Menkarm World

３月３１日にＧＡＴ・ＰＡＴ、４月４日に９サーマンの結果が発表された。

息子は昨年入った大学を前期だけで退学し、レベルアップを目指したのだが、結果を見ると１年勉強した割にはパッとせず、得点が僅かに増えた教科もあれば、下がってしまったのもｗ。「お前は１年間何をやっていたの？」と尋ねる始末ｗ。



上が３回目の選考へ使われる事が多い９サーマンの結果。糞恥ずかしい息子の得点はモザイク。ワザワザお見せしたのは平均点の低さを見て欲しかったから。１００点満点だが、教科書レベルで勉強するとこの平均点くらいの得点になる。



上がＧＡＴ・ＰＡＴ試験の結果。良かったのはＰＡＴ７.３（日本語）で、前年より４２点ＵＰの２７０点。１位を目標にしたが、今年の１位は２９７点だそうで、息子は５０番くらいらしい。息子は小２まで日本の小学校へ通ったが、それ以降日本語を勉強しておらず、自宅で私と話したり、アニメを見たり、漫画を読んだりくらい。得点ＵＰの理由は大学へ通っていた時にバンコクで高校生へ日本語の家庭教師をやったからだろう。教えた高校生は１７０点ちょっとだったそうだ。どの大学でも人気のある日本語学科は最低点の制限があり、その高校生は志望校の最低点へ十数点届かず残念。日本語の漫画が読めて、アニメが見れるレベルでも、人気校の人気学科は難しいらしい。最低点制限がない学部へは行きたくないらしく、日本語を活用できる観光学科等へ志望を変えるそうだ。
こちらも他の科目は恥ずかしくてお見せできないのでモザイクｗｗｗ。

息子は昨年に某大学の理学部へ入学しても、ＧＡＴ（タイ語・英語）が高得点で数学や理科の得点が低い学生が多く、理系の授業がまともに進まず、環境が悪いのに嫌気が差して退学したが、今年は理系科目へ最低点を設定した学部がいくつもあり、理系の中にも苦手科目がある息子は、それに引っ掛かって志望学部へ入れないｗｗｗ。

チュラの理学部辺りは未だ合格圏内の学科が有るらしいが、これはもう非常事態なので、息子はＰＡＴ７.３（日本語）を使って文系の人気学部を狙うそうだ。昨年は合格圏外だったが、ＰＡＴ７が６０％なので日本語の＋４２点で２５２０点のポイントアップ。人気学部でもなんとか滑り込めるのを期待している。

下の写真は今年のＧＡＴ・ＰＡＴで５百番以内に入った生徒が使った教材。フェイスブックで公開されていたので借用ｗ。







参考書や問題集は息子が使ったのと大きな違いは無いのだが、違うのは過去問題。
私はタイ語が読めないので、過去問題を見て理解できるのは数学だけだが、私が過去問題を見て気になるのは、市販されている参考書や問題集とのレベルの違い。３００点満点で平均点が４９点しかないＰＡＴ１参考書なのに、書かれているのは教科書レベルってのはいくつも見た。そんな問題で練習しても本番で解ける訳がなく、過去問題が完全に解けるまでしっかり取り組むしか無いと私は思う。
過去問題は本来非公開らしいが、数年前のならネットを探すと見つかる物もあるそうだ。しかし解答や質が高い解説まで揃えようとすると難しいだろう。そうなると塾のお世話になるのが楽だが、私が知る限り大手のビデオ塾やウドンタニローカルの塾では、過去問題を中心にやっている所を知らない。息子の話ではバンコク周辺の塾がやっているそうで、中にはネットで配信する塾が有る。そういう情報はネットで検索したり、フェイスブックの受験がテーマのグループや友達から入手出来る。
息子は９サーマンの過去問題をネット塾のお世話になったが、解説も丁寧でかなり時間の節約になったらしい。但し、一度取り組んで解説を見て終わったのでは全く出来ないので、そのつもりで。
初見で解ける問題と解けない問題を分け、解けない問題は解けるまで何度も取り組み、日にちを変えて再度チャレンジ。もう大丈夫となったら全問再チェック。駄目なら再取り組みの繰り返し。うちのアホにはこう言いつけておいたのに、時間が無いと数回しかやらず、９サーマンの数学はまさかの前年度得点割れ。ヽ(`Д´)ﾉﾌﾟﾝﾌﾟﾝ

得点発表の翌日に息子と志望校を話し合っている時に「時間とお金を掛けて前年度割れとはどういうつもりだ！大学へ行かないで就職しろ！」と私から叱られ、息子呆然。「冗談じゃなくて、本気だぞ！もう大人なんだから出て行け！」と言ったところで我慢出来なく、口元が少しニヤける私。顔を真赤にして叱っていたのにニヤけた私を見て、息子「？？？？？」
もう隠し切れないと思い「エイプリルフールなｗ」とネタバレしたら、涙ぐみながら「パパ～リアル過ぎだよ。よりによってこんな時に受験で仕掛けるなよ～」と言う息子ｗ。
小学生の時はよく引っ掛かっていたのに、中学生の頃から全然騙されなくなって面白くなかったので、１日は朝からタイミングを狙っていたｗ。
「別に本気でも良いけど、どうする？就職するか？」とからかうと、「エイプリルフールでしょ？(^^;)」という息子。
「そうそうエイプリルフールｗ」と答えておいたｗ。


さて今回も数学。
前回の問題



半径１０cmの円に内接する正十二角形の面積を求めなさい。

ななおやじさんから、「日本だと、中学受験用の小4のテキストでよく見かけたりします。」と頂いた問題。
小学生なら三角関数は使わないので、どうやって解くかな～と検索してしまったｗ。


ムガさんところのお兄ちゃんの解答

今回の問題は「14だーー！」と叫びまして、ん？そんなに狭いか？と問うたところ、12角形と円の隙間、その面積をを指さして「ここでしょ？」(￣▽￣;)・・・
改めて300と答えました（ちょっと自信ある顔で）

メンカームの解答



半径ｒの円に内接する正十二角形は、上図の赤線で囲った二等辺三角形１２個の集まり。
円の中心へ接する角の角度は３６０°÷１２＝３０°

三角形１つの面積＝（１／２）ｒ・ｈ
　　　　　　　　＝（１／２）ｒ・ｒ・（１／２）　　∵　ｈ＝ｒ・ｓｉｎ３０°＝ｒ・（１／２）
　　　　　　　　＝ｒ²／４

正十二角形は三角形１２個の集まりなので
正十二角形の面積＝１２・ｒ²／４
　　　　　　　　＝３ｒ²
　　　　　　　　＝３００　　　　　　　　　　　　　∵　ｒ＝１０

答え　３００ｃ㎡

メンカームの小学生向け解答

上の解答ではｈ＝ｒ・ｓｉｎ３０°＝ｒ・（１／２）としたが、
ななおやじさんは小４のテキストで見ると書かれたので、正弦（ｓｉｎ３０°）を使わない方法を考えても思い付かず、ネットで検索した結果を書いておく。



正十二角形を１２分割して出来る三角形を２つ繋げ、上図の様にＡ、Ｂ、ＣとＯを定める。
三角形１つの外接円の中心Ｏへ接する角の角度は３０°なので、２つ繋げて６０°。
三角形ＯＡＢは、ＯＡ＝ＯＢなので、∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣ＝（１８０°－６０°）÷２＝６０°なので、
三角形ＯＡＢは、ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＢで、∠ＡＯＢ＝∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣ＝６０°の正三角形。
∠ＯＡＣは１８０°－（３０°＋６０°）＝９０°であり、点Ｏから引いた辺ＡＢの垂線は辺ＡＢの中点なので、
ＡＣ＝ＡＢ／２＝ＯＡ／２＝ＯＢ／２。

次の問題

タイは夏休みなので、今日は２問。
高校生向けの大学入試参考書からの出題だが、中学生でも解ける設問。

（１）



三角形ＡＢＣは、ＡＢ＝ｘ＋１　ＡＣ＝ｘ　ＢＣが最大辺で長さが５。
∠Ａが鈍角（∠Ａ＞９０°）である時のｘの範囲を求めなさい。
大学への数学２０１８臨時増刊３月号「入試数学の基礎徹底」より。
私も誤答（恥ｗ）して面白かったので引用。
「入試数学の基礎徹底」は、数学が苦手な私にとって、目から鱗だった。
校外の試験や入試で高校レベルが出題されるタイの中学生にもお薦め。
２０１９年版も出版されている。

（２）



三角形ＡＢＣは、∠Ｂ＝４５°　∠Ｃ＝６０°　ＢＣ＝８。
三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
大学への数学２０１８臨時増刊３月号「入試数学の基礎徹底」より。
引用元では正弦定理を使った解答で高校生向けだが、正弦定理を使わず小・中学生でも回答可能。



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久しぶりの更新。
先ずは近況から。息子の大学入試共通試験は、ＧＡＴ・ＰＡＴ試験が２月２６日で終了。ＰＡＴ７.３日本語は昨年県内トップで、今年は国内トップを目指すと豪語したが、さて？ｗｗｗ　現役高３は３月２.３日がＯ－ＮＥＴだが、現役でない息子は１週空けて３月９日が医療系のＧＡＴ試験。１６・１７日の９サーマン試験まで続く。
娘はソポト（ナナチャート）試験の２回目が２日に終了。自己採点で２０問中１１問解けたらしいが、いつも２～３割はミスしているので奨励賞も難しいかも？
最後に私だが、１日から血尿が再発。今までは血尿だけだったが、今回は尿管へ石が詰まって尿が流れなくなったらしく、激痛ではないが腹痛に苦しんで冷や汗が出た。１日は痛み止めを飲んで、２日の午後には痛みを感じなくなったが、尿は真っ赤。(T_T)しばらく様子を見て、出ない様だったら病院へ行くつもり。クリニックの医師へ手数料を1万バーツ弱払えば、こちらの希望を入れてスムースに治療できるが、子供にお金が掛かるので今回は節約するつもり。自分の体だが、ため息しか出ない。orz

