勉強が苦手で、数学なんて大嫌いな私が問題を解いてみる「タイの中学の数学に悩む」シリーズ第三弾！
今回は割った余りを求める問題。
引用元は
の左の赤い方（１分冊）で、代数と三角関数の問題集。紹介している問題は代数の問題から。
問題１０６
Ａ＝（１！）2000＋２（２！）2000＋３（３！）2000＋・・・＋２０００（２０００！）2000
Ａ÷７の余りを求めなさい。
数字の後ろへ付いている！は階乗であり、数学において非負整数 n の階乗（かいじょう、英: factorial）n ! は、1 から n までのすべての整数の積である。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720である。空積の規約のもと 0! = 1 と定義する。 Wikipedia 階乗より引用。
７！より上は、必ず７を掛けているので余りは無いのに気が付いたので、（１！）2000＋２（２！）2000＋３（３！）2000＋・・・＋６（６！）2000を７で割った余りを求めれば良いということ。
解答を読んでも（２！）2000を７で割った余りの求め方を紹介しているだけで、答えを求める仕組みの説明は無し。
賢い皆様は分かるのだろうが、私にはさっぱり。息子へ尋ねても同様で＼(TﾍT)／お手上げ状態。
息子が高校受験を手伝った後輩がタイの名門校のスワンクラープへ通っており、その子は国の物理オリンピック要員で数学も得意と言うのでLINEで問い合わせ。実家はウドンのお金持ちで、夏休みなので英国旅行中だったそうだがちょっとお手伝いをお願い。説明を書いて送ってくれて電話で息子へ説明してくれたが、送り手の性能が良くても、受け手の性能が悪いので話が噛み合わずでサッパリ。こっちは朝でも向こうは夜中。寝ないで頑張らせるのも悪いので、お礼を言って電話を切らせた。
こうなったらお馬鹿な私でも頑張るしか無い。頼めるのはGoogle先生とWikipedia先生。
検索して見つけたのが、こちらのtsujimotterのノートブックで「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算するの記事。
方法１：地道に計算する（難易度：★☆☆☆☆）
方法２：周期性を使う（難易度：★★☆☆☆）
方法３：フェルマーの小定理を使う（難易度：★★★☆☆）
方法４：平方剰余の相互法則を使う（難易度：★★★★★）
と４つの方法が紹介されており、方法１はいくらなんでも無理と手を出せず、方法２はこちらのページを知る前にチラッと気が付いて取り組んだが全体像が見えなくて途中で挫折。ということで「方法３：フェルマーの小定理を使う」にチャレンジ。
詳細はリンク先を読んで欲しいが、要するにｎを７で割る時はｎ７－１＝６毎に余りが１になるということ。
これを ２6≡１（ｍｏｄ７）と表し、２6を７で割った余りは１の意味になる。≡の左右は＝と同様に掛けたりべき乗計算したり出来る。これを使った計算が分り易く説明されているのが下の動画。
What is the reminder for 3 power 100 divided by 7
１！2000は１なので、１÷７＝０余り１
２（２！）2000
＝２（２×１）2000
＝２・２2000・１2000
＝２2001
2001÷6＝333余り3なので
２2001
＝(２6)333・２3
フェルマーの小定理より
２6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２6)333・２3≡１333・２3（ｍｏｄ７）
(２6)333・２3≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので８÷７＝１余り１
(２6)333・２3≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）2000≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）を７で割った余りは１
同様に
３（３！）2000
＝３（３×２×１）2000
＝３2001・２2000・１2000
＝３2001・２2000
2001÷6＝333余り3なので
３2001
＝(３6)333・３3
フェルマーの小定理より
３6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(３6)333・３3≡１333・３3（ｍｏｄ７）
(３6)333・３3≡２７（ｍｏｄ７）
２７は７で割れるので２７÷７＝３余り６
(３6)333・３3≡６（ｍｏｄ７）
３2001≡６（ｍｏｄ７）
３2001を７で割った余りは６
2000÷6＝333余り2なので
２2000
＝(２6)333・２2
フェルマーの小定理より
２6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２6)333・２2≡１333・２2（ｍｏｄ７）
