タイの中学の数学に悩む３

勉強が苦手で、数学なんて大嫌いな私が問題を解いてみる「タイの中学の数学に悩む」シリーズ第三弾！
今回は割った余りを求める問題。

引用元は



の左の赤い方（１分冊）で、代数と三角関数の問題集。紹介している問題は代数の問題から。

問題１０６



Ａ＝（１！）²⁰⁰⁰＋２（２！）²⁰⁰⁰＋３（３！）²⁰⁰⁰＋・・・＋２０００（２０００！）²⁰⁰⁰
Ａ÷７の余りを求めなさい。



数字の後ろへ付いている！は階乗であり、数学において非負整数 n の階乗（かいじょう、英: factorial）n ! は、1 から n までのすべての整数の積である。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720である。空積の規約のもと 0! = 1 と定義する。　Wikipedia 階乗より引用。
７！より上は、必ず７を掛けているので余りは無いのに気が付いたので、（１！）²⁰⁰⁰＋２（２！）²⁰⁰⁰＋３（３！）²⁰⁰⁰＋・・・＋６（６！）²⁰⁰⁰を７で割った余りを求めれば良いということ。

解答を読んでも（２！）²⁰⁰⁰を７で割った余りの求め方を紹介しているだけで、答えを求める仕組みの説明は無し。
賢い皆様は分かるのだろうが、私にはさっぱり。息子へ尋ねても同様で＼(TﾍT)／お手上げ状態。

息子が高校受験を手伝った後輩がタイの名門校のスワンクラープへ通っており、その子は国の物理オリンピック要員で数学も得意と言うのでLINEで問い合わせ。実家はウドンのお金持ちで、夏休みなので英国旅行中だったそうだがちょっとお手伝いをお願い。説明を書いて送ってくれて電話で息子へ説明してくれたが、送り手の性能が良くても、受け手の性能が悪いので話が噛み合わずでサッパリ。こっちは朝でも向こうは夜中。寝ないで頑張らせるのも悪いので、お礼を言って電話を切らせた。



こうなったらお馬鹿な私でも頑張るしか無い。頼めるのはGoogle先生とWikipedia先生。
検索して見つけたのが、こちらのtsujimotterのノートブックで「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算するの記事。

方法１：地道に計算する（難易度：★☆☆☆☆）
方法２：周期性を使う（難易度：★★☆☆☆）
方法３：フェルマーの小定理を使う（難易度：★★★☆☆）
方法４：平方剰余の相互法則を使う（難易度：★★★★★）

と４つの方法が紹介されており、方法１はいくらなんでも無理と手を出せず、方法２はこちらのページを知る前にチラッと気が付いて取り組んだが全体像が見えなくて途中で挫折。ということで「方法３：フェルマーの小定理を使う」にチャレンジ。
詳細はリンク先を読んで欲しいが、要するにｎを７で割る時はｎ^{７－１＝６}毎に余りが１になるということ。
これを ２⁶≡１（ｍｏｄ７）と表し、２⁶を７で割った余りは１の意味になる。≡の左右は＝と同様に掛けたりべき乗計算したり出来る。これを使った計算が分り易く説明されているのが下の動画。

What is the reminder for 3 power 100 divided by 7


１！²⁰⁰⁰は１なので、１÷７＝０余り１

　２（２！）²⁰⁰⁰
＝２（２×１）²⁰⁰⁰
＝２・２²⁰⁰⁰・１²⁰⁰⁰
＝２²⁰⁰¹
2001÷6＝333余り3なので
　２²⁰⁰¹
＝(２⁶)³³³・２³
フェルマーの小定理より
２⁶≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２⁶)³³³・２³≡１³³³・２³（ｍｏｄ７）
(２⁶)³³³・２³≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので８÷７＝１余り１
(２⁶)³³³・２³≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）²⁰⁰⁰≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）を７で割った余りは１

同様に
　３（３！）²⁰⁰⁰
＝３（３×２×１）²⁰⁰⁰
＝３²⁰⁰¹・２²⁰⁰⁰・１²⁰⁰⁰
＝３²⁰⁰¹・２²⁰⁰⁰

2001÷6＝333余り3なので
　３²⁰⁰¹
＝(３⁶)³³³・３³
フェルマーの小定理より
３⁶≡１（ｍｏｄ７）であり、
(３⁶)³³³・３³≡１³³³・３³（ｍｏｄ７）
(３⁶)³³³・３³≡２７（ｍｏｄ７）
２７は７で割れるので２７÷７＝３余り６
(３⁶)³³³・３³≡６（ｍｏｄ７）
３²⁰⁰¹≡６（ｍｏｄ７）
３²⁰⁰¹を７で割った余りは６

2000÷6＝333余り2なので
　２²⁰⁰⁰
＝(２⁶)³³³・２²
フェルマーの小定理より
２⁶≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２⁶)³³³・２²≡１³³³・２²（ｍｏｄ７）
(２⁶)³³³・２²≡４（ｍｏｄ７）
２²⁰⁰⁰≡４（ｍｏｄ７）
２²⁰⁰⁰を７で割った余りは４

３²⁰⁰¹・２²⁰⁰⁰≡６・４（ｍｏｄ７）
３²⁰⁰¹・２²⁰⁰⁰≡２４（ｍｏｄ７）
２４は７で割れるので　２４÷７＝３余り３
３²⁰⁰¹・２²⁰⁰⁰≡３（ｍｏｄ７）
３（３！）²⁰⁰⁰≡３（ｍｏｄ７）

