外接円の半径の求め方

「ピッ（閉）ターム（学期）」に娘と取り組んで難しかった外接円の半径の求める問題の解答。

問



三角形ＡＢＣの外接円の半径を求めなさい。


JIMMYさんから頂いた解答

極めて教科書通りに解きますと、
三辺の長さ a,b,c、外接円の半径R の三角形の面積 S は、S＝abc/4RですのでS=4*5*6/4R=30/R。

また三辺の長さ a,b,c、の面積 S は、ヘロンの公式で求められます。
S^2＝s(s-a)(s-b)(s-c)
s=1/2(a+b+c)

そこで両者を合わせると、
S^2=(30/R)^2=15/2*(15/2-4)*(15/2-5)*(15/2-6)=7*(15/4)^2
30/R=√7*(15/4)

R=(8/7)*√7
＝（８√７）／７　←の「＝（８√７）／７」と１段上の(8/7)を囲む「(）」はメンカームが書き加えました。

私が少し解説。
先ずはＳ＝ａｂｃ／４Ｒについて。



Ｂから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＡ'とする。
∠Ａ'ＣＢ＝９０°（小６レベルの知識）
∠Ａと∠Ａ'は同じ弧ＢＣの上に立つ円周角で等しく、三角形の辺ＢＣ＝ａとすると、
正弦定理により　ａ＝２ＲｓｉｎＡ　　ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒ　---①



⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝（１／２）・ｈ・ｃ
ｈ＝ｂｓｉｎＡなので
Ｓ＝（１／２）・ｂｓｉｎＡ・ｃ
①より
ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒなので
Ｓ＝（１／２）・ｂ（ａ／２Ｒ）・ｃ
　＝ａｂｃ／４Ｒ

Ｓ＝５・４・６／４Ｒ
　＝３０／Ｒ　---②


続いてヘロンの公式の解説。

⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝（１／２）・ｈ・ｃ
ｈ＝ｂｓｉｎＡなので
Ｓ＝（１／２）・ｂｓｉｎＡ・ｃ
　＝（１／２）・ｂｃｓｉｎＡ
　＝（１／２）・ｂｃ√１－ｃｏｓ²Ａ
第二余弦定理 ａ²＝ｂ²＋ｃ²－２ｂｃ・ｃｏｓＡより
ｃｏｓＡ＝（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ
Ｓ＝（１／２）・ｂｃ√１－（（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ）²
　＝（１／２）・ｂｃ√（（２ｂｃ）²－（ｂ²＋ｃ²－ａ²）²）／（２ｂｃ）²
　＝（１／４）√（（２ｂｃ）²－（ｂ²＋ｃ²－ａ²）²）
　＝（１／４）√（２ｂｃ＋ｂ²＋ｃ²－ａ²）（２ｂｃ－ｂ²－ｃ²＋ａ²）
　＝（１／４）√（（ｂ＋ｃ）²－ａ²）（ａ²－（ｂ－ｃ）²）
　＝（１／４）√（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
　＝√（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ａ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ｂ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ｃ）／２）
　＝√（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ａ）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ｂ）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ｃ）

ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
Ｓ＝√ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）
Ｓ²＝ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）

ｓ＝（５＋４＋６）／２＝１５／２
Ｓ＝√（１５／２）（（１５／２）－５）（（１５／２）－４）（（１５／２）－６）
　＝√（１５／２）（５／２）（７／２）（３／２）
　＝√（１５・５・７・３／１６）
　＝１５√７／４
②より正弦定理を利用して求めた⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝３０／Ｒなので
３０／Ｒ＝１５√７／４
Ｒ＝３０／（１５√７／４）＝８／√７＝８√７／７

定理を導いたので長くなったが、定理を覚えて利用すれば短くサクサクと解ける。定理の証明は高校レベルだが、中学生でも式を覚えて活用できる。日本の高校受験参考書にも書かれている。以上JIMMYさんから頂いた解答の解説終わり。
解答を頂いたJIMMYさんへ感謝。m(_ _)m


次にtaiyaiさんから頂いた解答

同じ弧の上に立つ円周角同一ですね。
直角三角形から　２ＲｓｉｎＡ＝５です。Ｒは半径。
第二余弦定理でｃｏｓＡはわかっています。　９／１６
半径は、８／√７＝（８√７）／７←の「＝（８√７）／７」はメンカームが書き加えました。

こちらも私が少し解説。

「同じ弧の上に立つ円周角同一」は・・・



Ｂから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＡ'とする。
∠Ａと∠Ａ'は同じ弧ＢＣの上に立つ円周角で等しいことを指している。
三角形の辺ＢＣ＝ａとすると、正弦定理により　ａ＝２ＲｓｉｎＡ＝５　　ｓｉｎＡ＝５／（２Ｒ）　---①

