先日の記事「（その２）タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題はこれ。」の最後に書いた問題
1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
の解答を書いてみる。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
実際はこうでしょう
19992-19982+19972-19962+19952-19942+、、、、32-22+1
奇数の2乗から偶数の2乗を引いてます。
奇数の前は+で 偶数の前は-です。
だから 最後は32-22になります。
1は1です。無視します。
まとめると
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が出てきましたよ。偶然かな？
最後の数字は3997でしたね
1+5+9+13+17+,,,,,,,,,,+3997を出せばよいですね
公差4のシグマの公式は使わなくてもよいですね。
3997が何番目かが大事です。
しかし何番目かをだすのは少し面倒。
やっぱり
これを使いましょう
An=一番目の数1+公差4×(n-1)=1+4n-4=4n-3
3997+3=4000 4000÷4＝1000
3997さんは
1000番目ですね。
最初は1、最後は3997 足したら3998
全部で1000組
もうできますね
台形の面積の公式で行けますよ。
3998を2で割ったら1999.
答えは1999000
あれ 1999？ｘ1000
こらなめてんのか？
こんなん 一秒でできる。
はじめから答えは出てるやん。
きっと手品だ。
192-182から始まれば答えは190
1992-1982から始まれば答えは19900
1999なら 1999000と問題の答え。
199992-199982からはじまれば答えは
19999ｘ10000になります。
この時だけですね、手品は。
20012-20002 から始まれば
答えは2003001です。2001000にはなりません
まあ2001ｘ1001＝2003001になってます。
手品は 19 199 1999 19999 199999の２乗から始まった時だけですね。
１からの奇数を足せばなぜ2乗数が出てくるか？
これは、正方形の色紙でも、タイルでも、並べればわかります。
正方形を作れるのは、必ず
一枚 ４枚 ９枚 １６枚 ２５枚 、、、ｎの２乗がいります。
一枚 のタイルに３を足すと４枚 これに５を足すと９枚
これに７枚足すと１６枚、
とだんだん正方形が大きくなります、
正方形の図を書いて 、だんだん増やしていけばわかります。
これも面白いです。
ここまでコメント欄から引用。
実は私は、括弧があれば括弧の中から計算しなければと思い、括弧を外せば良いのを思い付かなかった。勉強嫌いな私にはセンスが無いのがよく分かる。教えて頂いたタイヤイさんへ感謝。
タイヤイさんの解答を、小学生の娘でも分かり易いようにもう一度書いてみる。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1なので
19992-19982=2×1998+1=3996+1=3997となる。
同様に計算して
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
=3997+3993+3989+...+13+9+5+1となり、
初項1公差4最終項3997の等差数列 1 5 9 13 ..... 3989 3993 3997 の総和と等しい。
初項1公差4の等差数列の一般項Anを表す式は An=1+4×(n-1)=4n-3であり、
最終項は3997なので 4n-3=3997 4n=3997+3=4000 n=1000 最終項3997は1000番目と分かる。
等差数列Anの総和Sn=n(A1+An)/2=1000(1+3997)/2=1000×1999=1999000
＜答え＞1999000
次は私の怪答。怪しい解き方だが、一応書いておく。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
見たままで、計算の繰り返しと思ったので、
１回目の計算 22-12=4-1=3
２回目の計算 32-(22-12)=9-3=6
３回目の計算 42-(32-(22-12))=16-6=10
４回目の計算 52-(42-(32-(22-12)))=25-10=15
各回の計算で最初の数字はn+1なので、
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1999=n+1よりn=1998 1998回目の計算となる。
各回の計算の結果を並べると、3 6 10 15...の数列で 3 4 5...の階差数列を持ち、その階差数列は初項3公差1の等差数列。
階差数列の一般項KiはKi=3+1(i-1)=i+2で表される。
n≧2の時、各回の計算結果を並べた数列の一般項Anは
n-1
Σ(i+2)+3=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+2(n-1)+3=(n2+3n+2)/2 で表される。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1998回目の計算でありn=1998なので、その計算結果は
A1998=(n2+3n+2)/2=(3992004+5994+2)/2=3998000/2=1999000
＜答え＞1999000
最後の計算が面倒臭いし、スマートでもないが階差数列で解けた。
解き方はこの２つかなと思えば、タイヤイさんから面白いコメントを頂いた。
nの2乗 引く ｋの２乗
を因数分解すると
（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
もし、ｎ-ｋ＝1 の時
隣り合う２乗数の 差は1
ｎ-ｋ＝1
隣り合う２乗数の 差＝ ｎ+ｋ
１９９９の２乗引く １９９８の２乗は
1999+1998
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nなので、
19992-19982=1999+1998ということだ。