(２6)333・２2≡４（ｍｏｄ７）
２2000≡４（ｍｏｄ７）
２2000を７で割った余りは４
３2001・２2000≡６・４（ｍｏｄ７）
３2001・２2000≡２４（ｍｏｄ７）
２４は７で割れるので ２４÷７＝３余り３
３2001・２2000≡３（ｍｏｄ７）
３（３！）2000≡３（ｍｏｄ７）
次は・・
４（４！）2000
＝４（４×３×２×１）2000
＝４（２４）2000
2000÷6＝333余り2なので
２４2000
＝(２４6)333・２４2
フェルマーの小定理より
２４6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２４6)333・２４2≡１333・２４2（ｍｏｄ７）
(２４6)333・２４2≡５７６（ｍｏｄ７）
５７６は７で割れるので５７６÷７＝８２余り２
２４2000≡２（ｍｏｄ７）
４（２４）2000≡４・２（ｍｏｄ７）
４（２４）2000≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので、８÷７＝１余り１
４（２４）2000≡１（ｍｏｄ７）
４（４！）2000≡１（ｍｏｄ７）
同様にやって５（５！）2000の余りが５、６（６！）2000の余りが６。（疲れたｗｗｗ）
Ａ÷７の余りは １！2000から６（６！）2000の余りを足して
１＋１＋３＋１＋５＋６＝１７ １７÷７＝２余り３。
Ａ÷７の余りは３。
お疲れ様～♪
タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ
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問題１０６
Ａ＝（１！）2000＋２（２！）2000＋３（３！）2000＋・・・＋２０００（２０００！）2000
Ａ÷７の余りを求めなさい。
数字の後ろへ付いている！は階乗であり、数学において非負整数 n の階乗（かいじょう、英: factorial）n ! は、1 から n までのすべての整数の積である。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720である。空積の規約のもと 0! = 1 と定義する。 Wikipedia 階乗より引用。
７！より上は、必ず７を掛けているので余りは無いのに気が付いたので、（１！）2000＋２（２！）2000＋３（３！）2000＋・・・＋６（６！）2000を７で割った余りを求めれば良いということ。
解答を読んでも（２！）2000を７で割った余りの求め方を紹介しているだけで、答えを求める仕組みの説明は無し。
賢い皆様は分かるのだろうが、私にはさっぱり。息子へ尋ねても同様で＼(TﾍT)／お手上げ状態。
息子が高校受験を手伝った後輩がタイの名門校のスワンクラープへ通っており、その子は国の物理オリンピック要員で数学も得意と言うのでLINEで問い合わせ。実家はウドンのお金持ちで、夏休みなので英国旅行中だったそうだがちょっとお手伝いをお願い。説明を書いて送ってくれて電話で息子へ説明してくれたが、送り手の性能が良くても、受け手の性能が悪いので話が噛み合わずでサッパリ。こっちは朝でも向こうは夜中。寝ないで頑張らせるのも悪いので、お礼を言って電話を切らせた。
こうなったらお馬鹿な私でも頑張るしか無い。頼めるのはGoogle先生とWikipedia先生。
検索して見つけたのが、こちらのtsujimotterのノートブックで「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算するの記事。
方法１：地道に計算する（難易度：★☆☆☆☆）
方法２：周期性を使う（難易度：★★☆☆☆）
方法３：フェルマーの小定理を使う（難易度：★★★☆☆）
方法４：平方剰余の相互法則を使う（難易度：★★★★★）
と４つの方法が紹介されており、方法１はいくらなんでも無理と手を出せず、方法２はこちらのページを知る前にチラッと気が付いて取り組んだが全体像が見えなくて途中で挫折。ということで「方法３：フェルマーの小定理を使う」にチャレンジ。
詳細はリンク先を読んで欲しいが、要するにｎを７で割る時はｎ７－１＝６毎に余りが１になるということ。
これを ２6≡１（ｍｏｄ７）と表し、２6を７で割った余りは１の意味になる。≡の左右は＝と同様に掛けたりべき乗計算したり出来る。これを使った計算が分り易く説明されているのが下の動画。
What is the reminder for 3 power 100 divided by 7
１！2000は１なので、１÷７＝０余り１
２（２！）2000
＝２（２×１）2000
＝２・２2000・１2000
＝２2001
2001÷6＝333余り3なので
２2001
＝(２6)333・２3
フェルマーの小定理より
２6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２6)333・２3≡１333・２3（ｍｏｄ７）
