この2つの定理は受験の時に強力な武器として働いてくれるだろう。


タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高1入試ギフ

タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試


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「そんな大学は退学してしまえ!」と喉まで出掛かった。

2018年11月02日 00時00分00秒 | タイで子育て
息子の大学は、前期と後期授業の間の休み「ピッ(閉)ターム(学期)」ではないのだが、以前はピッタームだったこの時期に卒業式が有るという理由で数週間の休み。息子は先月の10日に帰って約3週間を我が家で過ごし、目の下の黒い隈は無くなり、体は150%の横拡大w。29日の夜のバスでバンコクへ向かった。
7月にバンコクへ向かった時は期待に胸を膨らませて旅立ったが、今回は失望の中を仕方無しでの旅立ち。後期から休学し受験後に復学すれば夏休みに取り戻せると息子は言い、取り敢えず前期を終わらせて休学するつもりだが、息子が夢も希望も見つけられない大学へ復学させるつもりは私に全く無い。「そんな大学は退学してしまえ!」と喉まで出掛かったが、退学した後に受験で失敗すれば更に下位の大学で学ぶことになる。背水の陣で受験へ挑むより、逃げ場が有った方がリラックスして取り組めるだろうと思っての休学。「行くな」と言いたい気持ちを押し殺して送り出した。


さて、今日も「ピッ(閉)ターム(学期)」に娘と取り組んで難しかった数学の問題を紹介しよう。





三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。


解答は来週末の記事で紹介するつもり。

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