と書いて解き始めていたが、ここへタイヤイさんから突っ込みを頂いた。
２乗数の差ですから、大きい数字が基本です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
ここでｎ－ｋ＝１と入れて
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
すなわち
nの2乗 引く( n-1)の2乗＝ｎ+（ｎ-1）です
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
隣り合う２乗数、、nの2乗 引く ｋの２乗＝ｎ+ｋ
隣り合う２乗数の 差は
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
娘さん、憶えてくださいね。
応用として 隣り合わなくとも、２つ小さい数字のばあいは
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗とか
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗＝？
これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）＝
(n+ n-2)(n+ 2-n)= 2(n + n-2)
すなわち、、２乗数の 差は
差が２なら 答えは和の２倍
差が３なら和の３倍になります。
n2-k2=(n+k)(n-k)
例として数字を入れると
19992-19982=(1999+1998)(1999-1998)
n-k=1999-1998=1なので
n2-k2=n+k
19992-19982=1999+1998
n-k=2の時
n2-k2=2(n+k)
19992-19972=2×(1999+1997)
n-k=3の時
n2-k2=3(n+k)
19992-19962=3×(1999+1996)
という話だ。センスが無い私は、同じ事だと思って
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nと書いたが、
タイヤイさんのやり方は拡張性が有る。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
n-k=1の時
n2-k2=n+kなので
=1999+1998+1997+1996+1995+1994+...+7+6+5+4+3+2+1
=1999(1+1999)/2=1999×2000/2=1999×1000=1999000
お！これはすっきり！！！いいね！
娘へは３つの解き方を教えるが、どれが好みだろう？
算数の面白さを理解してくれると嬉しいのだが・・
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1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
の解答を書いてみる。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
実際はこうでしょう
19992-19982+19972-19962+19952-19942+、、、、32-22+1
奇数の2乗から偶数の2乗を引いてます。
奇数の前は+で 偶数の前は-です。
だから 最後は32-22になります。
1は1です。無視します。
まとめると
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が出てきましたよ。偶然かな？
最後の数字は3997でしたね
1+5+9+13+17+,,,,,,,,,,+3997を出せばよいですね
公差4のシグマの公式は使わなくてもよいですね。
3997が何番目かが大事です。
しかし何番目かをだすのは少し面倒。
やっぱり
これを使いましょう
An=一番目の数1+公差4×(n-1)=1+4n-4=4n-3
3997+3=4000 4000÷4＝1000
3997さんは
1000番目ですね。
最初は1、最後は3997 足したら3998
全部で1000組
もうできますね
台形の面積の公式で行けますよ。
3998を2で割ったら1999.
答えは1999000
あれ 1999？ｘ1000
こらなめてんのか？
こんなん 一秒でできる。
はじめから答えは出てるやん。
きっと手品だ。
192-182から始まれば答えは190
1992-1982から始まれば答えは19900
1999なら 1999000と問題の答え。
199992-199982からはじまれば答えは
19999ｘ10000になります。
この時だけですね、手品は。
20012-20002 から始まれば
答えは2003001です。2001000にはなりません
まあ2001ｘ1001＝2003001になってます。
手品は 19 199 1999 19999 199999の２乗から始まった時だけですね。
１からの奇数を足せばなぜ2乗数が出てくるか？
これは、正方形の色紙でも、タイルでも、並べればわかります。
正方形を作れるのは、必ず
一枚 ４枚 ９枚 １６枚 ２５枚 、、、ｎの２乗がいります。
一枚 のタイルに３を足すと４枚 これに５を足すと９枚
これに７枚足すと１６枚、
とだんだん正方形が大きくなります、
正方形の図を書いて 、だんだん増やしていけばわかります。
これも面白いです。
ここまでコメント欄から引用。
実は私は、括弧があれば括弧の中から計算しなければと思い、括弧を外せば良いのを思い付かなかった。勉強嫌いな私にはセンスが無いのがよく分かる。教えて頂いたタイヤイさんへ感謝。
タイヤイさんの解答を、小学生の娘でも分かり易いようにもう一度書いてみる。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1なので
19992-19982=2×1998+1=3996+1=3997となる。
同様に計算して
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
=3997+3993+3989+...+13+9+5+1となり、
初項1公差4最終項3997の等差数列 1 5 9 13 ..... 3989 3993 3997 の総和と等しい。
