２０２０年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい

ＦＡＣＥＢＯＯＫのローカルニュースページ「Ｕｄｏｎｔｈａｎｉ　ｓｋｙｌｉｎｅ」で知ったのだが、２０２０年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい。
今までもウドンタニへインター校と称する学校はいくつか有っても、インター校と言いながら児童はタイ語しか話せなかったり、運営の実態が不明確だったりで、私は何となく不安を感じて見ていたのだが、ようやくある程度の規模のインター校が開校する様だ。

ウドンタニは国際結婚カップルが多い街で、娘が通ったキリスト教系の小学校ではクラスに数人は片親が外国人の児童だったが、自宅で父親の母語を話しているからか、それともタイの教育環境に慣れないのか、残念だがウドンタニでは「西洋人の子供は勉強ができない」と言われたりもする。
西洋式の充実した教育が行われば、そういう残念な評判は消えるだろう。

２０２０年にウドンタニへ開校を予定しているのは　International Community School (ICS) で、バンコク校は１９９３年に開校し、約千人の児童・生徒が在籍しているそうだ。ウドンタニキャンパスのＷＥＢページはこちら。ビデオも貼っておこう。




それでは前回の記事で出題した中学校で教えない因数分解の解答。

問１　①～⑤を因数分解しなさい。

①　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１

JIMMYさんから頂いた解答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=x^4+10x^3+35x^2+50x+25

(x^2+〇+〇)でくくってみます。最後が25なので(x^2+〇+5)が見えてきます。
あとは〇に入るｘを探せば(x^2+5x+5)になります。
x^4+10x^3+35x^2+50x+25を(x^2+5x+5)で割ったら、(x^2+5x+5)になりましたので(x^2+5x+5)^2となりました。
これ以上の分解では(x-(-5+√5)/2)^2*(x-(-5-√5)/2)^2ですが、そこまで分解しなくてもいいかと思います。
メンカームのコメント
◯＝５は、後から見ればそうだなと思うのですが、自分で解く時に状況を調べて推理していく力が私には足りません。数学のセンスを付けなければなりません。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

最初に学校で教えられた通りに解いてみよう。
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ²＋３ｘ＋２）（ｘ²＋７ｘ＋１２）＋１
＝ｘ⁴＋　７ｘ³＋１２ｘ²
　　 ＋　３ｘ³＋２１ｘ²＋３６ｘ
　　　　　　　＋　２ｘ²＋１４ｘ＋２４＋１
＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２５
ここから因数分解したいが、上記の様にJIMMYさんは可能でも、私の能力ではこれ以上進めない。（恥ｗ）

「係数を揃えて置き換える」因数分解。
（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）の展開だが掛け合わせる順番を・・
（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）と入れ替えると・・
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＋１
＝（ｘ²＋５ｘ＋４）（ｘ²＋５ｘ＋６）＋１　と、ｘ²＋５ｘまでの係数が揃った。
ｘ²＋５ｘをＡと置き換えると
与式＝（Ａ＋４）（Ａ＋６）＋１
　　＝Ａ²＋１０Ａ＋２５
　　＝（Ａ＋５）²
Ａを元のｘ²＋５ｘに戻して
与式＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²

答え （ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²


②　ｘ⁴＋４

JIMMYさんから頂いた解答

x^4+4＝0とおくと、x^4＝-4、x^2＝2iなので(x^2-2i)(x^2+2i)となりますが、複素数の因数分解でもいいのかな。
メンカームのコメント
設問の引用元にも指定は無かったので、複素数（ｉ²＝－１）を使った因数分解でも良いでしょう。
私は中学生な娘向きに、複素数を使わない因数分解をやりました。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

