Menkarm World

メンカームの趣味の部屋へようこそ!

一人で同じ問題集を7冊買う理由

2018年11月12日 00時00分00秒 | タイで子育て
ステップアップを目指してもう一回大学受験をしようと頑張っている息子。同じく再受験を目指している同じ大学の学生数人で集まって毎日勉強しているが、環境の変化が脳の海馬を刺激して能力が高まる話をしてやると、最近は仲間がサイアムの塾へ行く時に同行し、近くのチュラの図書館で勉強するそうだ。自分が合格した後の生活をイメージしながら勉強すると、記憶力が高ま(った気がす)るらしい。(←扱い易いバ◯息子w)

チュラブックセンターへも時々行っており、幼稚園から高校生までを対象にした学習参考書を集めた14階へ司書の様に知識が豊富なスーパー店員さんが居られるそうで、目標とする大学や学部と理解度を話すと、レベルが合った参考書を紹介していただいたと喜んでいた。

その14階で息子が見た不思議な光景だが、トリアムウドム高校の生徒が一人で同じ問題集を7冊買っていたそうだ。同じトリアムウドム高の生徒が7冊も買ってどうするのと尋ねると、7回繰り返して解くと答えたそうで、トリアムウドムの生徒は考える事もやる事も違うなと息子が驚いていた。(息子の大学の友だちはBNKの握手券を12枚買って喜んでいたそうだw。)
記憶には繰り返しが有効だそうで、完全に記憶するまで繰り返す回数に個人差は有るが6回くらい繰り返すと大体の人は記憶できるらしい。
先日、昨年の息子の受験勉強にチェックを入れると、解けない設問は解答を見て終わっただけで、解き直しもやってない。これでは解ける物も解けないだろう。昨年は親の干渉を嫌がったくせに、やるべきものは全く出来てない。既に手遅れかも知れないが、今年はそういう低レベルな勉強は許さないつもり。

さて、今日も因数分解の問題を出そう。これは私も娘も悩んだし、大学生の息子へやらせても半分は解けなかった(大恥w)が、これを理解しなければ数学競技会の入賞や上位高校の受験は難しい。題して「中学校で教えない因数分解w」。

問1 ①~⑤を因数分解しなさい。
① (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
② x4+4
③ (x2-1)(y2-1)-4xy
④ 5x2-56x-1536
⑤ a3+3a2b+a3c+2ab2+2b2c+3abc

問2 4x4-12x3+13x2-6x+1=(ax2+bx+c)2
a+b+c=?


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コメント (3)

外接円の半径の求め方

2018年11月09日 00時00分00秒 | タイで子育て
「ピッ(閉)ターム(学期)」に娘と取り組んで難しかった外接円の半径の求める問題の解答。





三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。



JIMMYさんから頂いた回答

極めて教科書通りに解きますと、
三辺の長さ a,b,c、外接円の半径R の三角形の面積 S は、S=abc/4RですのでS=4*5*6/4R=30/R。

また三辺の長さ a,b,c、の面積 S は、ヘロンの公式で求められます。
S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
s=1/2(a+b+c)

そこで両者を合わせると、
S^2=(30/R)^2=15/2*(15/2-4)*(15/2-5)*(15/2-6)=7*(15/4)^2
30/R=√7*(15/4)

R=(8/7)*√7

=(8√7)/7 ←の「=(8√7)/7」と1段上の(8/7)を囲む「()」はメンカームが書き加えました。

私が少し解説。
先ずはS=abc/4Rについて。



Bから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をA'とする。
∠A'CB=90°(小6レベルの知識)
∠Aと∠A'は同じ弧BCの上に立つ円周角で等しく、三角形の辺BC=aとすると、
正弦定理により a=2RsinA  sinA=a/2R ---①



⊿ABCの面積S=(1/2)・h・c
h=bsinAなので
S=(1/2)・bsinA・c
①より
sinA=a/2Rなので
=(1/2)・b(a/2R)・c
 =abc/4R