さて本題のスーヌン・テムヌン（BUY1GET１FREE）のお話。
約３年前に千四百バーツで買った中古タイヤだが、あれから１５万キロ以上走ってもスリップサインは出てないが、走行面の摩耗や側面のヒビ割れを見るとそろそろ寿命な様子。
タイヤ販売店へ行き、いつものブリジストンのタイヤで交換しようと思ったが、創業者の子孫の反日活動が気に入らないので止めた。そういえば住友ゴムがウドンタニへ工場を持ってたなと思い、地産地消でダンロップのタイヤにしようと思えば在庫なし。店員がこれなら安くしますよと言うのを見ればＤＥＥＳＴＯＮＥと知らないブランド。スマホで検索するとタイ現地資本で最大のタイヤメーカーと書いてある。店員曰く「当然だけど、酷い過積載をしない限りは大丈夫」だそうだ。「１本３千バーツだけどスーヌン・テムヌン（１つ買えば１つおまけ）」と言われて、決めることにしたｗ。１本１５００バーツだｗ。タイヤの溝が幅広く少しゴムが柔らかく感じたが、どれだけ走るか楽しみｗ。前輪の左右を新しいタイヤにし、摩耗が少ない右前輪をスペアへ入れた。

左がブリジストンで、右がディーストンのタイヤ。


交換作業を始める前に作業員が簡単に点検してくれるのだが、作業員は「ルークマー」が壊れていると言う。「ルークマー」が何だか分からないのだが、前輪の固定が両方共ガタが来ており、特に右前輪の左右の遊びが大きいと言う。私の前で車輪を左右に揺らして見せてくれたが、走行面の左右のブレが２センチ幅近いのに驚愕！
（タイヤ店が領収書へ「ลูกหมากแร็ค」と書いて下さったのに後日気が付き、自動翻訳で「ボールジョイント」と分かった。）

タイヤ交換後は、そのままいつもの修理工場へ直行。「タイヤ屋でルークマーが壊れていると言われたんだけど・・」と伝えると、「そう言って来られるお客さんは多いけど、どこが悪いかチェックしてみましょう」とジャッキアップして点検。
私のタイ語力では「ルークマー」と呼ぶか判らないが、前輪のステアリングロッド周辺を交換。タイでは交換した古い部品を返してくれるが、右前輪は下の写真のＡとＢ、左前輪はＡが交換してあった。それとどこへ装着されていたか判らないゴムブッシュが２つあった。金額は３５００バーツ。



帰りにウドンタニ外周路の舗装が悪い道を通ったが、いつもだと道路の凸凹でどこへ飛んでいくか判らない感じだったのが、ハンドルの修正が要らないくらいに真っ直ぐ走った。毎日少しずつ劣化するので気が付かないが、こんな風に悪くなっていたのかと納得した。

それから数日後にコンケンへ配達へ行く妻に付き合えば、帰る前になってエアコンが冷えなくなる。ボンネットを開けて見れば、エアコンのコンプレッサーの電磁クラッチの内側（コンプレッサ側）が擦られながら仕方なしにゆっくり回っている。走行距離が２０万キロくらいで電磁石が焼けて一度クラッチを交換したので、それから約３０万キロ使えた。糞暑いのにエアコンが効かないままウドンタニへ帰りたく無いので、コンケンのトヨタディーラーへ持ち込もうと言うが、いつものウドンタニの電気系の修理業者へ持ち込むと言う妻。電話で５時前に行くけど修理してと頼んで汗だくになりながらウドンタニまで２時間走った。
エアコンのコンプレッサーの電磁クラッチの交換は１時間弱。電磁クラッチの故障はクラッチ部分の経年摩耗が原因だが、クラッチをを固定する３本ある金具の内２本が既に破断しており、残りの一本も半分まで亀裂が入っていた。交換後の新しい電磁クラッチはその辺が強化してあるそうだ。これでまた２０万キロ以上は使えるだろう。修理代は１２００バーツで、私の記憶ではディーラーの半額くらいの筈。

スーヌン・テムヌン（BUY1GET１FREE）で節約したつもりだったのに、修理が２つも重なって、これなら新車にした方が良いじゃないと妻は言うが、子供達の教育費の負担が重くて、自動車ローンの支払いなんてとてもとても。それに私はこの車に愛着が有るし、走行距離１００万キロも目指したい。日本と比べると修理代金も安いので、どこまでやれるか試そうと思っている。


それでは数学へ入ろう。
前回の問題

４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１をｘ³－ｘで割った余りを求めなさい。

東京電機大の過去問題　東京出版「大学への数学２０１８年３月臨時増刊 入試数学の基礎徹底」より引用
タイでも中学では教えず、高校で教える内容だが、中学生向けの各種試験へこのくらいは出題される。

メンカームの解答

力技

（４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１）÷（ｘ³－ｘ）を計算

　　　　４ｘ⁹⁸　＋３ｘ⁹⁷　・・・・・
ｘ³－ｘ）４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹　　　　　　　＋１
　　　　４ｘ¹⁰¹　　　　　－４ｘ⁹⁹
　　　 　　　　　３ｘ¹⁰⁰ ＋２ｘ⁹⁹
　　　　　　　　３ｘ¹⁰⁰　　　　－３ｘ⁹⁸
　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　・
え？未だ続ける？不可能ではないが、とても時間が足りない。

余りを算出

ｆ（ｘ）＝４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１
ｆ（ｘ）をｘ³－ｘで割った商をＱ（ｘ）とし、
その余りをａｘ²＋ｂｘ＋ｃとする（３次式で割った余りは二次式）と、

ｆ（ｘ）＝（ｘ³－ｘ）・Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　　＝ｘ（ｘ²－１）・Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　　＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）・Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ　と表わせ、
ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）・Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１　である。

ｆ（０）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）・Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１
　　　　＝０・（－１）・（１）・Ｑ（ｘ）＋ａ・０＋ｂ・０＋ｃ＝４・０＋３・０－２・０＋１
　　　　＝ｃ＝１　---①
同様に
ｆ（１）＝１・０・２・Ｑ（ｘ）＋ａ・１＋ｂ・１＋ｃ＝４・１＋３・１－２・１＋１
　　　　＝ａ＋ｂ＋ｃ＝６　---②
ｆ（－１）＝（－１）・（－２）・０・Ｑ（ｘ）＋ａ・１＋ｂ・（－１）＋ｃ＝４・（－１）＋３・１－２・（－１）＋１
　　　　＝ａ－ｂ＋ｃ＝２　---③

①②より
ａ＋ｂ＋１＝６　ａ＋ｂ＝５　---②'
①③より
ａ－ｂ＋１＝２　ａ－ｂ＝１　---③'
②'＋③'
２ａ＝６　ａ＝３
②'より
ａ＋ｂ＝５　３＋ｂ＝５　ｂ＝２

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝３ｘ²＋２ｘ＋１

答え　３ｘ²＋２ｘ＋１

次の１問

ｘ²＋ｙ²＝１６
ｘ²＋ｚ²＝４＋ｚｘ
ｙ²＋ｚ²＝４＋√３ｙｚ　の時の
ｘ²＋ｙ²＋ｚ²の値を求めなさい。

ソポト（ナナチャート）２５６０年二次試験
私が苦手なのが上記の様な等式の問題。
新しいパターンなので掲載。


タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

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今週末からタイの大学受験共通テストが始まるので、深夜に寝て朝遅く起きていた息子へ、２２時就寝の６時起床の８時間睡眠を厳命。「しっかり寝ると夢も観るなあ」と言うので、どんな夢か訪ねると制服を着てピンク色のバスへ乗っていたという。

ピンク色のバスと聴いて私が思い付くのは・・・



ウドンタニ---コンケン---マハーサラカーム---ロイエットを結ぶ路線バス。
「え～！それじゃあイサーンの大学へ通うのかな？コンケンまでだったら良いけど、マハーサラカームだったらどうすんのよ？」
「あまりイイ夢じゃないなあ」と言うと、

息子は「何を言ってるの！ピンク色のバスって言ったら・・



これに決まっているでしょ！」と憤慨しながら言うｗ。

「そこは１年前にお前より点が低い友達が入ったけど、今年は最低点の線引きされて無理だろｗ。」
「それとも数学で線引きされた９０点を超える自信でもあるの？」と突っ込むと言い返せないバ○息子ｗ。

昨年は、理科が苦手な学生が多い理学部が嫌だと息子が別の大学を退学したが、チュラでも同様な事が有ったのか、今年から息子が志望していた学科は最低点を設定し、息子はとても達成できそうもなく涙目。１年前に入っておけば良かったなんて言うが、後からなら何とでも言える。

もう理学部は狙わず人気のある学部や学科へ入りたいそうだが、私が息子を見た感じでは、とても無理ｗ。
息子の望み通りにピンク色のバスで校内を走れば良いが、ピンク色のバスでコンケンを通過したり、毎日私が連れて大学へ行くのでは無いかと心配しているところだ。


前回の問題

ａ＝１２１１２２２１１００２２１₃

ａを９進数で表しなさい。

娘の数学塾の問題集より引用。塾の宿題を娘から質問されたので、記録しておく。



メンカームの解答

先ずは ａ＝１２１１２２２１１００２２１₃　の最後の右下にある小さな「３」（赤字）だが、これは３進数を示している。
３進数で示された ａ＝１２１１２２２１１００２２１₃ を９進数へ変換する。

