今日は１４日の記事で紹介した問題の解答編。
問題
四角形ＡＢＣＤに対角線を引き、その交点をＯとする。三角形ＡＢＯの面積は３ｃ㎡、三角形ＢＣＯが９ｃ㎡、三角形ＡＤＯが５ｃ㎡。
四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
先ずはヒントから。
図形の向きを変えて、こうしてみるとどうだろう？ダメなら次へ。
これならどうかな？
もう答えを書いたも同然ｗ
何か見えて来たと思うが・・
解答に行こうかな？
それでは解答。
最初に断っておくが、私は子供の頃から勉強が大嫌い。もし間違っていれば指摘して頂きたい。
三角形ＡＢＯと三角形ＢＣＯは頂点Ｂを共有し、どちらの高さも同じ。
三角形の面積を求める計算式は底辺の長さ×高さ÷２であり、２つの三角形は高さが同じなので、面積の比３：９＝１：３は底辺の長さの比となる。
三角形ＡＢＯの底辺ＡＯの長さを①とすると、三角形ＢＣＯの底辺ＣＯの長さはＡＯの３倍の③となる。
式を書いてみると、
三角形ＡＢＯの面積は辺ＡＯ×ｈ÷２＝３ 辺ＡＯ＝６/ｈ と表せる。
三角形ＢＣＯの面積は辺ＣＯ×ｈ÷２＝９ 辺ＣＯ＝１８/ｈ となる。
辺ＡＯ：辺ＣＯ＝６/ｈ：１８/ｈ＝１：３
三角形ＡＤＯと三角形ＣＤＯは、頂点Ｄを共有する三角形であり、高さが同じなので面積比は底辺の長さの比と等しくなる。三角形ＣＤＯの底辺ＣＯの長さは、三角形ＡＤＯの底辺ＡＯの３倍なので、三角形ＣＤＯの面積は三角形ＡＤＯの３倍となる。三角形ＡＤＯの面積は５ｃ㎡なので、三角形ＣＤＯの面積は５×３＝１５ １５ｃ㎡となる。
こちらも式を書くと
三角形ＣＤＯの面積は、底辺ＣＯ×高さＨ÷２。
底辺ＣＯ＝３×底辺ＡＯなので
底辺ＣＯ×高さＨ÷２＝３×底辺ＡＯ×高さＨ÷２
底辺ＡＯ×高さＨ÷２は三角形ＡＤＯの面積であり、その値は５ｃ㎡なので
３×底辺ＡＯ×高さＨ÷２＝３×三角形ＡＤＯの面積＝３×５ｃ㎡＝１５ｃ㎡となる。
求める四角形ＡＢＣＤの面積は、３＋９＋５＋１５＝３２ ３２ｃ㎡
こちらはもう一つの解き方。
三角形ＡＢＯと三角形ＡＤＯは、底辺ＡＯを共有した三角形で、２つの三角形の面積比は高さの比に等しい。
三角形ＡＢＯの面積：三角形ＡＤＯの面積＝３：５＝ｈ：Ｈ ５ｈ＝３Ｈ Ｈ＝５ｈ/３
三角形ＢＣＯと三角形ＣＤＯは、底辺ＣＯを共有した三角形で、２つの三角形の面積比は高さの比に等しい。
ｈ：Ｈ＝３：５＝三角形ＢＣＯの面積：三角形ＣＤＯの面積
５×三角形ＢＣＯの面積＝３×三角形ＣＤＯの面積
三角形ＣＤＯの面積＝三角形ＢＣＯの面積×５/３＝９×５/３＝１５ １５ｃ㎡
式を書いてみる。
三角形ＡＢＯの面積は辺ＡＯ×ｈ÷２＝３ ｈ＝３×２÷辺ＡＯ
三角形ＡＤＯの面積は辺ＡＯ×Ｈ÷２＝５ Ｈ＝５×２÷辺ＡＯ
ｈ：Ｈ＝３×２÷辺ＡＯ：５×２÷辺ＡＯ＝３：５ ５ｈ＝３Ｈ Ｈ＝５ｈ/３
三角形ＢＣＯの面積は辺ＣＯ×ｈ÷２＝９
三角形ＣＤＯの面積は辺ＣＯ×Ｈ÷２＝辺ＣＯ×(５ｈ/３)÷２＝(５/３)×辺ＣＯ×ｈ÷２＝(５/３)×９＝１５ １５ｃ㎡
求める四角形ＡＢＣＤの面積は、３＋９＋５＋１５＝３２ ３２ｃ㎡
最後になったが、読者の皆様から頂いた解答を御紹介。
ピギーさんから頂いた解答。
１）三角形OABと三角形OADの面積比が3:5、それぞれの三角系の底辺をOB、ODとすると高さは一緒だから長さOB:OD=3:5.