S=5・4・6/4R
 =30/R ---②


続いてヘロンの公式の解説。

⊿ABCの面積S=(1/2)・h・c
h=bsinAなので
S=(1/2)・bsinA・c
 =(1/2)・bcsinA
 =(1/2)・bc√1-cos2
第二余弦定理 a2=b2+c2-2bc・cosAより
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
S=(1/2)・bc√1-((b2+c2-a2)/2bc)2
 =(1/2)・bc√((2bc)2-(b2+c2-a22)/(2bc)2
 =(1/4)√((2bc)2-(b2+c2-a22
 =(1/4)√(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2
 =(1/4)√((b+c)2-a2)(a2-(b-c)2
 =(1/4)√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
 =√((a+b+c)/2)((a+b+c-2a)/2)((a+b+c-2b)/2)((a+b+c-2c)/2)
 =√((a+b+c)/2)(((a+b+c)/2)-a)(((a+b+c)/2)-b)(((a+b+c)/2)-c)

s=(a+b+c)/2
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
2=s(s-a)(s-b)(s-c)


s=(5+4+6)/2=15/2
S=√(15/2)((15/2)-5)((15/2)-4)((15/2)-6)
 =√(15/2)(5/2)(7/2)(3/2)
 =√(15・5・7・3/16)
 =15√/4
②より正弦定理を利用して求めた⊿ABCの面積S=30/Rなので
30/R=15√/4
R=30/(15√/4)=8/√=8√/7

定理を導いたので長くなったが、定理を覚えて利用すれば短くサクサクと解ける。定理の証明は高校レベルだが、中学生でも式を覚えて活用できる。日本の高校受験参考書にも書かれている。以上JIMMYさんから頂いた解答の解説終わり。
解答を頂いたJIMMYさんへ感謝。m(_ _)m


次にtaiyaiさんから頂いた解答

同じ弧の上に立つ円周角同一ですね。
直角三角形から 2RsinA=5です。Rは半径。
第二余弦定理でcosAはわかっています。 9/16
半径は、8/√7
=(8√7)/7←の「=(8√7)/7」はメンカームが書き加えました。

こちらも私が少し解説。

「同じ弧の上に立つ円周角同一」は・・・



Bから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をA'とする。
∠Aと∠A'は同じ弧BCの上に立つ円周角で等しいことを指している。
三角形の辺BC=aとすると、正弦定理により a=2RsinA=5  sinA=5/(2R) ---①

第二余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理。



2=b2+c2-2bc・cosAより
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
    =(42+62-52)/2・4・6
    =(16+36-25)/48
    =27/48=9/16 ---②

ここからどうやってRを求められたのか書いて頂いてないので私の推測だが・・・

【推測1】
sinA=5/2Rを示されているので、
ピタゴラスの基本三角関数公式 sin2A+cos2A=1より
cos2A=1-sin2
①より sinA=5/(2R) なので
cos2A=1-(5/(2R))2

②より cosA=9/16 なので
(9/16)2=1-(5/(2R))2
(5/(2R))2=1-(9/16)2
25/4R2=1-(81/256)
25/4R2=175/256
25・256=175・4R2
2=(25・256)/(175・4)
2=256/28=64/7
R=8/√7=(8√7)/7

【推測2】
sinA=5/2Rを示されているが、第二余弦定理で求めた cosA=9/16 しか使わなかったとすれば



辺A'C=2RcosA=2R(9/16)=9R/8
ピタゴラスの定理を利用して、
AB2=BC2+A'C2
(2R)2=52+(9R/8)2
4R2=25+81R2/64
(4-(81/64))R2=25
2=25/(175/64)=64/7
R=8/√7=(8√7)/7

taiyaiさんの解答も高校で学ぶ第二余弦定理を使ったが、簡単に答えが導ける。
解答を頂いたtaiyaiさんへ感謝!m(_ _)m


最後に日本の参考者「塾技数学100」を見ながら解いた私、メンカームの解答



点Aから辺BCの垂線を引き、垂線と辺BCの交点をD、ADの長さをh、DCの長さをaとする。
⊿ACDをピタゴラスの定理で表す。
2=a2+h2 ---①
⊿ABDをピタゴラスの定理で表す。
2=(5-a)2+h2
  =52-10a+a2+h2
①の式を代入して
2=52-10a+42
10a=52+42-62
   =25+16-36
   =5
a=1/2

①より
2=42-a2
       =42-(1/2)2
       =16-(1/4)
       =63/4
h=√63/2=√2×7/2=3√/2



Aから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をEとする。
∠ABE=∠ADC=90°(∠ABE=90°は、小6レベルの知識)
同じ弧AB上の円周角で等しいので、
∠AEB=∠ACD
⊿ABEと⊿ADCは、2つの角が等しいので、
⊿ABE∽⊿ADC
相似な2つの三角形の辺の長さの比は等しいので、
6:(3√/2)=2R:4
(3√/2)・2R=6・4
(3√)R=24
R=24/(3√)=8/√=(8√)/7