力技

３進数から１０進数へ変換
ａ＝１２１１２２２１１００２２１₃
＝１×３¹³＋２×３¹²＋１×３¹¹＋１×３¹⁰＋２×３⁹＋２×３⁸＋２×３⁷＋１×３⁶＋１×３⁵＋０×３⁴＋０×３³＋２×３²＋２×３¹＋１×３⁰
＝１×１５９４３２３＋２×５３１４４１＋・・・・（気力が無いので省略ｗ）・・・・＋６＋１
＝２９５１２６０

１０進数から９進数へ変換
９）２９５１２６０
９）　３２７９１７　７↑
９）　　３６４３５　２↑
９）　　　４０４８　３↑
９）　　　　４４９　７↑
９）　　　　　４９　８↑
　　　　　　　　５　４↑
　　　　　　　　→→→↑

答え　ａ＝５４８７３２７₉　時間が掛かり過ぎるし、面倒でミスも誘発するので、現実的でない解法。

３進数→９進数へ直接変換

９＝３²なので、３進数２桁で９進数１桁となるのを利用する。
（コンピューターで２進数４桁を１６進数１桁へ変換（例えば１１００→Ｃ）していたので思い出したｗ）

３進数で示されたａを下の桁から２桁ずつへ区切ると１２　１１　２２　２１　１０　０２　２１₃

１０進数　３進数　９進数
　　　１　　０１　　　１
　　　２　　０２　　　２
　　　３　　１０　　　３
　　　４　　１１　　　４
　　　５　　１２　　　５
　　　６　　２０　　　６
　　　７　　２１　　　７
　　　８　　２２　　　８

１２　１１　２２　２１　１０　０２　２１₃
　５　　４　　８　　７　　３　　２　　７₉

答え　ａ＝５４８７３２７₉



次の１問

４ｘ¹⁰¹＋３ｘ¹⁰⁰－２ｘ⁹⁹＋１をｘ³－ｘで割った余りを求めなさい。

東京電機大の過去問題　東京出版「大学への数学２０１８年３月臨時増刊 入試数学の基礎徹底」より引用
タイでも中学では教えず、高校で教える内容だが、中学生向けの各種試験へこのくらいは出題される。



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１週間ぶりの更新。m(_ _;)m
来週の土曜から大学入試共通テストの１つ ＧＡＴ・ＰＡＴ が始まるが、息子の数学や物理が理系の割にパッとしないので、パパ塾で毎日特訓中。
息子の高校は進学校だったし、人並み以上に塾へも通わせたつもりなのに、日本の底辺校卒な私から見ても、本当にどうしようもない。(T_T)
こういう間抜けはうちの息子だけだと思うが、子供任せ、学校任せ、塾任せ・・・で親がチェックを入れないと、うちの息子の様に取り返しがつかなくなるかも？

さて、本題のパワーゲームのお話。
中学生の娘は来週から学年末の定期試験であり、これで年間の評価が決まるので、学校は今までの得点を生徒へ提示したのだが、ある科目の得点だけが異常に低く書かれており、１年生の成績トップグループの生徒数人の得点は４段階評価で３未満となる評価が予想されたそうで、評価に３未満があるとバンコクの有名校へ合格出来ないらしく、一人は号泣してしまった。
またペーパーテストではそれほど良い点を取らないが先生の受けが良い生徒が４確定の得点だったという噂が流れ、そういう噂が次々と広がって生徒騒然。生徒の学力評価が先生の主観によって行われ、客観的な評価が出来てないのではという疑惑だ。

普通は生徒がこの様に騒いでも、学力評価をするのは先生の権限であって、息子が中学生の時も全員へ１や２の低い評価をする先生が居られても、生徒が騒ぐ以上に問題が大きくなる事は無かった。
しかしながら今回は娘の同級生が「ちょっとお父さんに話してみるわ」と言った事で、動き始めた。
娘の話では、そこ子のお父さんはウドンタニへ隣接した県の知事で、今回の国会議員選挙にも出馬（出馬は間違いでした）。子供から電話を受けて、その日の内に学校を訪問されたらしい。ママ友情報では、翌朝の朝礼でその先生は涙目だったとか？
朝礼が終わった後にも、成績トップグループ生徒の御父兄が学校へ行かれたそうで、「１科目だけ評価が低いのは問題ではないか？名門校の入試へ深刻な問題が出る」と対応を相談されたらしい。

今回はいくら学力評価が先生の権限であっても放置できず、先生から生徒へ説明があったそうだが、その録音がＳＮＳで共有され拡散。それを聴いて学校を訪れた御父兄があったのか、とうとう教科主任の先生が学校のＬＩＮＥグループで「担当の先生を指導しましたので、もう来られなくても大丈夫です」と釈明。
問題視された先生と友達なママ友の情報だと、追加して課題を出し、それが出来れば最高評価である４になるらしい。

先生VS生徒では、先生へ圧倒的な力（権限）があるのだが、今回は周囲への影響力が強い親が動いて問題解決。動いた親には日頃から付き合いがある先生がサポートに付いていたのも書き加えておく。

前回の問題

２次方程式ｘ²－８ｘ＋４＝０の解のうち小さいほうをαとするとき、α³の値を求めよ。

岡山理大の過去問題　東京出版大学への数学２０１８年３月臨時増刊 入試数学の基礎徹底より引用

メンカームの解答

ｘ²－８ｘ＋４＝０ の解を、二次方程式の解の公式で求める。

ｘ＝（－（－８）±√（－８）²－４・１・４）／２・１
　＝（８±√６４－１６）／２
　＝（８±√４８）／２
　＝（８±√４²・３）／２
　＝４±２√３
αは解の小さい方なので、
α＝４－２√３

ここからα³の値を求めるが、方法はいろいろある。

力技で押し切る方法

α³＝（４－２√３）³

我が家では符号が－（マイナス）の公式を娘へ覚えさせて無く、毎回下記の様に公式を導く。慣れれば暗唱しながら符号が－（マイナス）の式をサッと書ける。
（Ａ＋Ｂ）³＝Ａ³＋Ｂ³＋３ＡＢ（Ａ＋Ｂ）
（Ａ＋（－Ｂ））³＝Ａ³＋（－Ｂ）³＋３Ａ（－Ｂ）（Ａ＋（－Ｂ））
（Ａ－Ｂ）³＝Ａ³－Ｂ³－３ＡＢ（Ａ－Ｂ）なので、

α³＝（４－２√３）³
＝６４－２４√３－３・４・２√３（４－２√３）
＝６４－２４√３－９６√３＋１４４
＝２０８－１２０√３

答え　α³＝２０８－１２０√３

式の割り算を利用して次数下げを行う方法

αは、ｘ²－８ｘ＋４＝０ の解なので、

α²－８α＋４＝０

α³ を α²－８α＋４　で割ると

　　　　　　　　α　＋８
α²－８α＋４　）α³　　　　　　　　　　
　　　　　　　　α³－８α²＋４
　　　　　　　　　　８α²－４　　　　　
　　　　　　　　　　８α²－６４α＋３２
　　　　　　　　　　　　　６０α－３２　

α³＝（α²－８α＋４）（α　＋８）＋６０α－３２　となり、

（４－２√３）³＝０＋６０（４－２√３）－３２　　　　∵　α²－８α＋４＝０
　　　　　　　　＝２０８－１２０√３

答え　α³＝２０８－１２０√３

方程式を利用して次数下げを行う方法
方程式を利用した次数下げは、文栄堂の参考書「塾技数学１００」Ｐ９８（塾技４６）へ解説がある。

２次方程式ｘ²－８ｘ＋４＝０の解のうち小さいほうがαなので、
α²－８α＋４＝０
α²＝８α－４

α²を求める別の方法
α＝４－２√３
α－４＝－２√３
両辺を二乗して
（α－４）²＝（－２√３）²
α²－８α＋１６＝１２
α²＝８α－４

α³＝α・α²
　＝α（８α－４）
　＝８α²－４α
　＝８（８α－４）－４α
　＝６４α－３２－４α
　＝６０α－３２
　＝６０（４－２√３）－３２
　＝２４０－１２０√３－３２
　＝２０８－１２０√３

答え　α³＝２０８－１２０√３

値を求める式がα³と簡単なので、力技で直接値を求めるのが簡単そうに見えるが、
α³－４α²＋３α－４等と複雑になれば次数を下げるメリットが理解できるだろう。


次の１問

ａ＝１２１１２２２１１００２２１₃

ａを９進数で表しなさい。

娘の数学塾の問題集より引用。塾の宿題を娘から質問されたので、記録しておく。


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先日はサマーコム・カニッタサー試験の会場で子供を待つ親達が集まって受験談義をした記事を書いたが、９日のシリントーン試験の待ち時間に話が進み、１１日の夜には生徒を集めて新しい数学塾を作る話がＵＰ校で成績が１番の生徒のお父さんから入った。

１２日の朝にそのお父さんへ電話を入れて先生の経歴を尋ねると、ウドンタニ出身でチュラの理学部数学科で博士課程まで修了され、マヒドン高で国際数学オリンピック対策を主に教えられた後に３０歳代半ばに退職されて、バンコクで塾をやっておられるそうだ。
既にＵＰ校の２年生と３年生がそれぞれグループを作って習っており、３年生は今年のマヒドン高の一次試験で１２人通って実績もあるので、１年生も集まって塾を作りたいという話だ。