２）同様に三角形OABと三角形OCDのOB、ODをそれぞれ底辺と考えると高さが等しいので、求める面積は9×5÷3=15cm2
で、どないでしょう。
私（メンカーム）からのコメント。
解答を頂きまして、ありがとうございます。
簡潔に分かり易く説明されてますね。三角形ＣＤＯの面積は１５ｃ㎡で、見事に正解！！！と申したいところですが、設問で求められているのは「四角形ＡＢＣＤの面積」。私もよくやるのですが、解けたと喜ぶと、あと１ステップあるのですよね。出題者はそのミスを狙っていると思います。
次にJIMMYさんから頂いた解答。
32㎠ですか？
私（メンカーム）からのコメント。
正解です。
最初に見た時は「なぬ！！！？」と思った設問だが、三角形の面積の出し方をきちんと理解しているならば、小学生でも解けるだろう。高校生の息子が解けなかったのは、やはり勉強不足だと思うが、学校では割合や比率を使った解法をあまりやらないので思いつかなかったのだろう。日本から買った中学受験の参考書「塾技１００算数」でも、割合や比率を使って簡単に解く設問が多かった。学校での勉強との違いの一つだ。
ウドンタニ・ラジャバット大の科学展で行われた数学競技会の結果だが、娘は小学生の部を８位で入賞。３７問８２点満点で６０点。トップは６９点で差は９点あり、まだまだ修行が足りない。平均点は２９点だった。
上位１０人中ドン・ボスコ校が８人、アヌバンウドンが一人、そして娘。娘の小学校は、どっちみち入賞しなからと今年から学校単位での参加を見送ったので娘は個人参加したが、娘の学校では初めての入賞。
入賞者１１人中９人は娘と同じ塾の子供達で、６年生３人、５年生５人、４年生一人。娘は上位でないのを涙が出たほど悔しがったが、１年の遅れは大き過ぎる。塾の先生から小学生コース修了後の次の塾が示されたが、やはり・・・
ここらしい。
ここは授業時間が他の塾の数倍多いので、行くなら急がなければならない。
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四角形ＡＢＣＤに対角線を引き、その交点をＯとする。三角形ＡＢＯの面積は３ｃ㎡、三角形ＢＣＯが９ｃ㎡、三角形ＡＤＯが５ｃ㎡。
四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
先ずはヒントから。
図形の向きを変えて、こうしてみるとどうだろう？ダメなら次へ。
これならどうかな？
もう答えを書いたも同然ｗ
何か見えて来たと思うが・・
解答に行こうかな？
それでは解答。
最初に断っておくが、私は子供の頃から勉強が大嫌い。もし間違っていれば指摘して頂きたい。
三角形ＡＢＯと三角形ＢＣＯは頂点Ｂを共有し、どちらの高さも同じ。
三角形の面積を求める計算式は底辺の長さ×高さ÷２であり、２つの三角形は高さが同じなので、面積の比３：９＝１：３は底辺の長さの比となる。
三角形ＡＢＯの底辺ＡＯの長さを①とすると、三角形ＢＣＯの底辺ＣＯの長さはＡＯの３倍の③となる。
式を書いてみると、
三角形ＡＢＯの面積は辺ＡＯ×ｈ÷２＝３ 辺ＡＯ＝６/ｈ と表せる。
三角形ＢＣＯの面積は辺ＣＯ×ｈ÷２＝９ 辺ＣＯ＝１８/ｈ となる。
辺ＡＯ：辺ＣＯ＝６/ｈ：１８/ｈ＝１：３
三角形ＡＤＯと三角形ＣＤＯは、頂点Ｄを共有する三角形であり、高さが同じなので面積比は底辺の長さの比と等しくなる。三角形ＣＤＯの底辺ＣＯの長さは、三角形ＡＤＯの底辺ＡＯの３倍なので、三角形ＣＤＯの面積は三角形ＡＤＯの３倍となる。三角形ＡＤＯの面積は５ｃ㎡なので、三角形ＣＤＯの面積は５×３＝１５ １５ｃ㎡となる。
こちらも式を書くと
三角形ＣＤＯの面積は、底辺ＣＯ×高さＨ÷２。
底辺ＣＯ＝３×底辺ＡＯなので
底辺ＣＯ×高さＨ÷２＝３×底辺ＡＯ×高さＨ÷２
底辺ＡＯ×高さＨ÷２は三角形ＡＤＯの面積であり、その値は５ｃ㎡なので
３×底辺ＡＯ×高さＨ÷２＝３×三角形ＡＤＯの面積＝３×５ｃ㎡＝１５ｃ㎡となる。