三角関数を使わず、相似な三角形の辺の長さの比を利用した解き方。


外接円の半径を求める問題は5月にも1問紹介している。学校の授業ではそれほど教えないが、数学の競技会や上位の高校を目指すなら理解しておきたい。
娘は塾技数学100の解き方しか教えてないが、そろそろ高校で習う第二余弦定理も教えるつもり。
第二余弦定理は大学生の息子が「分からない」と言ってきた問題があるので、それも後日記事にしよう。

この記事が長々と数式ばかりなのを見た娘から「そんな面倒なのは、誰も読まないよ❤」と言われたが、紙で保管しているとどこへ行ったか判らなくなるのが我が家。元々勉強嫌いな私は、参考書を読んで知った1つの解き方しか分からないが、記事にしたので沢山の解き方を教えて頂いた。解答やコメントを頂いた皆様へ感謝!


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メネラウスの定理を簡単に理解する

2018年11月05日 00時00分00秒 | タイで子育て
今日も中学生向けの数学の話。メネラウスの定理のまとめだ。

先日は日本の高校受験参考書と睨めっこをしながら、下の様に(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=1 を導いてみた。



DCと平行な線をFから引き、ABとの交点をPとする。
AC:CF=DA:DP
AC・DP=DA・CF
(AC/CF)=(DA/DP) ---①
FE:EB=DP:BD
FE・BD=DP・EB
(FE/EB)=(DP/BD) ---②
①×②
(AC/CF)×(FE/EB)=(DA/DP)×(DP/BD)
両辺へ(BD/DA)を掛ける。
(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=(DA/DP)×(DP/BD)×(BD/DA)
(AC/CF)×(FE/EB)×(BD/DA)=1


辺AC上のACとCFの割合(AC/CF)を辺AB上のDAとDPの割合(DA/DP)へ変換し、辺FB上のFEとEBの割合(FE/EB)も辺AB上のDPとBDの割合(DP/BD)に変換。この2つの割合を掛け合せた上へ辺AB上のBDとDAの割合BD/DAも掛けると1になると導いているが、中1の娘は理解できてもスッキリでは無いらしく、タイヤイさんから頂いたアドバイスと問題集の模範解答を参考に「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用してメネラウスの定理を導いてみたい。

先ずはメネラウスの定理を導く基になる「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」の話から。



⊿ABGと⊿ACGは共に高さがhの三角形。
⊿ABGの面積S1=(BG×h)÷2
⊿ACGの面積S2=(CG×h)÷2
S1:S2=(BG×h)÷2:(CG×h)÷2
     =BG:CG

⊿ABGの面積S1と⊿ACGの面積S2の面積比は、⊿ABGの底辺BGと⊿ACGの底辺CGの長さの比と等しい。



⊿EBGと⊿ECGは共に高さがjの三角形。
⊿EBGの面積S3=(BG×j)÷2
⊿ECGの面積S4=(CG×j)÷2
S3:S4=(BG×j)÷2:(CG×j)÷2
     =BG:CG

⊿EBGの面積S3と⊿ECGの面積S4の面積比は、⊿EBGの底辺BGと⊿ECGの底辺CGの長さの比と等しい。

⊿ABEの面積S5=S1-S3
         =((BG×h)÷2)-((BG×j)÷2)
         =BG(h-j)÷2
⊿ACEの面積S6=S2-S4
         =((CG×h)÷2)-((CG×j)÷2)
         =CG(h-j)÷2
⊿ABEの面積S5:⊿ACEの面積S6=S1-S3:S2-S4
                  =BG(h-j)÷2:CG(h-j)÷2
                  =BG:CG

⊿ABEの面積S5と⊿ACEの面積S6の面積比は、BGとCGの長さの比と等しい。


ここまでを理解したらメネラウスの定理へ入ろう。



このままでは難しいので、以下の様にAEとBCへ補助線を入れ、⊿EAFの面積をS1 ⊿ECFの面積をS2 ⊿EBCの面積をS3とする。



⊿EAFと⊿ECFは高さが等しい三角形で、面積比S1:S2と底辺の長さの比AF:CFが等しいので、
AC/CF=(S1+S2)/S2

⊿ECFと⊿EBCは高さが等しい三角形で、面積比S2:S3と底辺の長さの比FE:EBが等しいので、
FE/EB=S2/S3

⊿EBCと⊿EACの面積比S3:(S1+S2)と 辺BDと辺DAの長さの比BD:DAが等しいので、
BD/DA=S3/(S1+S2)

