今回も前回の続きで、ウドンタニ・ラジャバット大の数学競技会についての話題。
興味がない方は御免なさい。
問題
x115-2x7+x+3 を x4-x3+x-1 で割った余りを求めなさい。
私の途中までの解答
x4-x3+x-1=(x-1)(x+1)(x2-x+1)
4次式で割った余りは3次式なので、余りを ax3+bx2+cx+d とすると、
f(x)=x115-2x7+x+3
=(x-1)(x+1)(x2-x+1)Q(x)+ax3+bx2+cx+d
f(1) = a+b+c+d=3 ---①
f(-1)=-a+b-c+d=3 ---②
①+②
2b+2d=6 b+d=3
①へ代入して
a+c=0
②へ代入しても同様で
-a-c=-(a+c)=0
a=c=0 もしくは a=-c
まで来て行き詰まってしまったのが前回までのお話。
x115なので普通に割り算をすると大変だろうと思って「剰余の定理」を使って解こうとした。
ここで剰余の定理について再確認。
剰余の定理とは、多項式 f(x) をモニックな(最高次の係数が1である)二項一次多項式 x - a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。
多項式 f(x) を d(x) で割るとき、以下を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する:
f(x)=q(x)d(x)+r(x) deg r < deg d
これを多項式における除法の原理と言い、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数あるいは除多項式、f(x) を被除数あるいは被除多項式と呼ぶこともある。
除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x - a であるとき、次数に関する条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x) は
f(x)=q(x)(x-a)+r
と分解され、さらに x = a とおけば x - a = 0 ゆえに f(a) = r なることを知る。
同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば
f(x)=q(x)(ax+b)+r
なる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まり、ax + b = 0 なる x, つまり x = −b / a をあたえれば r = f(−b / a) を得る。
(ウィキペディアの剰余の定理より抜粋)
簡単に書くと、f(x)をx-aで割った余りは、f(x)のxへaを入れた時の値になるということ。
例えばf(x)=x115-2x7+x+3とすると、
これをx-1で割った余りは、f(x)のxへ1を入れて
f(1)=1115-2・17+1+3=1-2+1+3=3 と求められる。
剰余の定理を利用して求められるのは多項式を一次式で割った余りであり、多項式を二次以上の式で割った余りは、私が悩んでいる問題の様に複数の一次式で割った余りから求める。
一つ解いてみよう。
x115-2x7+2x2-x+7 を x3-x で割った余りを求めなさい。
解答
x3-x=x(x-1)(x+1)
3次式で割った余りは2次式なので、余りを ax2+bx+c とすると、
f(x)=x115-2x7+2x2-x+7
=x(x-1)(x+1)Q(x)+ax2+bx+c
f(0) = c=0115-2・07+2・02-0+7=7 ---①
f(1) = a+b+c=1115-2・17+2・12-1+7=7 ---②
f(-1)= a-b+c=(-1)115-2・(-1)7+2・(-1)2-(-1)+7=11 ---③
①よりc=7
②へ代入して、a+b+7=7 a+b=0 ---②’
③へ代入して、a-b+7=11 a-b=4 ---③’
②'-③'
2a=4 a=2
②'より
2+b=0 b=-2
ax2+bx+c=2x2-2x+7
答え 2x2-2x+7
今回私が悩んだ問題では、x115-2x7+x+3 を x4-x3+x-1 で割った余りを求めるが、4次式で割った余りは3次式以下となるので余りをax3+bx2+cx+dとすると、a b c dの4つを求めなければならないが、x4-x3+x-1を因数分解すると(x-1)(x+1)(x2-x+1)となり、一次式は2つしかない。
よって今回の問題は剰余の定理を利用して解けないのだろう。
読者の方から教えて頂いて面白いなと感じたのを書いておこう。
A=B・Q(x)+Rのとき、AをBで割った余り=RをBで割った余り。
今回は余りをP(x)=ax3+bx2+cx+d として、一番上の私の悩みの解法からc=-aとd=3-bを入れ、P(x)=a・x(x-1)(x+1)+b(x-1)(x+1)+3となるので、P(1)=3、P(-1)=3なので、余りは3ではというお話だったが、剰余の定理の定義からP(1)やP(-1)はP(x)をx-1やx+1で割った余りだろうと私は思う。
それでは今回のラジャバットの問題をどうやって解くかだが、私が知っている範囲で残された方法は力技w。
(x115-2x7+x+3)÷(x4-x3+x-1)にチャレンジすると・・・
商はx111+x110+x109+x105+x104+x103+x99+x98+x97+・・・(この間3つ飛ばしの繰り返し)・・・+x9+x8+x7-x3-x2-xで、肝心な余りは3。www
ずれて間違えそうなのでエクセルの表へ書き込んで計算したが、落ち着いてやれば繰り返しなので紙でも問題無さそうだし、思ったほど時間も掛からなかった。
今回の最高得点は39点満点で37点。この問題の配点が2点なので、恐らくこの問題をやらなかったのでは?2時間で35問であり、1問の配分は3分半弱。時間が掛かる設問を準備して満点を取らせない目的では無いだろうか?