中学校では４乗はやらないし、例え２乗でもこのパターンの因数分解は教えないだろう。
「ａ²－ｂ²を作る」因数分解
ｘ²をＡと置き換えると
ｘ⁴＋４＝Ａ²＋４
（Ａ＋２）²＝Ａ²＋４Ａ＋４なので
Ａ²＋４＝（Ａ＋２）²－４Ａ
Ａを元のｘ²に戻して
　（Ａ＋２）²－４Ａ
＝（ｘ²＋２）²－４ｘ²
＝（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）なので
　（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
＝（ｘ²＋２＋２ｘ）（ｘ²＋２－２ｘ）
＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）

答え　ｘ⁴＋４＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）


③　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛け（クロス法）は数だけでは無く、文字係数でも出来る。
「文字係数もたすき掛けする」因数分解
　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ
＝ｘ²ｙ²－ｘ²－ｙ²－４ｘｙ＋１
＝（ｙ²－１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ²－１）
＝（ｙ－１）（ｙ＋１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ－１）（ｙ＋１）
ここで文字係数の「たすき掛け（クロス法）」←たすき掛けをご存じない時はクリック。

ｙ－１　　　－（ｙ＋１）　　　－ｙ²－２ｙ－１
　　　　✕
ｙ＋１　　　　（ｙ－１）　　　　ｙ²－２ｙ＋１　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４ｙ　　　　　　

与式＝（（ｙ－１）ｘ－（ｙ＋１））（（ｙ＋１）ｘ＋（ｙ－１））
＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）

答え　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）


④　５ｘ²－５６ｘ－１５３６

JIMMYさんから頂いた解答

1536を素数に分解すると1536＝3×2×2×2×2×2×2×2×2×2
そこでクロス法を用いて(x-a)(5x+b)=0
5X^2＝5×1*X^2
-a×b＝-1536
とおいて5a+1b＝-56
となればいいので、aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付けます。結果はa＝24,b＝64
5x^2－56x－1536＝(5x+64)(x-24)
メンカームのコメント
「aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付け」られるのが羨ましい。私や娘はまだまだ経験不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛けで解けそうだが、適当な数が見つからない。こんな時は・・
「二次方程式の解の公式を使う」因数分解
仮に　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝０　として二次方程式の解の公式を利用してｘを求める。
二次方程式の解の公式より ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の時のｘの値は、
ｘ＝（－ｂ±√ｂ²－４ａｃ）／（２ａ）なので、
ｘ＝（５６±√５６²－４・５・（－１５３６））／（２・５）
　＝（５６±√３１３６＋３０７２０）／１０
　＝（５６±√３３８５６）／１０
　＝（５６±√２⁶×２３²）／１０　１²～２５²まで要暗記。
　＝（５６±２³×２３）／１０
　＝（５６±１８４）／１０
　＝２４　，　－１２.８

ｘ＝２４は判るが、ｘ＝－１２.８へピンと来ない私は因数定理を利用した組立除法を使って求める。

２４｜　５　　－５６　　－１５３６
　　　　　　　１２０　　　１５３６
　　　　５　　　６４　　　　　　０

（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）＝０

答え　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）

ＹＯＵＴＵＢＥへ簡単な因数分解の方法が有ったので貼っておく。



５ｘ²－５６ｘ－１５３６

５　　　５１２＝６４×８　　　　　６４　　　　６４
　　　　　　　　　　　↓
１　　　　　３　　　　８×－３＝－２４　　－１２０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－５６　
これは簡単だ。


⑤　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ　（誤記修正しました。御指摘ありがとうございます。）

JIMMYさんから頂いた解答

（a+b）で割りますと、
(a+b)(a^2+2ab+ac+2bc)となるので、さらに因数分解して、
(a+b)(a+c)(a+2b)になりました。
メンカームのコメント
a+bで割れそうだなと、気が付かない私が悲しい。修行不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

複雑で、どれを係数にするか悩んだ時は
「低い次数に着目した」因数分解

先ずは次数について。多項式の次数とは、その項が何乗であるか、または最高何乗の項を持つかを示す数を言う。
ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃは、ａについて言えば最高３乗の項を持つので次数は３。ｂについては最高２乗の項を持つので次数は２。ｃは最高１乗の項なので次数は１となる。