(AC/CF)・(FE/EB)・(BD/DA)=((S1+S2)/S2)・(S2/S3)・(S3/(S1+S2))
                       =((S1+S2)/S2)・(S2S3)・(S3/(S1+S2))
                       =1


「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」を利用するとメネラウスの定理を簡単に導ける。


同じ方法でチェバの定理も導く。

チェバの定理についての詳細な解説はウィキペディアを参照。 日本語のページ タイ語のページ



チェバの定理とは上の図で(AD/DB)・(BG/GC)・(CF/FA)=1の等式が成立する定理。

AD/DB=⊿ECA/⊿ECB=S2/S3
BG/GC=⊿EAB/⊿ECA=S1/S2
CF/FA=⊿ECB/⊿EAB=S3/S1 なので
(AD/DB)・(BG/GC)・(CF/FA)=(S2/S3)・(S1/S2)・(S3/S1)
                       =(S2S3)・(S1S2)・(S3S1
                       =1


このくらいに書くと中1の娘でも理解できるそうだ。単に式だけ覚えるより良いだろう。メネラウスの定理もチェバの定理も中学や高校では教えないらしく、タイの高校受験や大学受験の問題集でも「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用して解いてあるが、そんなことをやっていたのでは1問3分で解くのは難しい。この2つの定理は受験の時に強力な武器として働いてくれるだろう。


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「そんな大学は退学してしまえ!」と喉まで出掛かった。

2018年11月02日 00時00分00秒 | タイで子育て
息子の大学は、前期と後期授業の間の休み「ピッ(閉)ターム(学期)」ではないのだが、以前はピッタームだったこの時期に卒業式が有るという理由で数週間の休み。息子は先月の10日に帰って約3週間を我が家で過ごし、目の下の黒い隈は無くなり、体は150%の横拡大w。29日の夜のバスでバンコクへ向かった。
7月にバンコクへ向かった時は期待に胸を膨らませて旅立ったが、今回は失望の中を仕方無しでの旅立ち。後期から休学し受験後に復学すれば夏休みに取り戻せると息子は言い、取り敢えず前期を終わらせて休学するつもりだが、息子が夢も希望も見つけられない大学へ復学させるつもりは私に全く無い。「そんな大学は退学してしまえ!」と喉まで出掛かったが、退学した後に受験で失敗すれば更に下位の大学で学ぶことになる。背水の陣で受験へ挑むより、逃げ場が有った方がリラックスして取り組めるだろうと思っての休学。「行くな」と言いたい気持ちを押し殺して送り出した。


さて、今日も「ピッ(閉)ターム(学期)」に娘と取り組んで難しかった数学の問題を紹介しよう。





三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。


解答は来週末の記事で紹介するつもり。

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乾季へ入って気温が下がると気を付けなければならないこと。

2018年10月29日 00時00分00秒 | タイでの生活
タイ気象局の発表によると、タイは27日から乾季に入ったそうだ。
ウドンタニ等の北部イサーンは、例年タイの乾季入り宣言より一ヶ月早く乾季らしい天候が始まり、朝に車の窓が結露していたりするが、南支那海へ台風が入ったりすると雨が降ったりもする。
今年は21日の夕方から気温が下がり、こんな日は気を付けなければならないと思いながら洗濯物を取り入れていると、バタバタと叩いた妻のズボンから黒い塊が落ちた。

「あ!」っと思って、落ちた黒い塊へ体勢を取り戻すスキを与えずに素早く踏み潰す私。



気温が下がると黒くて大きなスズメバチが干している洗濯物の中へ入るのだ。黒や紺等の色が濃い衣類を好み、ズボンの中へ潜んでいる事が多い。主夫な私は自分のズボンへ入っていた事もあり、気を付けて叩いてから取り入れる様にしているが、それでも家族がズボンを履いてから蜂に気付いたのが4回。妻と息子は1回ずつ刺されてしまった。

我が家では屋外で干していたズボンの中へ蛇まで入っていた事もあり、洗濯物の取り入れには気を付けているが、蜂は気温が低いと動かなくなり衣類の上から叩いたくらいでは逃げなかったりで、上着の袖やズボンは裏返して見ている。

特に気温が下がった日はご注意を!

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