求める四角形ＡＢＣＤの面積は、３＋９＋５＋１５＝３２ ３２ｃ㎡
こちらはもう一つの解き方。
三角形ＡＢＯと三角形ＡＤＯは、底辺ＡＯを共有した三角形で、２つの三角形の面積比は高さの比に等しい。
三角形ＡＢＯの面積：三角形ＡＤＯの面積＝３：５＝ｈ：Ｈ ５ｈ＝３Ｈ Ｈ＝５ｈ/３
三角形ＢＣＯと三角形ＣＤＯは、底辺ＣＯを共有した三角形で、２つの三角形の面積比は高さの比に等しい。
ｈ：Ｈ＝３：５＝三角形ＢＣＯの面積：三角形ＣＤＯの面積
５×三角形ＢＣＯの面積＝３×三角形ＣＤＯの面積
三角形ＣＤＯの面積＝三角形ＢＣＯの面積×５/３＝９×５/３＝１５ １５ｃ㎡
式を書いてみる。
三角形ＡＢＯの面積は辺ＡＯ×ｈ÷２＝３ ｈ＝３×２÷辺ＡＯ
三角形ＡＤＯの面積は辺ＡＯ×Ｈ÷２＝５ Ｈ＝５×２÷辺ＡＯ
ｈ：Ｈ＝３×２÷辺ＡＯ：５×２÷辺ＡＯ＝３：５ ５ｈ＝３Ｈ Ｈ＝５ｈ/３
三角形ＢＣＯの面積は辺ＣＯ×ｈ÷２＝９
三角形ＣＤＯの面積は辺ＣＯ×Ｈ÷２＝辺ＣＯ×(５ｈ/３)÷２＝(５/３)×辺ＣＯ×ｈ÷２＝(５/３)×９＝１５ １５ｃ㎡
求める四角形ＡＢＣＤの面積は、３＋９＋５＋１５＝３２ ３２ｃ㎡
最後になったが、読者の皆様から頂いた解答を御紹介。
ピギーさんから頂いた解答。
１）三角形OABと三角形OADの面積比が3:5、それぞれの三角系の底辺をOB、ODとすると高さは一緒だから長さOB:OD=3:5.
２）同様に三角形OABと三角形OCDのOB、ODをそれぞれ底辺と考えると高さが等しいので、求める面積は9×5÷3=15cm2
で、どないでしょう。
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解答を頂きまして、ありがとうございます。
簡潔に分かり易く説明されてますね。三角形ＣＤＯの面積は１５ｃ㎡で、見事に正解！！！と申したいところですが、設問で求められているのは「四角形ＡＢＣＤの面積」。私もよくやるのですが、解けたと喜ぶと、あと１ステップあるのですよね。出題者はそのミスを狙っていると思います。
次にJIMMYさんから頂いた解答。
32㎠ですか？
私（メンカーム）からのコメント。
正解です。
最初に見た時は「なぬ！！！？」と思った設問だが、三角形の面積の出し方をきちんと理解しているならば、小学生でも解けるだろう。高校生の息子が解けなかったのは、やはり勉強不足だと思うが、学校では割合や比率を使った解法をあまりやらないので思いつかなかったのだろう。日本から買った中学受験の参考書「塾技１００算数」でも、割合や比率を使って簡単に解く設問が多かった。学校での勉強との違いの一つだ。
ウドンタニ・ラジャバット大の科学展で行われた数学競技会の結果だが、娘は小学生の部を８位で入賞。３７問８２点満点で６０点。トップは６９点で差は９点あり、まだまだ修行が足りない。平均点は２９点だった。
上位１０人中ドン・ボスコ校が８人、アヌバンウドンが一人、そして娘。娘の小学校は、どっちみち入賞しなからと今年から学校単位での参加を見送ったので娘は個人参加したが、娘の学校では初めての入賞。
入賞者１１人中９人は娘と同じ塾の子供達で、６年生３人、５年生５人、４年生一人。娘は上位でないのを涙が出たほど悔しがったが、１年の遅れは大き過ぎる。塾の先生から小学生コース修了後の次の塾が示されたが、やはり・・・
ここらしい。
ここは授業時間が他の塾の数倍多いので、行くなら急がなければならない。
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今は考え始めると、目眩が～～♪
娘さん、頑張っていらっしゃるようで、頼もしい。
お子様とその保護者が、一体となって難関突破～～良いですね。
もしかしたら、日本ではやや忘れかけているようにも思います・・
といっても60点で8番じゃラーメンと同じ番号だけに不満がありますか…ココ一番だと満足するかもです(;'∀')って？
