教えて下さいm(_ _)m

昨日１９日の午前にウドンタニ・ラジャバット大学で開催された科学展の数学競技会が終わった。
ネットで流れた解答速報を見て出題用紙へメモした解答を自己採点をすると、３９点満点で１９点だったが、大学の発表では１５点。昨年も自己採点より大学の発表が２点少なかったので、大学へ出向いて解答用紙を見せて貰うと、大学側の転記ミス。今年もやられたか？
受験者数は３７９名、平均点は１１点、最高点はＵＰ校３年生の３７点で、２位を９点離して断トツのトップ。入賞ラインは２２点で、２年生は二人入賞。もし娘が１９点ならば中２で５番以内くらいには入っているが、１５点では話にならないｗ。

昨晩から娘が解けなかった問題の解答を作り始め、今日の昼には出来る分だけ済ませたが、私がやると時間をたっぷり掛けてようやく３０点に届くぐらい。２時間の時間制限を書けると娘より得点が低いかも？

解けない問題はネットを探りながらやっているが、どうしても分からない問題がある。

問題

ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３　を　ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１　で割った余りを求めなさい。

私の途中までの解答

ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）

４次式で割った余りは３次式なので、余りを　ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ　とすると、

ｆ（ｘ）＝ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３

　　　　＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ

ｆ（１）　＝　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝３　---①
ｆ（－１）＝－ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ＝３　---②

①＋②
２ｂ＋２ｄ＝６　ｂ＋ｄ＝３

①へ代入して
ａ＋ｃ＝０

②へ代入しても同様で
－ａ－ｃ＝－（ａ＋ｃ）＝０

ａ＝ｃ＝０　もしくは　ａ＝－ｃ

ここで止まってしまった。orz



ネットで入手した解答は「３」。
４次式で割った余りは３次式として良い筈だが、どうやってａ＝ｂ＝ｃ＝０を出すのか？？？
それとも別の方法があるのか？

剰余の定理だと、例えばｆ（ｘ）を一次式ｘ－１で割った時の余りはｆ（１）の値なのだが、４次式で割った余りの３次式を導くのに別の方法はあるのだろうか？

ずっと勉強から逃げ回った結果が大人になってこのザマで恥ずかしいが、昨晩から悩みに悩んで全く解決できないので、どなたか助けて頂けると嬉しい。m(_ _)m

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