与式を次数が３のａで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝ａ³＋（３ｂ＋ｃ）ａ²＋（２ｂ²＋３ｂｃ）ａ＋２ｂ²ｃ
残念だが、私の低い能力ではここから因数分解出来ない。

与式を次数が２のｂで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ³＋ａ²ｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ（ａ²＋ａｃ）

２ａ＋２ｃ　　　　ａ²＋ａｃ　　ａ²＋　ａｃ
　　　　　✕
１　　　　　　　　ａ　　　　 ２ａ²＋２ａｃ　　＋
　　　　　　　　　　　　　　 ３ａ²＋３ａｃ　　　　　　

与式＝（（２ａ＋２ｃ）ｂ＋ａ²＋ａｃ）（ｂ＋ａ）
　　＝（２（ａ＋ｃ）ｂ＋ａ（ａ＋ｃ））（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｃ）（２ｂ＋ａ）（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

与式を次数が１のｃで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ³ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ³＋３ａ²ｂ＋２ａｂ²
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ（ａ²＋３ａｂ＋２ｂ²）
＝（ａ＋ｃ）（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）
＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

多項式は次数が低い文字で整理し、次数が高い文字を係数とした方が、因数分解し易い場合があるのを理解出来ただろう。


問２　４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
ａ＋ｂ＋ｃ＝？

JIMMYさんから頂いた解答

a=-2,b=3,c=-1になるのでa+b+c=0になりました。
今回も教えて下さったJIMMYさんへ感謝！　m(_ _)m　<いつも有難うございます。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

　（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）
＝ａ²ｘ⁴＋ａｂｘ³＋ａｃｘ²
　　　　＋ａｂｘ³＋　ｂ²ｘ²＋ｂｃｘ
　　　　　　　　 ＋ａｃｘ²＋ｂｃｘ＋ｃ²
＝ａ²ｘ⁴＋２ａｂｘ³＋（ｂ²＋２ａｃ）ｘ²＋２ｂｃｘ＋ｃ²
４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１と係数を比べると・・
ａ²＝４、２ａｂ＝－１２、ｂ²＋２ａｃ＝１３、２ｂｃ＝－６、ｃ²＝１

ａ²＝４　より　ａ＝±２

ａ＝２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝－３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝２　と　ｂ＝－３　を代入して　ｃ＝１
ａ＝２、ｂ＝－３、ｃ＝１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

ａ＝－２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝－２　と　ｂ＝３　を代入して　ｃ＝－１
ａ＝－２、ｂ＝３、ｃ＝－１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

答え　ａ＋ｂ＋ｃ＝０

いかがだっただろうか？JIMMYさんと私の解答を見て、私が感じる大きな違いは（当然能力の違いが大きいのだけど、それは置いといてｗ）「経験」の差。JIMMYさんは、多分この辺だなと推測されて、サクサクと解かれている。娘をそのレベルまで持って行きたいが、まだまだ時間が必要。
今回紹介した因数分解は高校レベルだが、このくらいを知らないと中学生向けでもレベルが高めの問題集に手が出せない。出来なくても中学校の成績には関係無いが、ＩＪＳＯ等の試験や高校で進学校の理数なんかを狙うと影響はあるだろう。
娘と私がやっている自宅での数学の学習で、学校で教えない定理や公式の学習を終えて、今はサマーコムカニッタサー試験の対策問題集に取り組んでおり、１０月のピッタームで中２の範囲までを終わらせた。今回の記事で中１の１学期に自宅で学習して難しかった部分の紹介は終わり。

未だやるの？と言われそうだが、最後に息子の大学受験問題集から１問。

問

∠Ａの角度を求めなさい。



息子から教えてくれと頼まれて取り組んだが、中学生でも余裕で解ける問題だった。解答は１週間後に掲載。

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