初項1公差4の等差数列の一般項Anを表す式は An=1+4×(n-1)=4n-3であり、
最終項は3997なので 4n-3=3997 4n=3997+3=4000 n=1000 最終項3997は1000番目と分かる。
等差数列Anの総和Sn=n(A1+An)/2=1000(1+3997)/2=1000×1999=1999000
＜答え＞1999000
次は私の怪答。怪しい解き方だが、一応書いておく。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
見たままで、計算の繰り返しと思ったので、
１回目の計算 22-12=4-1=3
２回目の計算 32-(22-12)=9-3=6
３回目の計算 42-(32-(22-12))=16-6=10
４回目の計算 52-(42-(32-(22-12)))=25-10=15
各回の計算で最初の数字はn+1なので、
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1999=n+1よりn=1998 1998回目の計算となる。
各回の計算の結果を並べると、3 6 10 15...の数列で 3 4 5...の階差数列を持ち、その階差数列は初項3公差1の等差数列。
階差数列の一般項KiはKi=3+1(i-1)=i+2で表される。
n≧2の時、各回の計算結果を並べた数列の一般項Anは
n-1
Σ(i+2)+3=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+2(n-1)+3=(n2+3n+2)/2 で表される。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1998回目の計算でありn=1998なので、その計算結果は
A1998=(n2+3n+2)/2=(3992004+5994+2)/2=3998000/2=1999000
＜答え＞1999000
最後の計算が面倒臭いし、スマートでもないが階差数列で解けた。
解き方はこの２つかなと思えば、タイヤイさんから面白いコメントを頂いた。
nの2乗 引く ｋの２乗
を因数分解すると
（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
もし、ｎ-ｋ＝1 の時
隣り合う２乗数の 差は1
ｎ-ｋ＝1
隣り合う２乗数の 差＝ ｎ+ｋ
１９９９の２乗引く １９９８の２乗は
1999+1998
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nなので、
19992-19982=1999+1998ということだ。
と書いて解き始めていたが、ここへタイヤイさんから突っ込みを頂いた。
２乗数の差ですから、大きい数字が基本です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
ここでｎ－ｋ＝１と入れて
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
すなわち
nの2乗 引く( n-1)の2乗＝ｎ+（ｎ-1）です
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
隣り合う２乗数、、nの2乗 引く ｋの２乗＝ｎ+ｋ
隣り合う２乗数の 差は
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
娘さん、憶えてくださいね。
応用として 隣り合わなくとも、２つ小さい数字のばあいは
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗とか
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗＝？
これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）＝
(n+ n-2)(n+ 2-n)= 2(n + n-2)
すなわち、、２乗数の 差は
差が２なら 答えは和の２倍
差が３なら和の３倍になります。
n2-k2=(n+k)(n-k)
例として数字を入れると
19992-19982=(1999+1998)(1999-1998)
n-k=1999-1998=1なので
n2-k2=n+k
19992-19982=1999+1998
n-k=2の時
n2-k2=2(n+k)
19992-19972=2×(1999+1997)
n-k=3の時
n2-k2=3(n+k)
19992-19962=3×(1999+1996)
という話だ。センスが無い私は、同じ事だと思って
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nと書いたが、
タイヤイさんのやり方は拡張性が有る。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
n-k=1の時
n2-k2=n+kなので
=1999+1998+1997+1996+1995+1994+...+7+6+5+4+3+2+1
=1999(1+1999)/2=1999×2000/2=1999×1000=1999000
お！これはすっきり！！！いいね！
娘へは３つの解き方を教えるが、どれが好みだろう？
算数の面白さを理解してくれると嬉しいのだが・・
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長い数字と長いコメント欄を読んでると目がチカチカしてきて、また子供が寝た後でないと集中できない個人事情なんかもあって、それで瞬間に眠たくなっちゃうという連鎖が続き、自信喪失してました(;´Д｀)
まとめがあると大変助かります、感謝感謝
息子のヤロウは今週末のキャンプでのぼせ上ってまして、やっぱり遊びたい盛りなんだなと、ため息が出ますね。
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
サクッと解ける子は、こいつを利用しています。
憶えているんです。
2乗数の差が出てきたら、これからは
しめしめですは。
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+n＞そうです。メンカームさん賢いですね。しかし