先生は時給千５百バーツだそうで、１０人集めて週１の２時間で３百バーツ、年１万５千バーツくらいで運営したいと言われるが、先生側も教える前にテストをして生徒を選びたいと言われたそうで、対応できそうな生徒はＵＰ校へ８人くらいしか居ないので一緒にやろうというお誘いだった。
少し考えさせて欲しいとお願いし電話を切ったが、昼過ぎには再び電話が入り、９人集まって、残り一人だからと言われるので慌てて了承。夕方には時間貸しの教室もキープ出来て準備完了。新年早々に開講だ。

ウドンタニへは中学生向けに教科書より高いレベルの数学を教える塾がほとんど無く、有っても一方通行なビデオの塾だったりで、経済的に余裕がある生徒は毎週末に飛行機でバンコクへ通っていると聞いていたが、この様に有志で集まってそっと塾を作ったりもしているのだ。

当然内緒にしているし、定員も絞っているので、他の生徒が希望しても入塾はほぼ不可。ウドンタニへ同様の塾は無いので、バンコクまで出向くか、ウドンタニで教えてくれる先生を別に探さない限りは無理。経済的に余裕が有れば個人で優秀な家庭教師を雇えるだろうが、もしグループを作って一緒に学ぼうと思えば、受験勉強と学校での勉強は別と理解している御父兄は限られており、中１で中３教科書レベルの学習が済んでいる生徒も僅か。同じレベルの塾をもう一つ作るのは、生徒を集めるのから難しいだろう。こうして差が作られる。

娘の数学は私が教えようと日本の参考書を何冊も買い集めて準備を進めていたが、タイは↓へ書いた問題の様にややこしい解き方の計算問題が多くて本当に面倒。この前にオンデマンド（塾）がやったマヒドン高模試でも、私が手も足も出ない設問が多かったので、どうしようと思っていたが、良さそうな塾が見つかって正直ホッとした。

先ずは入塾試験の通過を目指さなければならないが、娘は年末に実施される中間テストの対策ばかりを毎日やっている。公立校なので年末年始休暇は短いが、短期集中で頑張るしか無いだろう。元旦は私も酒抜きで娘と頑張ることになりそうだ。


さて「今週の１問」。

先週の問題

ｘ、ｙ、ｚは正の有理数（分数で表せる数）であり、
（４ｘ²）／（１＋４ｘ²）＝ｙ
（４ｙ²）／（１＋４ｙ²）＝ｚ
（４ｚ²）／（１＋４ｚ²）＝ｘ
の時の２ｘ＋４Y＋６ｚを求めなさい。

２０１８年にウドンタニラジャバット大学の科学展で開催された数学競技会の中学生用の試験から引用。


ななおやじさんの解答

問題の条件の対称性からx＝y＝zだと思うので、
　(4x^2) /(1+4x^2)=xとおくと、
4x^2=x+4x^3
4x^3-4x^2+x=0
x(4x^2-4x+1)=0
x(2x-1)^2=0
x=0,1/2
条件より、x=y=z=1/2ってのはダメでしょうか。

ほんとは最初にx=y=zをきちんと証明しないといけないのでしょうが、パッと見そんな感じですよね。答えだけでいいならこの解法もありかとｗ

メンカームのコメント
対称性という発想が全く無かった私。これは簡単で私好み！活用できそう！！
教えてくださったななおやじさんへ感謝！　m(_ _)m


メンカームの解答


普通はｘ，ｙ、ｚをそのまま式へ代入して
２ｘ＋４Y＋６ｚ
＝２（（４ｚ²）／（１＋４ｚ²））＋４（（４ｘ²）／（１＋４ｘ²））＋６（（４ｙ²）／（１＋４ｙ²））
とやって解こうとするのでは？
私もその一人だが、実は２週間くらい頑張っても解けなかったｗ．
悔しくて堪らないので、恥を忍んで大学へお邪魔し、数学競技会を担当された先生にお願いして解法を教えて頂いた。

（４ｘ²）／（１＋４ｘ²）＝ｙより
（１＋４ｘ²）／（４ｘ²）＝１＋（１／（４ｘ²））＝１／ｙ

（４ｙ²）／（１＋４ｙ²）＝ｚより
（１＋４ｙ²）／（４ｙ²）＝１＋（１／（４ｙ²））＝１／ｚ

（４ｚ²）／（１＋４ｚ²）＝ｘ
（１＋４ｚ²）／（４ｚ²）＝１＋（１／（４ｚ²））＝１／ｘ

上の３つの式を足して
１＋（１／（４ｘ²））＋１＋（１／（４ｙ²））＋１＋（１／（４ｚ²））＝（１／ｙ）＋（１／ｚ）＋（１／ｘ）

（（１／（４ｘ²））－（１／ｘ）＋１）＋（（１／（４ｙ²））－（１／ｙ）＋１）＋（（１／（４ｚ²））－（１／ｚ）＋１）＝０

（（１／（２ｘ））－１）²＋（（１／（２ｙ））－１）²＋（（１／（２ｚ））－１）²＝０

（（１／（２ｘ））－１）²≧０、（（１／（２ｙ））－１）²≧０、（（１／（２ｚ））－１）²≧０　であり、　（二乗すると０未満にならない）

（（１／（２ｘ））－１）²＋（（１／（２ｙ））－１）²＋（（１／（２ｚ））－１）²＝０　になるのは

（（１／（２ｘ））－１）²＝０、（（１／（２ｙ））－１）²＝０、（（１／（２ｚ））－１）²＝０　の時で、

ｘ＝ｙ＝ｚ＝１／２　である。

求めたｘ，ｙ，ｚの値を２ｘ＋４Y＋６ｚへ代入して

２ｘ＋４Y＋６ｚ＝２（１／２）＋４（１／２）＋６（１／２）＝１＋２＋３＝６

答え　２ｘ＋４Y＋６ｚ＝６

頭が良い人は出来るかも知れないが、私は経験して覚えておかないと解けないと思う。
しかしながらいくら経験を積んでもパターンは様々。毎回３つを足して解ければ苦労はしないｗ。
正直に感想を言えば「そんなの有りなの？解ける訳が無いでしょ？」という感じ。（恥）
こういう問題をどうやって娘へ解かせるか。数学センスの無い私は真剣に悩んでいるところだ。


今週の１問

Ｈｉ－ＥｄのＩＪＳＯ問題集より引用
ｘ，ｙ，ｚは正の実数。
ｘｙｚ＝１
（１／ｘ）＋ｙ＝４
（１／ｚ）＋ｘ＝９
（１／ｙ）＋ｚを求めなさい。



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「幸せな二人を見て、揉める二人。」と先日記事にした姪の話の続編。

結婚資金が無くて「お金が無いから、宝くじでも当たったらね」と言った姪の事実婚の夫だが、彼の家は自動車や農業機械の整備業をやっており、従業員も居る。お父さんは自動車整備の仕事が終わって暗くなってからでもトラクターで畑を耕しに行く様な人で、お母さんも働き者。自家用車や農業機械のローンはあるが、自動車整備はそこそこ繁盛している。
お母さんの姉であり、妻の農園を手伝うノイおばさんの話だと、「妹がお金を借りに時々来る」そうで、「主人は酒も飲まないし、仕事もちゃんとやっているのに、何でお金が足りないのだろうね？」という話は耳に入っていたのだが、先日姪からその原因を教えられたので記事にしよう。

姪は事実婚の夫と同居を始めてからずっとバンコクで暮らしていたのだが、義母さんからウドンへ帰って欲しいと頼まれ、数週間前から実家で義両親と同居。
それまでも何度か里帰りして実家で数泊したりだったのだが、同居を始めてようやく気が付いたのが『義父さんのヤーバー（覚醒剤）中毒』。実の息子へ向かって「俺を殺そうとしているだろう！」と怒鳴ったりするそうで、夜中も寝られなくて集落を徘徊し末期症状の様子。義母さんの手に負えないので、息子へ同居を求めたのかも？

ヤーバーと呼ぶ覚醒剤は１錠が３百バーツ程度らしいが、毎日１錠でも月約１万バーツ。今では１日１錠では済まなくなっているらしく、いくら自営業とは言え、時には薬を買うお金が足りなくて借金をしているのかも？結婚どころの騒ぎでは無いのだ。

姪は怖くて堪らないそうで、勤務先のセントラルプラザにも近いムアン（街の中心街）へアパートを借りたいそうだが、お母さんが心配と夫は否定的。私は一人でも行くぞと姪は言ってるらしいが、これがきっかけで関係終了かも？

悩む姪の背中を私が押して一緒にしたので、ちょっと責任を感じているところだ。


先週の問題の解答



ＡＥ／ＥＣ＝ＢＤ／ＤＡ＝１／２
ＣＤ//ＥＦ

□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ　を求めなさい。

先ずは問題集の模範解答。



読んでも理解し難いので、私が解説。



ＤＡ＝（３／２）ＤＦ　　　ＤＡ／ＤＦ＝３／２
ＢＤ＝（１／２）ＤＡ＝（１／２）（３／２）ＤＦ＝（３／４）ＤＦ　　　ＢＤ／ＤＦ＝３／４
ＢＦ＝ＢＤ＋ＤＦ＝（３／４）ＤＦ＋ＤＦ＝（（３／４）＋１）ＤＦ＝（７／４）ＤＦ　　　ＢＦ／ＤＦ＝７／４
ＢＤ／ＢＦ＝（（３／４）ＤＦ）／（（７／４）ＤＦ）＝３／７