次は・・
　４（４！）²⁰⁰⁰
＝４（４×３×２×１）²⁰⁰⁰
＝４（２４）²⁰⁰⁰
2000÷6＝333余り2なので
　２４²⁰⁰⁰
＝(２４⁶)³³³・２４²
フェルマーの小定理より
２４⁶≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２４⁶)³³³・２４²≡１³³³・２４²（ｍｏｄ７）
(２４⁶)³³³・２４²≡５７６（ｍｏｄ７）
５７６は７で割れるので５７６÷７＝８２余り２
２４²⁰⁰⁰≡２（ｍｏｄ７）
４（２４）²⁰⁰⁰≡４・２（ｍｏｄ７）
４（２４）²⁰⁰⁰≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので、８÷７＝１余り１
４（２４）²⁰⁰⁰≡１（ｍｏｄ７）
４（４！）²⁰⁰⁰≡１（ｍｏｄ７）

同様にやって５（５！）²⁰⁰⁰の余りが５、６（６！）²⁰⁰⁰の余りが６。（疲れたｗｗｗ）

Ａ÷７の余りは　１！²⁰⁰⁰から６（６！）²⁰⁰⁰の余りを足して
１＋１＋３＋１＋５＋６＝１７　１７÷７＝２余り３。

Ａ÷７の余りは３。

お疲れ様～♪

タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ



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タイの中学の数学に悩む２

５月から中１になる娘の自宅学習の為に私のお馬鹿を晒しながら中学数学の問題解決を図る「タイの中学の数学に悩む」シリーズ（←するなー！）第二弾。面白くも何とも無い記事だが、紙だと行方不明になる我が家なので、ネットで保管ということでｗ。

使っている問題集は



の左の赤い方（１分冊）で、代数と三角関数の問題集。紹介している問題は代数の問題から。

問題１３７



Ｐ（Ｘ）＝Ｘ⁶＋ａＸ⁵＋・・・　はＰ（１）＝１５（Ｘ＝１の時に式Ｐ（Ｘ）の値が１５）、Ｐ（２）＝２２・・・Ｐ（６）＝５０となる。Ｐ（７）の値を求めなさい。

Ｘの値が１ずつ増えると、Ｐ（Ｘ）の値が７ずつ増えている。これは楽勝でＰ（７）＝５７だと思って解答のページを見ると・・・

まさかの７７７。orz お馬鹿はお馬鹿なりに解答ページをチェックしてみると怪しかったり、明らかに間違えだったりｗｗｗ。



解答ページで何をやっているか読むと、Ｐ（Ｘ）の値の差を見ながら二次式ならこうなる、三次式ならこうなると（無理やり力技でｗ）作っている様なので、キキア（面倒臭がり）な私は表計算ソフトで調べてみると・・



Ｘ⁶ではサンプルが少なくて確認できないが、ＡＸ⁵ではＸを１ずつ増やしたＡＸ⁵の値の差を５回取れば一定値へ収束、ＢＸ⁴は4回、ＣＸ³は３回、ＤＸ²は２回、ＥＸは初回の差で一定値に収束しているのが分かる。

この記事には画像を表示しないが、適当な三次式や二次式を作ってＸの値を１ずつ増やした時の式の値の差を調べても、三次式の値の差は３回で収束し、二次式の値の差は２回で収束した。ｎ次式ｆ（Ｘ）のＸを１ずつ増やした時のｆ（Ｘ）の値の差はｎ回で一定値に収束すると言えるだろう。

今回の問題１３７でのＰ（Ｘ）の値について調べると・・



Ｘの値を１ずつ増やした時のＰ（Ｘ）の値の差は１回で７に収束しており、Ｐ（Ｘ）は一次式だと分かる。Ｐ（７）の値は当然５７。
しかしながら与えられた式Ｐ（Ｘ）はＸ⁶へ係数がなく、ａＸ⁵の係数ａからｄＸ²の係数ｄまでを０にしてもＰ（Ｘ）＝Ｘ⁶＋ｅＸ＋ｆであり、、Ｐ（Ｘ）は六次式である。
よってこの「設問１３７は間違い」であると娘へは説明してやった。
「タイの中学の数学に悩む１」のコメント欄へハシビロコウさんから「特段の意図はなく、難しい問題で、適当な数字を入れて、いい加減に作成したのではないかと、思います～～♪」とコメントを頂いたが、今回の設問は解答も無理やりこじつけってやった雰囲気が漂っている。
Ｐ（Ｘ）の値を六次式らしい値にすれば良問題と思うだけに残念。六次式の値にした場合はＰ（Ｘ）の値が６個しかないので、私が紹介した差を調べる方法ではＰ（Ｘ）のサンプルが一つ足りず、収束する定数が調べられない。表で調べる場合はｎ次式のサンプルはｎ＋１個必要だ。

今回の設問を問題集の解答と同様に解いてみたい方は、Ｐ（１）＝１５，Ｐ（２）＝８５，Ｐ（３）＝７５７，Ｐ（４）＝４１３１，Ｐ（５）＝１５６６７，Ｐ（６）＝４６７０５で解けば、Ｐ（７）＝１１７７０５になる筈。Ｐ（Ｘ）＝Ｘ⁶＋７Ｘ＋７の結果だ。本当に解けるか私は検証してないので、そのつもりで。

さて、ここまで書いた内容だが、勉強が嫌いなお馬鹿さんの私が一人で考えた結果なので、もし間違っていてもご容赦を。間違いを指摘して頂けるのは大歓迎で、実は期待していたりする。

タイはソンクラーン（タイの正月）だけど、我が家は１３日に休んだだけで平常営業。妻は仕事をしているし、子供達は勉強中。私も娘と一緒に勉強。もう一問悩んだのがあるので、また更新の予定。息子の後輩（国の物理オリンピック要員）へ尋ねたらMODなんてのが出て悩んだ悩んだ。お楽しみに。

タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

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