少し違和感が
むすさんが 将来勘違いするかも。
２乗数の差ですから、大きい数字が基本です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
ここでｎ－ｋ＝１と入れて
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
すなわち
nの2乗 引く( n-1)の2乗＝ｎ+（ｎ-1）です
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
隣り合う２乗数、、nの2乗 引く ｋの２乗＝ｎ+ｋ
隣り合う２乗数の 差は
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
娘さん、憶えてくださいね。
応用として 隣り合わなくとも、２つ小さい数字のばあいは
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗とか
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗＝？
これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）＝
(n+ n-2)(n+ 2-n)= 2(n + n-2)
すなわち、、２乗数の 差は
差が２なら 答えは和の２倍
差が３なら和の３倍になります。
1999の２乗引く １９９６の２乗+ １９９５の２乗引く
1992の２乗+。。。。とか、少しひねった問題でも
解けますよ。ただし 次の数列が公差が２とか３とかになりますね
私は昔 高校生、中学生に数学 、物理 化学
を３年ほど、教えていました。自身は異なる大学の受験を２回ほど経験していますので。
ある意味自分は大学受験のプロでした。
私は思い出しているだけですので、今でも想像力があるのとは少し違います。だから、やはり受験数学はある意味 経験なのです。公式のだしかたを理解したうえで、後は自然に暗記です。暗記するときは
小さい数字で、確認します。
だから、合格するには、受験職人になることです。
それが 私が言う、職業受験生という意味です。
タイの大学受験は、頭の良さも大事ですが、
努力で勝てる感じがします。問題が、、知識、
経験を問うている感じです。大学で習うことを、例えば
難関大学受験では
高校２年 ３年くらいから、
大学数学を勉強する必要があるかもしれませんね。
結局それも経験ですから。別に想像力がいることではありません。
メンカームさんは地頭がとても良いと思います。
その年でまだ、頭が柔らかい。
読者の皆様も読むのに苦労されているのでしょうね。
今日は娘に２つのやり方を教えましたが、
学校が屋外での行事だったのもあって
私がやるのを見せてると目がショボショボで頭がボーｗｗｗ
結局自分でやらせて、横から誘導。
３回やって、ようやく覚えてくれました。
僕ちゃんは週末がキャンプですか。楽しみでしょうね。
私も遊びに連れて行ってやりたいのですが、
子供達は土曜にプラテープ王女主催のテストです。
タイヤイさん
教えて頂いた2乗数の差や奇数の和を、昨晩に娘へ教えました。
へ～って面白がってましたよ。2乗数の差が出てきたら、上手く扱えるでしょう。
ありがとうございます。
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nの部分は記事の本文へ書き加えました。
重ねてお礼申し上げます。
昔に高校生と中学生へ数学、物理、化学を教えておられたのですか。
だから本職の先生でなくても教え方が上手いのですね。
子供の中学受験は息子で失敗してから情報を集め続け
娘の勉強へはしっかり対策を盛り込んだつもりですが、
高校受験のギフテッド対策は情報不足。
一応中学のギフテッドの生徒が行く塾を調べ、テキストも見たのですが、パッとしません。
高校受験ですが、学校によっては中３で高３レベルを要求するらしいです。
そのレベルまでどうやって先行するか悩んでます。
息子の大学入試対策はコンケン大の医学生からかなり情報を頂きましたが
今まで無駄に勉強していたのを取り戻すのは至難の業です。
何をどう勉強しなければならないか、判っていれば計画を立て着実に進めますが、
判らなければ、いくら勉強しても雲を掴むようです。
私は自分でも好奇心が強いと思いますが、基本的にアホ。
頭は死ぬまで柔らかいままかも知れません。
偶数の和
２+4+6+ ,,,+2n=２（1+2+,3,,,,, n)=2x n(n+1)÷２
＝ｎの２乗+ ｎ＝nxn +n
奇数の和は＝ 一からｎ番目までの時 ｎの２乗
偶数は奇数足す１
２+4+6+ ,,,+２ｎ＝1+1 +1+3 +1+5 ..+（1+ 2n-1）
＝1xn +奇数ｎまでの和 ｎｘｎ
2ｎまでの偶数の和は＝一からｎ番目までの偶数の和は
ｎｘｎ +ｎ
偶数の和
２+4+6+ ,,,+2n=２（1+2+,3,,,,, n)=2xn(n+1)÷２
＝ｎの２乗+ ｎ＝nxn +n
＝一からｎ番目までの 奇数（２ｎ-1）の和
足すｎ
まあ、娘さんの箸やすめですが。
1+3+5+7+..,...+.(..2n-1)
2+4+6+8+.....+2n
一から始まる奇数ｎ個 足す 一から始まる偶数ｎ個の和は 自然数1から２ｎまでの和
1+2+3+.....+2n=(1+2n)x2n÷２＝（２ｎ+１）ｎ
＝２（ｎｘｎ）+ｎ＝ ｎｘｎ+ （ ｎｘｎ +ｎ）
ｎの２乗？？ 、ｎの２乗+足すｎ ？？
２ｘ（ｎの２乗）+ｎ？？
奇数、偶数 自然数（奇数+偶数 ）の和でした。
終わり。遊びと復習。
息子さんは、出遅れてしまったのですね。
かわいそう。
頭の体操をありがとうございます。
式の意味を理解するのは大切ですね。
息子は中学でも人気の数学塾へ入れたのですが
どうも合わなかったようで、別の塾にも替えましたが
成績に繋がりませんでした。
高１の終わりになって医学生から教えられた塾が良かったようで、
やっと成績が伸びてきましたが
４年分を取り戻すのは難しいようです。
娘の中学入学後も考えてますが、
息子が合う塾は高校生のみですから
どこへ入れようかと今から悩んでます。
ビデオでバンコクの有名講師の塾がいくつもありますが、
映像を見るだけでチェックが入りませんから、難しいです。