∠ＤＢＧ＝∠ＦＢＥ　（同一）
∠ＢＤＧ＝∠ＢＦＥ　ＤＧ//ＦＥ
∴⊿ＢＤＧ∽⊿ＢＦＥ

⊿ＢＤＧと⊿ＢＦＥの辺の長さの比は
⊿ＢＤＧ／⊿ＢＦＥ＝ＢＤ／ＢＦ＝３／７

⊿ＢＤＧと⊿ＢＦＥの面積比は辺の長さの比の二乗なので、
２つの三角形の面積比は
⊿ＢＤＧ／⊿ＢＦＥ＝（３／７）²＝９／４９

□ＥＦＤＧと⊿ＢＦＥの面積比は
□ＥＦＤＧ／⊿ＢＦＥ＝（⊿ＢＦＥ－⊿ＢＤＧ）／⊿ＢＦＥ＝（４９－９）／４９＝４０／４９

高さが等しい⊿ＢＦＥと⊿ＡＢＥの面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＢＦＥ／⊿ＡＢＥ＝ＢＦ／ＡＢ＝（ＢＦ／ＢＤ）（ＢＤ／ＡＢ）＝（７／３）（１／３）＝７／９

高さが等しい⊿ＡＢＥと⊿ＡＢＣの面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＡＢＥ／⊿ＡＢＣ＝ＡＥ／ＡＣ＝１／３

□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ＝（□ＥＦＤＧ／⊿ＢＦＥ）（⊿ＢＦＥ／⊿ＡＢＥ）（⊿ＡＢＥ／⊿ＡＢＣ）
　　　　　　　　　　＝（４０／４９）（７／９）（１／３）
　　　　　　　　　　＝４０／１８９

答え　□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ＝４０／１８９


メンカームの解答



⊿ＡＢＥ、⊿ＡＦＥ、⊿ＢＤＧの面積を求め、□ＥＦＤＧ＝⊿ＡＢＥ－⊿ＡＦＥ－⊿ＢＤＧ　で求める。

⊿ＡＢＥの面積
⊿ＡＢＣと⊿ＡＢＥは高さが等しい三角形なので、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比と等しい。
⊿ＡＢＣ：⊿ＡＢＥ＝ＡＣ：ＡＥ＝３：１
⊿ＡＢＥ＝（１／３）⊿ＡＢＣ

⊿ＡＦＥの面積
⊿ＡＢＥと⊿ＡＦＥは高さが等しい三角形なので、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比と等しい。
⊿ＡＢＥ：⊿ＡＦＥ＝ＡＢ：ＡＦ



ＣＤ//ＥＦなので、ＡＦ：ＦＤ＝ＡＥ：ＥＣ＝１：２
ＡＤ＝ＡＦ×３
ＡＤ＝ＢＤ×２
ＢＤ×２＝ＡＦ×３
ＡＦ＝（２／３）ＢＤ
ＡＢ＝３ＢＤ
ＡＢ：ＡＦ＝３ＢＤ：（２／３）ＢＤ＝９：２

⊿ＡＢＥ：⊿ＡＦＥ＝ＡＢ：ＡＦ＝９：２
⊿ＡＦＥ＝（２／９）⊿ＡＢＥ＝（２／９）（１／３）⊿ＡＢＣ＝（２／２７）⊿ＡＢＣ

⊿ＢＤＧの面積 その１



⊿ＡＢＣと⊿ＤＢＣは高さが等しい三角形なので、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比と等しい。
⊿ＡＢＣ：⊿ＤＢＣ＝ＡＢ：ＤＢ＝３：１
⊿ＤＢＣ＝（１／３）⊿ＡＢＣ

メネラウスの定理より、
（ＡＢ／ＢＤ）（ＤＧ／ＧＣ）（ＣＥ／ＥＡ）＝（３／１）（ＤＧ／ＧＣ）（２／１）＝１
ＤＧ／ＧＣ＝１／６
ＤＧ：ＧＣ＝１：６
∴ＤＣ：ＤＧ＝７：１

⊿ＤＢＣと⊿ＤＢＧは高さが等しい三角形なので、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比と等しい。
⊿ＤＢＣ：⊿ＤＢＧ＝ＤＣ：ＤＧ＝７：１
⊿ＤＢＧ＝（１／７）ＤＢＣ＝（１／７）（１／３）⊿ＡＢＣ＝（１／２１）⊿ＡＢＣ

⊿ＢＤＧの面積 その２
⊿ＢＤＧの面積を別の方法で求めてみる。



点Ａから交点Ｇを通る直線を引き、辺ＢＣとの交点をＨとする。

チェバの定理より、
（ＡＤ／ＤＢ）（ＢＨ／ＨＣ）（ＣＥ／ＥＡ）＝（２／１）（ＢＨ／ＨＣ）（２／１）＝１
ＢＨ／ＨＣ＝１／４
ＢＨ：ＨＣ＝１：４



⊿ＢＡＧと⊿ＡＣＧの面積比は、辺ＢＨと辺ＨＣの長さの比に等しいので、
⊿ＢＡＧ：⊿ＡＣＧ＝ＢＨ：ＨＣ＝１：４

⊿ＢＡＧと⊿ＣＢＧの面積比は、辺ＡＥと辺ＥＣの長さの比に等しいので、
⊿ＢＡＧ：⊿ＣＢＧ＝ＡＥ：ＥＣ＝１：２

⊿ＢＡＧ：⊿ＡＣＧ：⊿ＣＢＧ＝１：４：２
⊿ＡＢＣ＝⊿ＢＡＧ＋⊿ＡＣＧ＋⊿ＣＢＧ
　　　　＝⊿ＢＡＧ＋４×⊿ＢＡＧ＋２×⊿ＢＡＧ
　　　　＝７×⊿ＢＡＧ
⊿ＢＡＧ＝（１／７）⊿ＡＢＣ

⊿ＢＡＧと⊿ＢＤＧは高さが等しい三角形で、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので
⊿ＢＡＧ：⊿ＢＤＧ＝ＡＢ：ＤＢ＝３：１
⊿ＢＤＧ＝（１／３）⊿ＢＡＧ＝（１／３）（１／７）⊿ＡＢＣ＝（１／２１）⊿ＡＢＣ

□ＥＦＤＧの面積
　　　
□ＥＦＤＧ＝⊿ＡＢＥ－⊿ＡＦＥ－⊿ＢＤＧ
　　　　　＝（（１／３）－（２／２７）－（１／２１））⊿ＡＢＣ
　　　　　＝（（６３－１４－９）／１８９）⊿ＡＢＣ
　　　　　＝（４０／１８９）⊿ＡＢＣ

□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ＝４０／１８９

答え　□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ＝４０／１８９


それでは今週の１問ｗ

ｘ、ｙ、ｚは正の有理数（分数で表せる数）であり、
（４ｘ²）／（１＋４ｘ²）＝ｙ
（４ｙ²）／（１＋４ｙ²）＝ｚ
（４ｚ²）／（１＋４ｚ²）＝ｘ
の時の２ｘ＋４Y＋６ｚを求めなさい。


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先ずはお知らせから。
１１月３０日（金）から１２月９日（日）までセントラルプラザウドンタニの４階ホールでウドンタニ ブックフェスティバルが開催される。



毎年娘が楽しみにしており、今年も連れて行く予定。娘はキャラクター商品、私は子供向けの英語の古本狙い。

さて、本文。
２５日の日曜はサマーコム・カニッタサー試験。私が住むウドンタニから一番近い会場はコンケンで、前泊して受験に備える生徒も居るが、我が家は早朝５時起きで６時に出発してコンケンへ向かった。
娘は車へ枕と掛け布団を持ち込んで後部座席で熟睡していたので、制限速度より少し控えめの安全運転。７時過ぎにコンケン手前のガソリンスタンドへ入って朝食。ちょうど８時頃に試験会場へ到着。
妻と娘を降ろして、私は公園の駐車場で日陰を確保し、ＹＯＵＴＵＢＥで動画を見ながらウトウトｗ。娘はすぐに試験会場の教室へ向かったそうで、妻は顔見知りのご父兄を見つけて受験談義が定番。
今年は一緒に座ったのがＵＰ校の１年生で成績トップな生徒のご両親。そして妻の隣に来て座られたのが、ＵＰ校３年生のトップグループの一人のお父さん。このお父さんは既に子供二人をタイの最高峰マヒドン高校へ入れられており、今年は３人目をチャレンジ中。そして進学塾を経営されており、ウドンタニでマヒドン高校を狙える塾の最右翼とも言われている。
この大変濃いご父兄達の間に座った妻は耳を大きく広げ、一言も聞き漏らさない様に情報収集。数学の試験だったので、話題は数学の学習法が中心だったそうだが、皆さんが悩んでおられたのが、パラボラ（放物線）の学習。タイの中学生向けの数学問題集を見ると判るが、タイの中学生は簡単なパラボラしか学校で習わず、塾や参考書でも深く詳しく解説するのは少ない。娘へ学ばせようと買った日本の中学数学の参考書を見た息子が、こんな難しいパラボラの問題は大学受験にも出ないと言ったくらいだ。
しかしながらマヒドン高校の受験には出るそうで、マヒドン対策を謳った問題集にもあるが、そういう問題を上手く教える先生がウドンタニでは見つからないので、どうするかって話が中心だったそうだ。
日本の問題をやる試験（数検？）へ行かせたが、さっぱりだったと塾もやられるお父さんが仰ったそうで、自分の子供はバンコクの塾へ行かしておられるが、それでも足りないので、お金を出し合ってパラボラが得意な先生をウドンタニへ呼ぶ話まで出たそうだ。
昨年も有名高校の入試対策に何人かが集まってバンコクの先生を呼んで教えて貰った話が耳に入っており、しっかりアンテナを上げておかないと気が付かないかも？そうやって差が広がるので、気を付けたいと思った。