第二余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理。



ａ²＝ｂ²＋ｃ²－２ｂｃ・ｃｏｓＡより
ｃｏｓＡ＝（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ
　　　　＝（４²＋６²－５²）／２・４・６
　　　　＝（１６＋３６－２５）／４８
　　　　＝２７／４８＝９／１６　---②

ここからどうやってＲを求められたのか書いて頂いてないので私の推測だが・・・

【推測１】
ｓｉｎＡ＝５／２Ｒを示されているので、
ピタゴラスの基本三角関数公式　ｓｉｎ²Ａ＋ｃｏｓ²Ａ＝１より
ｃｏｓ²Ａ＝１－ｓｉｎ²Ａ
①より　ｓｉｎＡ＝５／（２Ｒ）　なので
ｃｏｓ²Ａ＝１－（５／（２Ｒ））²

②より　ｃｏｓＡ＝９／１６　なので
（９／１６）²＝１－（５／（２Ｒ））²
（５／（２Ｒ））²＝１－（９／１６）²
２５／４Ｒ²＝１－（８１／２５６）
２５／４Ｒ²＝１７５／２５６
２５・２５６＝１７５・４Ｒ²
Ｒ²＝（２５・２５６）／（１７５・４）
Ｒ²＝２５６／２８＝６４／７
Ｒ＝８／√７＝（８√７）／７

【推測２】
ｓｉｎＡ＝５／２Ｒを示されているが、第二余弦定理で求めた ｃｏｓＡ＝９／１６ しか使わなかったとすれば



辺Ａ'Ｃ＝２ＲｃｏｓＡ＝２Ｒ（９／１６）＝９Ｒ／８
ピタゴラスの定理を利用して、
ＡＢ²＝ＢＣ²＋Ａ'Ｃ²
（２Ｒ）²＝５²＋（９Ｒ／８）²
４Ｒ²＝２５＋８１Ｒ²／６４
（４－（８１／６４））Ｒ²＝２５
Ｒ²＝２５／（１７５／６４）＝６４／７
Ｒ＝８／√７＝（８√７）／７

taiyaiさんの解答も高校で学ぶ第二余弦定理を使ったが、簡単に答えが導ける。
解答を頂いたtaiyaiさんへ感謝！m(_ _)m


最後に日本の参考者「塾技数学１００」を見ながら解いた私、メンカームの解答



点Ａから辺ＢＣの垂線を引き、垂線と辺ＢＣの交点をＤ、ＡＤの長さをｈ、ＤＣの長さをａとする。
⊿ＡＣＤをピタゴラスの定理で表す。
４²＝ａ²＋ｈ²　---①
⊿ＡＢＤをピタゴラスの定理で表す。
６²＝（５－ａ）²＋ｈ²
　　＝５²－１０ａ＋ａ²＋ｈ²
①の式を代入して
６²＝５²－１０ａ＋４²
１０ａ＝５²＋４²－６²
　　　＝２５＋１６－３６
　　　＝５
ａ＝１／２

①より
ｈ²＝４²－ａ²
　　　　　　　＝４²－（１／２）²
　　　　　　　＝１６－（１／４）
　　　　　　　＝６３／４
ｈ＝√６３／２＝√３²×７／２＝３√７／２



Ａから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＥとする。
∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ＝９０°（∠ＡＢＥ＝９０°は、小６レベルの知識）
同じ弧ＡＢ上の円周角で等しいので、
∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＤ
⊿ＡＢＥと⊿ＡＤＣは、２つの角が等しいので、
⊿ＡＢＥ∽⊿ＡＤＣ
相似な２つの三角形の辺の長さの比は等しいので、
６：（３√７／２）＝２Ｒ：４
（３√７／２）・２Ｒ＝６・４
（３√７）Ｒ＝２４
Ｒ＝２４／（３√７）＝８／√７＝（８√７）／７

三角関数を使わず、相似な三角形の辺の長さの比を利用した解き方。


外接円の半径を求める問題は５月にも１問紹介している。学校の授業ではそれほど教えないが、数学の競技会や上位の高校を目指すなら理解しておきたい。
娘は塾技数学１００の解き方しか教えてないが、そろそろ高校で習う第二余弦定理も教えるつもり。
第二余弦定理は大学生の息子が「分からない」と言ってきた問題があるので、それも後日記事にしよう。

この記事が長々と数式ばかりなのを見た娘から「そんな面倒なのは、誰も読まないよ❤」と言われたが、紙で保管しているとどこへ行ったか判らなくなるのが我が家。元々勉強嫌いな私は、参考書を読んで知った１つの解き方しか分からないが、記事にしたので沢山の解き方を教えて頂いた。解答やコメントを頂いた皆様へ感謝！


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