この問題は時間の浪費を目的にした満点阻止の力技問題ということで解決としたい。
「違うよ。こうすれば簡単に解けるのだよ!」というコメントを楽しみにしている。w
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問題
x115-2x7+x+3 を x4-x3+x-1 で割った余りを求めなさい。
私の途中までの解答
x4-x3+x-1=(x-1)(x+1)(x2-x+1)
4次式で割った余りは3次式なので、余りを ax3+bx2+cx+d とすると、
f(x)=x115-2x7+x+3
=(x-1)(x+1)(x2-x+1)Q(x)+ax3+bx2+cx+d
f(1) = a+b+c+d=3 ---①
f(-1)=-a+b-c+d=3 ---②
①+②
2b+2d=6 b+d=3
①へ代入して
a+c=0
②へ代入しても同様で
-a-c=-(a+c)=0
a=c=0 もしくは a=-c
まで来て行き詰まってしまったのが前回までのお話。
x115なので普通に割り算をすると大変だろうと思って「剰余の定理」を使って解こうとした。
ここで剰余の定理について再確認。
剰余の定理とは、多項式 f(x) をモニックな(最高次の係数が1である)二項一次多項式 x - a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。
多項式 f(x) を d(x) で割るとき、以下を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する:
f(x)=q(x)d(x)+r(x) deg r < deg d
これを多項式における除法の原理と言い、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数あるいは除多項式、f(x) を被除数あるいは被除多項式と呼ぶこともある。
除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x - a であるとき、次数に関する条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x) は
f(x)=q(x)(x-a)+r
と分解され、さらに x = a とおけば x - a = 0 ゆえに f(a) = r なることを知る。
同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば
f(x)=q(x)(ax+b)+r
なる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まり、ax + b = 0 なる x, つまり x = −b / a をあたえれば r = f(−b / a) を得る。
(ウィキペディアの剰余の定理より抜粋)
簡単に書くと、f(x)をx-aで割った余りは、f(x)のxへaを入れた時の値になるということ。
例えばf(x)=x115-2x7+x+3とすると、
これをx-1で割った余りは、f(x)のxへ1を入れて
f(1)=1115-2・17+1+3=1-2+1+3=3 と求められる。
剰余の定理を利用して求められるのは多項式を一次式で割った余りであり、多項式を二次以上の式で割った余りは、私が悩んでいる問題の様に複数の一次式で割った余りから求める。
一つ解いてみよう。
x115-2x7+2x2-x+7 を x3-x で割った余りを求めなさい。
解答
x3-x=x(x-1)(x+1)
3次式で割った余りは2次式なので、余りを ax2+bx+c とすると、
f(x)=x115-2x7+2x2-x+7
=x(x-1)(x+1)Q(x)+ax2+bx+c
f(0) = c=0115-2・07+2・02-0+7=7 ---①
f(1) = a+b+c=1115-2・17+2・12-1+7=7 ---②
f(-1)= a-b+c=(-1)115-2・(-1)7+2・(-1)2-(-1)+7=11 ---③
①よりc=7
②へ代入して、a+b+7=7 a+b=0 ---②’
③へ代入して、a-b+7=11 a-b=4 ---③’
②'-③'
2a=4 a=2
②'より
2+b=0 b=-2
ax2+bx+c=2x2-2x+7
答え 2x2-2x+7
今回私が悩んだ問題では、x115-2x7+x+3 を x4-x3+x-1 で割った余りを求めるが、4次式で割った余りは3次式以下となるので余りをax3+bx2+cx+dとすると、a b c dの4つを求めなければならないが、x4-x3+x-1を因数分解すると(x-1)(x+1)(x2-x+1)となり、一次式は2つしかない。
よって今回の問題は剰余の定理を利用して解けないのだろう。
読者の方から教えて頂いて面白いなと感じたのを書いておこう。
A=B・Q(x)+Rのとき、AをBで割った余り=RをBで割った余り。
今回は余りをP(x)=ax3+bx2+cx+d として、一番上の私の悩みの解法からc=-aとd=3-bを入れ、P(x)=a・x(x-1)(x+1)+b(x-1)(x+1)+3となるので、P(1)=3、P(-1)=3なので、余りは3ではというお話だったが、剰余の定理の定義からP(1)やP(-1)はP(x)をx-1やx+1で割った余りだろうと私は思う。
それでは今回のラジャバットの問題をどうやって解くかだが、私が知っている範囲で残された方法は力技w。
(x115-2x7+x+3)÷(x4-x3+x-1)にチャレンジすると・・・
商はx111+x110+x109+x105+x104+x103+x99+x98+x97+・・・(この間3つ飛ばしの繰り返し)・・・+x9+x8+x7-x3-x2-xで、肝心な余りは3。www
ずれて間違えそうなのでエクセルの表へ書き込んで計算したが、落ち着いてやれば繰り返しなので紙でも問題無さそうだし、思ったほど時間も掛からなかった。
今回の最高得点は39点満点で37点。この問題の配点が2点なので、恐らくこの問題をやらなかったのでは?2時間で35問であり、1問の配分は3分半弱。時間が掛かる設問を準備して満点を取らせない目的では無いだろうか?
この問題は時間の浪費を目的にした満点阻止の力技問題ということで解決としたい。
「違うよ。こうすれば簡単に解けるのだよ!」というコメントを楽しみにしている。w
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