もう一つお知らせ。
受験談義の話題にもなった「数検」だが、来年１月６日にタイでも試験があり、１２月２５日まで申し込みを受付中。タイ国内で１０ヶ所以上の会場が有り、イサーンでもコンケン・ウボン・ナコンパノムで受験可能。



タイの数検のページは上の画像からリンクしているので、クリック↑。



それでは、先週末に出題した数学の問題の解答をやろう。

問　四角形ＬＭＮＡの面積を求めなさい。



先ずは問題集の模範解答。



タイ語が読めない（数学も苦手ｗ）ので、先週末に出題した時点でさっぱり意味が分からなかったのだが、１つ１つ数式を追ってようやく理解した。



⊿ＢＭＣ＝１０ｃ㎡（タイ語の原文はタランヌアイ＝平方ヌアイ（単位）。ややこしいので以下ｃ㎡で行く）
辺ＭＣの真ん中を点Ｏとし、　ＢＯへ線を引く。
⊿ＢＭＯ＝⊿ＢＯＣ＝５ｃ㎡
⊿ＢＬＭ＝５ｃ㎡なので
ＬＭ＝ＭＯ＝ＯＣ

⊿ＭＮＣ＝８ｃ㎡
ＭＯ＝ＯＣであり、ＯＮへ線を引く。
⊿ＭＮＯ＝⊿ＯＮＣ＝４ｃ㎡
⊿ＭＬＮ＝４

何度も書くが私はタイ語が読めないので、上は数式から想像して書いてある。
　
この部分をメンカーム式に書くと・・・



⊿ＢＬＭと⊿ＢＭＣは高さが等しい三角形で、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＢＬＭ：⊿ＢＭＣ＝５：１０＝ＬＭ：ＭＣ＝２：１

⊿ＭＬＮと⊿ＮＭＣも高さが等しい三角形で、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
ＬＭ：ＭＣ＝２：１＝⊿ＭＬＮ：⊿ＮＭＣ＝４：８
⊿ＭＬＮ＝４ｃ㎡

⊿ＬＡＮ＝ｘｃ㎡　とすると



⊿ＬＡＮ／⊿ＬＮＣ＝ｘ／（４＋８）＝ｘ／１２＝ＡＮ／ＮＣ　---①



⊿ＡＢＬ／⊿ＮＢＣ＝（５＋４＋ｘ）／（１０＋８）＝（９＋ｘ）／１８＝ＡＮ／ＮＣ　---②

①＝②なので
ｘ／１２＝（９＋ｘ）／１８
１８ｘ＝１２（９＋ｘ）
１８ｘ＝１０８＋１２ｘ
６ｘ＝１０８
ｘ＝１８
⊿ＬＡＮ＝１８ｃ㎡

∴　四角形ＬＭＮＡ＝⊿ＬＡＮ＋⊿ＭＬＮ＝１８＋４＝２２ｃ㎡


JIMMYさんから頂いた解答

以前、うちの数学の教授は数学を解くには、すぐアキラめることだと言ってましたね。
要するに解こう解こうと迷路に入り込んでしまうからダメで、諦めて入口に戻ったほうが早いという事でしょう。

ＡＭの間に線を引いて、三角形ＡＭＮの面積をｘ、三角形ＡＬＭの面積をｙとします。四角形ＬＭＮＡの面積は（ｘ+ｙ）です。



この三角形ＡＢＣをまず左に回します。
三角形ＡＬＣの面積は（8+ｘ+ｙ）、三角形ＢＬＣの面積は（5+10）です。
三角形の面積は底辺×高さ÷2ですが、三角形ＡＬＣと三角形ＢＬＣは高さが同じで底辺だけが違います。（8+ｘ+ｙ）：（5+10）＝ＡＬ：ＢＬです。
次に小さい方の三角形ＡＬＭの面積ｙ：三角形ＢＬＭの面積5も高さが同じなのでｙ：5＝ＡＬ：ＢＬ。つまり（8+ｘ+ｙ）：（5+10）＝ｙ：5です。

次に三角形ＡＢＣをまず右に回します。
三角形ＡＮＢの面積は（5+ｘ+ｙ）、三角形ＣＮＢの面積は（8+10）です。
（5+ｘ+ｙ）：（8+10）＝ＡＮ：ＮＣ
三角形ＡＭＮの面積は（ｘ）、三角形ＮＭＣの面積は（8）です。
ｘ：8＝ＡＮ：ＮＣ＝（5+ｘ+ｙ）：（8+10）

これで連立方程式
5×（8+ｘ+ｙ）＝15ｙ　と
8×（5+ｘ+ｙ）＝18ｘ　が出来ます。
これを解くとｘ＝12、ｙ＝10、ですので
これを解くと、四角形ＬＭＮＡの面積は（ｘ+ｙ）＝22㎤です。

メンカームのコメント。
先ずは、いつも解答を下さるJIMMYさんへ感謝！
「数学を解くには、すぐアキラめることだ」
娘が解くのを黙って見ていると、１問を解くのに時には１時間も掛けて頑張ったり。
それでも解ければ良いが、多くの場合は深みに嵌って解けない・・・ｗ。
最近はキッチンタイマーを使って５分で制限しようとするが、嫌がっている様子。
解法の引き出しがまだ少ないので、解けなければ解答を見せるしかないのが現状ｗ。
娘がもう少し経験を積めば、深みに嵌まるのに気が付くだろうと期待するが・・。


最後に私、メンカームの解答



点Ａと点Ｍを直線で結び、⊿ＡＬＭ＝ｘ　⊿ＡＭＮ＝ｙ　とする。

高さが等しい２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＭＮＡ：⊿ＭＣＮ＝ＡＮ：ＮＣ
ｙ：８＝ＡＮ：ＮＣ
⊿ＢＭＡ：⊿ＢＣＭ＝ＡＮ：ＮＣ
（５＋ｘ）：１０＝ＡＮ：ＮＣ
ｙ：８＝（５＋ｘ）：１０＝ＡＮ：ＮＣ
１０ｙ＝８（５＋ｘ）　　　　　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄの時、ＡＤ＝ＢＣ
１０ｙ＝４０＋８ｘ　---①

同様に・・
⊿ＭＡＬ：⊿ＭＬＢ＝ＡＬ：ＬＢ
ｘ：５＝ＡＬ：ＬＢ
⊿ＣＡＭ：⊿ＣＭＢ＝ＡＬ：ＬＢ
（ｙ＋８）：１０＝ＡＬ：ＬＢ
ｘ：５＝（ｙ＋８）：１０＝ＡＬ：ＬＢ
１０ｘ＝５（ｙ＋８）
１０ｘ＝５ｙ＋４０
５ｙ＝１０ｘ－４０
１０ｙ＝２０ｘ－８０　---②

①＝②
４０＋８ｘ＝２０ｘ－８０
１２ｘ＝１２０
ｘ＝１０

①より
１０ｙ＝４０＋８・１０
１０ｙ＝１２０
ｙ＝１２

四角形ＬＭＮＡ＝ｘ＋ｙ＝１０＋１２＝２２

答え　２２ｃ㎡


それでは今週の１問ｗ



ＡＥ／ＥＣ＝ＢＤ／ＤＡ＝１／２
ＣＤ//ＥＦ

□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ　を求めなさい。


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先週末は某私立大医学部の入試を息子が受験。電話で「どうだった」と尋ねると、「女の子は綺麗だし・・・」なんて言い出す息子。
「てめぇ何しに大学へ行ったんだ！」ヽ(`Д´)ﾉﾌﾟﾝﾌﾟﾝ　と言うと真面目な話を始めたが、英語と数学は高校の定期試験レベルでも、生物と化学は『糞』難しかったそうだ。
息子の話では、その大学医学部専門に対策する塾があるそうで、やはりそういうところで勉強しないと難しいかも。
持ち出し厳禁な入試問題を試験の立ち会いをされる先生がスマホで撮影していたそうで、そうやって塾では入試対策をするのだろう。
火曜には合格発表があったが、当然息子の名前は無しｗ。私が見ていても、とてもそんなレベルではない。

さて、先週末の記事で出題した数学の問題の解答をしよう。

問　∠Ａの角度を求めなさい。



問題集の模範解答



２つの辺の長さと １つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという第二余弦定理を利用してｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）を求め　Ａ＝１０５°と答えているのだが、関数電卓も三角関数表も使わずに　ｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）　から　Ａ＝１０５°をどうやって求めるかと言うのが息子から私への質問だった。

三角定規の角度である３０°・４５°・６０°の三角関数の値を知っているのは教科書レベルで中学生以上なら常識だが、それ以外はどうするか？教科書レベルでも苦しい私に分かる訳も無く、別の方法で解いたのだが、taiyaiさんが三角関数の加法定理を教えて下さったので紹介しよう。

三角関数の加法定理　ｓｉｎ

ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ
ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ－ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ

ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－３０°）＝ｓｉｎ４５°・ｃｏｓ３０°－ｃｏｓ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　＝（１／２）（１／√２）＋（√３／２）（１／√２）＝（１／２√２）＋（√３／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（６０°＋４５°）＝ｓｉｎ６０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ６０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　　＝（√３／２）（１／√２）＋（１／２）（１／√２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ７５°に気が付いて調べると補角公式というそうだ。（全く覚えてないが、高さは一緒だからだなｗ）

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（１８０°－７５°）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１２０°＝ｓｉｎ（１８０°－６０°）＝ｓｉｎ６０°