(２6)333・２3≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので８÷７＝１余り１
(２6)333・２3≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）2000≡１（ｍｏｄ７）
２（２！）を７で割った余りは１
同様に
３（３！）2000
＝３（３×２×１）2000
＝３2001・２2000・１2000
＝３2001・２2000
2001÷6＝333余り3なので
３2001
＝(３6)333・３3
フェルマーの小定理より
３6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(３6)333・３3≡１333・３3（ｍｏｄ７）
(３6)333・３3≡２７（ｍｏｄ７）
２７は７で割れるので２７÷７＝３余り６
(３6)333・３3≡６（ｍｏｄ７）
３2001≡６（ｍｏｄ７）
３2001を７で割った余りは６
2000÷6＝333余り2なので
２2000
＝(２6)333・２2
フェルマーの小定理より
２6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２6)333・２2≡１333・２2（ｍｏｄ７）
(２6)333・２2≡４（ｍｏｄ７）
２2000≡４（ｍｏｄ７）
２2000を７で割った余りは４
３2001・２2000≡６・４（ｍｏｄ７）
３2001・２2000≡２４（ｍｏｄ７）
２４は７で割れるので ２４÷７＝３余り３
３2001・２2000≡３（ｍｏｄ７）
３（３！）2000≡３（ｍｏｄ７）
次は・・
４（４！）2000
＝４（４×３×２×１）2000
＝４（２４）2000
2000÷6＝333余り2なので
２４2000
＝(２４6)333・２４2
フェルマーの小定理より
２４6≡１（ｍｏｄ７）であり、
(２４6)333・２４2≡１333・２４2（ｍｏｄ７）
(２４6)333・２４2≡５７６（ｍｏｄ７）
５７６は７で割れるので５７６÷７＝８２余り２
２４2000≡２（ｍｏｄ７）
４（２４）2000≡４・２（ｍｏｄ７）
４（２４）2000≡８（ｍｏｄ７）
８は７で割れるので、８÷７＝１余り１
４（２４）2000≡１（ｍｏｄ７）
４（４！）2000≡１（ｍｏｄ７）
同様にやって５（５！）2000の余りが５、６（６！）2000の余りが６。（疲れたｗｗｗ）
Ａ÷７の余りは １！2000から６（６！）2000の余りを足して
１＋１＋３＋１＋５＋６＝１７ １７÷７＝２余り３。
Ａ÷７の余りは３。
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難しいですねえ。
タイの学生 数学オリンピックで金銀銅独占ですね。
メンカームさんも大変ですね。脳みそ使いすぎて
焼き付きそうですね。大学入試レベルですね。タイの大学生で解けるひとは おそらく １００人いないのでは。 文科系ならたぶん誰もいないでしょう。まあ１０人らいはおるかな。
まあ ２０００の階乗、２０００乗というのがはったりですね。この弱い人は見ただけで卒倒しそう。７で割ったあまりだけ出せというのが味噌ですね。合計を出せと言われたら
一生かかっても答えは出せない。
また暇なときにでもやってみよう。
えらいですね。降参します。あほらしくなってきた。
可愛い娘の為とは言え、
数学どころか勉強が大嫌いな私がやるには難しすぎでした。
最初はいろいろ頑張って見まして、余りに周期性がありそうなのには気が付きましたが、
周期の規則性を解明できず、フェルマーさんほど根気がないので、ネットのお世話になりました。
ネットの解説が無ければ永遠に解けなかったでしょう。
解説付きでも汗をかきました。
やるとそれが頭から離れません。そこで今日ゆっくり読みました。
フェルマーの小定理も読みました。これの証明はかなり難しいです。２項定理 とか順列組み合わせとか
必要です。かなり賢い高校生レベルです。これは何とか思い出してええ加減に理解できました。証明は合同数と関係ありませんでした。
しかし合同数は私の時代は高校でやっていません。５０年前ですから。だから思い出すのではなく 今から学習することになります。これには時間がかかります。だから最初は降参したのです。ほかに勉強することがいまたくさんあるからです。数学は塾の先生でもすれば将来役に立ちますが、７０歳７５歳の先生のところにきてくれたらよいですが。飯の種に成ればよいのですが、ということ前回はいまさらあほらしいと書いたのです。塾の先生も面白いですけど 賢い子は大手の塾に行く時代です。しかしやる気のない子を教える気はありません。もう人生の無駄です。残り少ない人生です。
しかし今日やはり 無視できない心が生じました。
この問題では
フエルマーの小定理を憶えているのが大事ですね。
要するにmod 7