平均が２９ってのもスゴイ話で、全然対策なしで受けさせてる実情が窺えました。
あれ、科学の日ってまだですよね？
うちの息子はどうなってるんだろ？
まったく連絡無しなんでオヤジは蚊帳の外みたいです。
っていうか事後連絡が多いんですよね( ﾉД`)ｼｸｼｸ…
んん～、上の図形問題ですが、
＞高さが同じなので面積比は底辺の長さの比と等しくなる＜
とありますが、この時点で頭が止まります。
そもそもの話、三角形の高さって、底辺に対して垂直にして計った高さのことを言うのでしたっけ？？、そんな事も知らないわけで、ヒント通りグルグル回したとて解けないわけだ（笑）
本当の勉強嫌いって、そんなもんですよ。
メンカームの勉強嫌いは「嫌い」の範疇に入りません(爆)
従って、三角形の面積が底辺×高さ×1/2ということを知らないという前提で考えます。
仮に三角形の面積は底辺×高さとします。
△ABOと△AODの高さhを仮に1とします。するとBO＝3cm、OD＝5cmとなります。
△BCO＝9ｃ㎡ではBO＝3cmだから高さH＝3cmになります。
OD＝5cm、高さH＝3cmなので△DOC＝15ｃ㎡です。
そこで15ｃ㎡+9ｃ㎡+3ｃ㎡+5ｃ㎡＝32ｃ㎡が出てきます。
私は子供の頃から勉強が大嫌いで、全く近寄らなかったのですが、
今は子供の勉強を見ろと鬼嫁から命令されて仕方なしに・・・。
一緒に勉強するものだから、今頃になってようやく分かるようになってｗｗｗ。
もし生まれ変わったら中学受験しましょうかｗｗｗ。
ずっと娘の目標だった男の子は今回一点差。
新しい目標は昨年に続き一位と二位を独占した双子の姉妹。
一生懸命追い掛けてますが、まだまだ大きな差があります。
娘が頑張る限りは応援してやりたいと思います。
親も結構楽しんでます。
mugaさん
ありがとうございます。
目標の双子姉妹と得点差が開いている上に、
いつも塾で競争している下級生にも抜かれて悔しかったようです。
平均点は２９点ですが、出題は中３のO-NETレベルが多数。
中には「バーゼル問題」なんかも、そっと入れてあります。
対策した各校の代表が集まって２９点であり、
試験の監視をしていたラジャバットの学生でも難しいかもｗｗｗ。
毎年似たような問題が多いですから
塾では過去十年分の出題を全部解けるようにして受験させてます。
科学の日のイベントは、前国王陛下崩御の関係で
音楽やダンス等は自粛して静かに行われました。
息子の学校の理科展では、今年からペットボトルロケットの競技が始まりました。
息子は物理の点を＋１０の約束で４年生のチームのサポートに入りまして、
真っ直ぐ６５ｍ飛ばしましたが、残念ながら優勝は逃しました。
毎年のようにペットボトルロケットを飛ばしてましたが、
卒業の年には競技会まで開かれて大満足してました。
事後連絡が多いのは、お子さんが成長された証ですよ。
うちは子離れ、親離れが遅いので（恥）
三角形の面積とか高さとか、大人になったら使うことがありませんよね。
最近は字を手で書きませんから、漢字がさっぱりダメですし（元々ｗ）
英語もアルファベットを書くのに考えたり（恥）
算数は娘に教えるので覚えたりしてｗｗｗ
私の勉強嫌いですが、小学校の高学年から授業中はずっと寝てました。
一番前の真ん中に座らされても、そこで高いびき。
目が覚めたら授業が終わって休み時間もしばしばでした。
教科書は貰った時に自分で全部読んでいたのですが
全く興味が湧きませんでした。
図書館へ行って、科学の本を読むのが幸せでしたｗ。
高校生になって少し勉強しましたが、もう手遅れですよねｗ。
真面目に勉強すれば良かったと今頃になって後悔してますが、
生まれ変わってもきっと本やネットを眺めて空想しているでしょう。
やはり勉強嫌いなんですよｗ。
JIMMYさん
そうですね。面積比＝底辺の長さの比を意識しなくても、
仮に高さを定めて面積を計算すれば答えが出ますね。
アドバイスをありがとうございます。