ｓｉｎ１３５°＝ｓｉｎ（１８０°－４５°）＝ｓｉｎ４５°

ｓｉｎ１５０°＝ｓｉｎ（１８０°－３０°）＝ｓｉｎ３０°

三角関数の加法定理　ｃｏｓ

ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ－ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ
ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ

ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）＋（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

これも補角公式があるそうで・・

ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ（１８０°－７５°）＝－ｃｏｓ７５°

ｃｏｓ１２０°＝ｃｏｓ（１８０°－６０°）＝－ｃｏｓ６０°

ｃｏｓ１３５°＝ｃｏｓ（１８０°－４５°）＝－ｃｏｓ４５°

ｃｏｓ１５０°＝ｃｏｓ（１８０°－３０°）＝－ｃｏｓ３０°

マイナスが付くのは底辺が逆向きだからかな？ｗ

補角公式や加法定理は「ウィキペディアの三角関数」のページ、大学受験対策の三角関数については「高校数学の基本問題の三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式」のページを参考にして欲しい。

息子の数学のレベルが低い話を妻としていると、高校数学の塾へ通っている娘曰く『「１５°と７５°の２つだから三角関数の値は暗記しろ」って塾の先生が言ってたよ」だそうだ。それと補角公式で足りるってことだ。

息子へ電話して「おめぇは今まで何を勉強してんだ！全然足りねぇじゃねぇか！！！」と叱る私。親が足りないから子が足りなのだが、悔しいったらありゃしない。（大恥ｗ）


私、メンカームの別解答
上の方法で解けなくてやった別の解法。ｃｏｓＡの値に見覚えが無いのでｃｏｓＢの値から角度を調べようとした。

ｂ²＝ａ²＋ｃ²－２ａｃ・ｃｏｓＢ
（２√３）²＝（３＋√３）²＋（√６）²－２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ
２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ＝（３＋√３）²＋（√６）²－（２√３）²
２√６（３＋√３）・ｃｏｓＢ＝９＋３＋６√３＋６－１２
ｃｏｓＢ＝（６√３＋６）／（２√６（３＋√３））＝（６（１＋√３））／（２・√６・√３（１＋√３））
　　　　＝６／（２・√２・√３・√３）＝１／√２
点Ａから辺ＢＣの垂線を引き、辺ＢＣとの交点をＤとする。

ＢＤ＝ＡＢ・ｃｏｓＢ＝√６×（１／√２）＝√３
ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３
ｃｏｓＢ＝１／√２　より　∠Ｂ＝４５°
ＡＤ＝ＡＢ・ｓｉｎＢ＝ＡＢ・ｓｉｎ４５°＝√６×（１／√２）＝√３



ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝ＡＤ／ＡＢ＝√３／√６＝１／√２
∠ＢＡＤ＝４５°

ｃｏｓ∠ＣＡＤ＝ＡＤ／ＡＣ＝√３／（２√３）＝１／２
∠ＣＡＤ＝６０°

∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°



答え　∠Ａ＝１０５°


JIMMYさんから頂いた解答

大学入試という事なので、じっくり解法ではなく、高速解法でやってみます。所要時間1分。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとします。三平方の定理で
三角形ABDはBD^2+AD^2=AB^2=6、三角形ADCはCD^2+AD^2=AC^2=12
※BCは3+√3ですが、BD=√3、DC=3のようですね。

そうなるとAD=√3だから
三角形ABDは直角二等辺三角形なので∠BAD=45°
三角形ADCは正三角形を半分にした形なので∠CAD=60°
∠BAC=45+60=105°です。

※は瞬間的に閃くと解くのが速くなります。




メンカームのコメント
先ずはいつも協力して下さるJIMMYさんへ感謝！m(_ _)m
ピタゴラスの定理を利用して解いてあり、この方法なら中学生でも解ける。
私がもう少し細かく解説しよう。



ＢＤ＝ｘ、ＡＤ＝ｈ　とする。
三角形ＡＢＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＢ²＝ＢＤ²＋ＡＤ²
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²　---①

三角形ＡＣＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＣ²＝ＣＤ²＋ＡＤ²
（２√３）²＝（３＋√３－ｘ）²＋ｈ²
１２ ＝ ９＋３＋ｘ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＋ｈ²
ｘ²＋ｈ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
①よりｘ²＋ｈ²＝（√６）²なので
（√６）²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
（６＋２√３）ｘ＝６＋６√３
ｘ＝（６＋６√３）／（６＋２√３）＝（６（１＋√３））／（２√３（１＋√３））＝３／√３＝√３

①より
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²
６＝３＋ｈ²
ｈ²＝３
ｈ＝√３

ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３



三角形ＡＢＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＢＤ：ＡＢ＝√３：√３：√６＝１：１：√２　なので、
三角形ＡＢＤは、直角二等辺三角形の三角定規（４５°４５°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＢＡＤ＝４５°

三角形ＡＣＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＡＣ：ＣＤ＝√３：２√３：３＝１：２：√３　なので、
三角形ＡＣＤは、正三角形を半分にした直角三角形の三角定規（３０°６０°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＣＡＤ＝６０°



∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°

答え　∠Ａ＝１０５°

大学入試対策問題集からの設問だが、中学生が知っているピタゴラスの定理で解けた。＼(^o^)／

もう数学はエエよと否定的な声が聞こえそうだが、中学生向けのサマーコムカニッタサー問題集より今週の１問。（シリーズ化か？ｗ）
問題集の模範解答を見ても意味が分からなかった問題。私は別の方法で解いた。

問　四角形ＬＭＮＡの面積を求めなさい。（誤記修正しました。m(_ _)m）



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ＦＡＣＥＢＯＯＫのローカルニュースページ「Ｕｄｏｎｔｈａｎｉ　ｓｋｙｌｉｎｅ」で知ったのだが、２０２０年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい。
今までもウドンタニへインター校と称する学校はいくつか有っても、インター校と言いながら児童はタイ語しか話せなかったり、運営の実態が不明確だったりで、私は何となく不安を感じて見ていたのだが、ようやくある程度の規模のインター校が開校する様だ。

ウドンタニは国際結婚カップルが多い街で、娘が通ったキリスト教系の小学校ではクラスに数人は片親が外国人の児童だったが、自宅で父親の母語を話しているからか、それともタイの教育環境に慣れないのか、残念だがウドンタニでは「西洋人の子供は勉強ができない」と言われたりもする。
西洋式の充実した教育が行われば、そういう残念な評判は消えるだろう。

２０２０年にウドンタニへ開校を予定しているのは　International Community School (ICS) で、バンコク校は１９９３年に開校し、約千人の児童・生徒が在籍しているそうだ。ウドンタニキャンパスのＷＥＢページはこちら。ビデオも貼っておこう。




それでは前回の記事で出題した中学校で教えない因数分解の解答。

問１　①～⑤を因数分解しなさい。

①　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１

JIMMYさんから頂いた解答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=x^4+10x^3+35x^2+50x+25

(x^2+〇+〇)でくくってみます。最後が25なので(x^2+〇+5)が見えてきます。
あとは〇に入るｘを探せば(x^2+5x+5)になります。
x^4+10x^3+35x^2+50x+25を(x^2+5x+5)で割ったら、(x^2+5x+5)になりましたので(x^2+5x+5)^2となりました。
これ以上の分解では(x-(-5+√5)/2)^2*(x-(-5-√5)/2)^2ですが、そこまで分解しなくてもいいかと思います。
メンカームのコメント
◯＝５は、後から見ればそうだなと思うのですが、自分で解く時に状況を調べて推理していく力が私には足りません。数学のセンスを付けなければなりません。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

最初に学校で教えられた通りに解いてみよう。
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ²＋３ｘ＋２）（ｘ²＋７ｘ＋１２）＋１
＝ｘ⁴＋　７ｘ³＋１２ｘ²
　　 ＋　３ｘ³＋２１ｘ²＋３６ｘ
　　　　　　　＋　２ｘ²＋１４ｘ＋２４＋１
＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２５
ここから因数分解したいが、上記の様にJIMMYさんは可能でも、私の能力ではこれ以上進めない。（恥ｗ）

「係数を揃えて置き換える」因数分解。
（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）の展開だが掛け合わせる順番を・・
（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）と入れ替えると・・
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＋１
＝（ｘ²＋５ｘ＋４）（ｘ²＋５ｘ＋６）＋１　と、ｘ²＋５ｘまでの係数が揃った。
ｘ²＋５ｘをＡと置き換えると
与式＝（Ａ＋４）（Ａ＋６）＋１
　　＝Ａ²＋１０Ａ＋２５
　　＝（Ａ＋５）²
Ａを元のｘ²＋５ｘに戻して
与式＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²

答え （ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²


②　ｘ⁴＋４

JIMMYさんから頂いた解答

x^4+4＝0とおくと、x^4＝-4、x^2＝2iなので(x^2-2i)(x^2+2i)となりますが、複素数の因数分解でもいいのかな。
メンカームのコメント
設問の引用元にも指定は無かったので、複素数（ｉ²＝－１）を使った因数分解でも良いでしょう。
私は中学生な娘向きに、複素数を使わない因数分解をやりました。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

中学校では４乗はやらないし、例え２乗でもこのパターンの因数分解は教えないだろう。
「ａ²－ｂ²を作る」因数分解
ｘ²をＡと置き換えると
ｘ⁴＋４＝Ａ²＋４
（Ａ＋２）²＝Ａ²＋４Ａ＋４なので
Ａ²＋４＝（Ａ＋２）²－４Ａ
Ａを元のｘ²に戻して
　（Ａ＋２）²－４Ａ
＝（ｘ²＋２）²－４ｘ²
＝（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）なので
　（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
＝（ｘ²＋２＋２ｘ）（ｘ²＋２－２ｘ）
＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）