の時は ある数字の６乗は必ず１になるという事ですね。これを使ってよいとのことで解きました。７の階乗以下の数列は常に０なので関係ないとのことですね。そうですね。メンカームさんも 今や、塾の先生ができそうですね。
最初見た時はそれすらわかりませんでした。まさにはったり問題ですね。
だから数字の１９９８乗は必ず１ですね。
６乗をさらに３３３乗したものですね。
３から計算します。
３（３！）2000乗の計算
（３！）＝６ ６の２０００乗は
６の１９９８乗 かける ６の２乗。
６の１９９８乗は６の６乗 のさらに３３３乗。
である数字の１９９８乗というのは常に１．
答えは ３ｘ３６≡３ｘ36 、、３６≡1
なので 答えは３ｘ１≡3
４（４！）2000乗。 の計算は
４の階乗は２４ 、、、（２４の１９９８乗）は１
そこで 答えは４ｘ（２４の２乗。）
２４≡ 3、 ４ｘ（２４の２乗。）≡ 4ｘ9≡36
36≡１
５（５！）2000乗。の計算
５（５！）2000乗。の計算
５！=120≡1 5ⅹ１ｘ120ｘ120≡5
６（６！）2000乗の計算は
６！＝７２０≡6、６の１９９８乗は１、、 ３６≡1
答え 6ｘ１ｘ720ｘ720≡6ｘ6ｘ6≡6ｘ36
≡6ｘ1
メンカームさんの答えと同じになりました。よかった。
お疲れ様でした。
合同数は私も学んだ記憶がありません。
今回が初めてだったと思います。
便利なやり方があるのだなと関心しました。
数学塾の先生・・ウドンでは年配の方がやられる塾が話題になってます。
お子さんが全てマヒドン付属高校へ行かれたそうで、
姪御さんへも教えられ、その子は娘と同じ学年で数学は県で三番手。
かなりイイお値段を言われるそうで、知人から一緒に行かせないかと誘われましたが
馬鹿は馬鹿なりに私が教えようと断りました。
大手の塾は情報を多く持ってますが、きめ細かさが足りませんし、
授業時間も学校と比べると遥かに少ないですから問題数も少なめ。
だからウドンでトップの子は１教科に複数の塾と家庭教師だそうです。
メインの学習は大手塾へ任せて、サポート役が良いかも知れませんね。
やる気のない子供は、周囲がどんなに頑張っても無駄でしょう。
私は学校の勉強に全く興味がありませんでしたから、自分でもわかりますｗ。
娘とやるギフテッドの数学は解けないと悔しいですし、
解答を読んでも理解できないと、もっと腹が立つ。
会社員の時は仕事の問題を寝ながら夢の中で考えて解決した事もありましたが、
最近は数学の夢を見るようになりました。
教科書は貰ったらすぐに読んでしまい、
授業中は全然面白くないので寝てたのですが、
子供の頃に勉強しておけば良かったと五十を過ぎた今頃に後悔（恥ｗ）。
ブログの記事にした様な見ただけで心が折れそうな問題の解き方でも
学校で教えてくれたなら、面白がって勉強したかも？
息子はもう手遅れなんですが、娘だけでも勉強を面白がってくれるならと期待して
子供のサポートを続けたいと思ってます。
いつも御協力ありがとうございます。
教科書は貰ったらすぐに読んでしまい、
授業中は全然面白くないので寝てたのですが、>>
まだまだ頭は柔らかいですね。脳細胞が退化していませんね。もしもっと学校での成績に執着していたら 、メンカームさんは帝大レベルに入学できていたと思います。
しかし頭を使うことは娘さんのためになるし、いつまでも呆けないでいられるので健康にもプラスですね。夢を失ったときに老いるというのも真実ですし。
ところで合同数の話ですが
例えば２４の２乗のあまりと
先に ２４を３に合同してから
２乗する数字 の余り、が なぜ同じになるのかというのは 勘と少しの経験で 少しインチキしました。
しかし。これは定理として必ずある
はずです。
mod7で
やってみました。
すべての数字は７ｍ+aで書けるはずです。 これの２乗は７ｍ７ｍ+７ma +aa≡aa,,
今度は３乗します。
（７ｍ+a）（７ｍ+a）（７ｍ+a）＝
（７ｍ７ｍ+７ma +aa））（７ｍ+a)＝（７ｍ７ｍ+７ma +aa）7ｍ+
（７ｍ７ｍ+７ma +aa)a ≡ aaa
となります。これを何回やっても
結局７ｍのついてないのは 一番最後のa乗数のみ、 の項だけになります。(７ｍ+a)のｎ乗は、（aのｎ乗）と合同である。
という事で ある数字のｎ乗は
先に、ある数字を一番小さい合同数に変換してから これをｎ乗した
数字と合同であると大体証明されました。(７ｍ+a)のｎ乗は、（aのｎ乗）と合同である。
大事な点は ７で割り切った余りの数字でないといけませんね。
中途半端の合同数ではいけません。
一番小さな合同数に変換するという事ですね。
この場合だけしか証明されていませんので。
これで自信をもって使えます。
ところでお分かりとおもいますが
２ｘ３ｘ４ｘ５の計算では
３ｘ４ｘ（２ｘ５）で暗算で１２０です。当たり前ですよね。まあ親切心からという事で。
がんばってください。自分の脳力の為にもなりますよ。まだまだ若い。若僧ですよ。５５５．
私も 若僧に戻りたいです。
mugaさんの秀才の甥御さんとか ほかの親切な読者の方もおられるので良かったですね。