答え　ｘ⁴＋４＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）


③　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛け（クロス法）は数だけでは無く、文字係数でも出来る。
「文字係数もたすき掛けする」因数分解
　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ
＝ｘ²ｙ²－ｘ²－ｙ²－４ｘｙ＋１
＝（ｙ²－１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ²－１）
＝（ｙ－１）（ｙ＋１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ－１）（ｙ＋１）
ここで文字係数の「たすき掛け（クロス法）」←たすき掛けをご存じない時はクリック。

ｙ－１　　　－（ｙ＋１）　　　－ｙ²－２ｙ－１
　　　　✕
ｙ＋１　　　　（ｙ－１）　　　　ｙ²－２ｙ＋１　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４ｙ　　　　　　

与式＝（（ｙ－１）ｘ－（ｙ＋１））（（ｙ＋１）ｘ＋（ｙ－１））
＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）

答え　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）


④　５ｘ²－５６ｘ－１５３６

JIMMYさんから頂いた解答

1536を素数に分解すると1536＝3×2×2×2×2×2×2×2×2×2
そこでクロス法を用いて(x-a)(5x+b)=0
5X^2＝5×1*X^2
-a×b＝-1536
とおいて5a+1b＝-56
となればいいので、aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付けます。結果はa＝24,b＝64
5x^2－56x－1536＝(5x+64)(x-24)
メンカームのコメント
「aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付け」られるのが羨ましい。私や娘はまだまだ経験不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛けで解けそうだが、適当な数が見つからない。こんな時は・・
「二次方程式の解の公式を使う」因数分解
仮に　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝０　として二次方程式の解の公式を利用してｘを求める。
二次方程式の解の公式より ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の時のｘの値は、
ｘ＝（－ｂ±√ｂ²－４ａｃ）／（２ａ）なので、
ｘ＝（５６±√５６²－４・５・（－１５３６））／（２・５）
　＝（５６±√３１３６＋３０７２０）／１０
　＝（５６±√３３８５６）／１０
　＝（５６±√２⁶×２３²）／１０　１²～２５²まで要暗記。
　＝（５６±２³×２３）／１０
　＝（５６±１８４）／１０
　＝２４　，　－１２.８

ｘ＝２４は判るが、ｘ＝－１２.８へピンと来ない私は因数定理を利用した組立除法を使って求める。

２４｜　５　　－５６　　－１５３６
　　　　　　　１２０　　　１５３６
　　　　５　　　６４　　　　　　０

（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）＝０

答え　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）

ＹＯＵＴＵＢＥへ簡単な因数分解の方法が有ったので貼っておく。



５ｘ²－５６ｘ－１５３６

５　　　５１２＝６４×８　　　　　６４　　　　６４
　　　　　　　　　　　↓
１　　　　　３　　　　８×－３＝－２４　　－１２０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－５６　
これは簡単だ。


⑤　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ　（誤記修正しました。御指摘ありがとうございます。）

JIMMYさんから頂いた解答

（a+b）で割りますと、
(a+b)(a^2+2ab+ac+2bc)となるので、さらに因数分解して、
(a+b)(a+c)(a+2b)になりました。
メンカームのコメント
a+bで割れそうだなと、気が付かない私が悲しい。修行不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

複雑で、どれを係数にするか悩んだ時は
「低い次数に着目した」因数分解

先ずは次数について。多項式の次数とは、その項が何乗であるか、または最高何乗の項を持つかを示す数を言う。
ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃは、ａについて言えば最高３乗の項を持つので次数は３。ｂについては最高２乗の項を持つので次数は２。ｃは最高１乗の項なので次数は１となる。

与式を次数が３のａで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝ａ³＋（３ｂ＋ｃ）ａ²＋（２ｂ²＋３ｂｃ）ａ＋２ｂ²ｃ
残念だが、私の低い能力ではここから因数分解出来ない。

与式を次数が２のｂで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ³＋ａ²ｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ（ａ²＋ａｃ）

２ａ＋２ｃ　　　　ａ²＋ａｃ　　ａ²＋　ａｃ
　　　　　✕
１　　　　　　　　ａ　　　　 ２ａ²＋２ａｃ　　＋
　　　　　　　　　　　　　　 ３ａ²＋３ａｃ　　　　　　

与式＝（（２ａ＋２ｃ）ｂ＋ａ²＋ａｃ）（ｂ＋ａ）
　　＝（２（ａ＋ｃ）ｂ＋ａ（ａ＋ｃ））（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｃ）（２ｂ＋ａ）（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

与式を次数が１のｃで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ³ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ³＋３ａ²ｂ＋２ａｂ²
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ（ａ²＋３ａｂ＋２ｂ²）
＝（ａ＋ｃ）（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）
＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

多項式は次数が低い文字で整理し、次数が高い文字を係数とした方が、因数分解し易い場合があるのを理解出来ただろう。


問２　４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
ａ＋ｂ＋ｃ＝？

JIMMYさんから頂いた解答

a=-2,b=3,c=-1になるのでa+b+c=0になりました。
今回も教えて下さったJIMMYさんへ感謝！　m(_ _)m　<いつも有難うございます。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

　（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）
＝ａ²ｘ⁴＋ａｂｘ³＋ａｃｘ²
　　　　＋ａｂｘ³＋　ｂ²ｘ²＋ｂｃｘ
　　　　　　　　 ＋ａｃｘ²＋ｂｃｘ＋ｃ²
＝ａ²ｘ⁴＋２ａｂｘ³＋（ｂ²＋２ａｃ）ｘ²＋２ｂｃｘ＋ｃ²
４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１と係数を比べると・・
ａ²＝４、２ａｂ＝－１２、ｂ²＋２ａｃ＝１３、２ｂｃ＝－６、ｃ²＝１

ａ²＝４　より　ａ＝±２

ａ＝２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝－３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝２　と　ｂ＝－３　を代入して　ｃ＝１
ａ＝２、ｂ＝－３、ｃ＝１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

ａ＝－２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝－２　と　ｂ＝３　を代入して　ｃ＝－１
ａ＝－２、ｂ＝３、ｃ＝－１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

答え　ａ＋ｂ＋ｃ＝０

いかがだっただろうか？JIMMYさんと私の解答を見て、私が感じる大きな違いは（当然能力の違いが大きいのだけど、それは置いといてｗ）「経験」の差。JIMMYさんは、多分この辺だなと推測されて、サクサクと解かれている。娘をそのレベルまで持って行きたいが、まだまだ時間が必要。
今回紹介した因数分解は高校レベルだが、このくらいを知らないと中学生向けでもレベルが高めの問題集に手が出せない。出来なくても中学校の成績には関係無いが、ＩＪＳＯ等の試験や高校で進学校の理数なんかを狙うと影響はあるだろう。
娘と私がやっている自宅での数学の学習で、学校で教えない定理や公式の学習を終えて、今はサマーコムカニッタサー試験の対策問題集に取り組んでおり、１０月のピッタームで中２の範囲までを終わらせた。今回の記事で中１の１学期に自宅で学習して難しかった部分の紹介は終わり。

未だやるの？と言われそうだが、最後に息子の大学受験問題集から１問。

問

∠Ａの角度を求めなさい。



息子から教えてくれと頼まれて取り組んだが、中学生でも余裕で解ける問題だった。解答は１週間後に掲載。

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ステップアップを目指してもう一回大学受験をしようと頑張っている息子。同じく再受験を目指している同じ大学の学生数人で集まって毎日勉強しているが、環境の変化が脳の海馬を刺激して能力が高まる話をしてやると、最近は仲間がサイアムの塾へ行く時に同行し、近くのチュラの図書館で勉強するそうだ。自分が合格した後の生活をイメージしながら勉強すると、記憶力が高ま(った気がす)るらしい。（←扱い易いバ◯息子ｗ）

チュラブックセンターへも時々行っており、幼稚園から高校生までを対象にした学習参考書を集めた１４階へ司書の様に知識が豊富なスーパー店員さんが居られるそうで、目標とする大学や学部と理解度を話すと、レベルが合った参考書を紹介していただいたと喜んでいた。

その１４階で息子が見た不思議な光景だが、トリアムウドム高校の生徒が一人で同じ問題集を７冊買っていたそうだ。同じトリアムウドム高の生徒が７冊も買ってどうするのと尋ねると、７回繰り返して解くと答えたそうで、トリアムウドムの生徒は考える事もやる事も違うなと息子が驚いていた。（息子の大学の友だちはＢＮＫの握手券を１２枚買って喜んでいたそうだｗ。）
記憶には繰り返しが有効だそうで、完全に記憶するまで繰り返す回数に個人差は有るが６回くらい繰り返すと大体の人は記憶できるらしい。
先日、昨年の息子の受験勉強にチェックを入れると、解けない設問は解答を見て終わっただけで、解き直しもやってない。これでは解ける物も解けないだろう。昨年は親の干渉を嫌がったくせに、やるべきものは全く出来てない。既に手遅れかも知れないが、今年はそういう低レベルな勉強は許さないつもり。

さて、今日も因数分解の問題を出そう。これは私も娘も悩んだし、大学生の息子へやらせても半分は解けなかった（大恥ｗ）が、これを理解しなければ数学競技会の入賞や上位高校の受験は難しい。題して「中学校で教えない因数分解ｗ」。

問１　①～⑤を因数分解しなさい。
①　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
②　ｘ⁴＋４
③　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ
④　５ｘ²－５６ｘ－１５３６
⑤　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ　（誤記修正しました）

問２　４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
ａ＋ｂ＋ｃ＝？


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