剰余の定理で悩む

今回も前回の続きで、ウドンタニ・ラジャバット大の数学競技会についての話題。
興味がない方は御免なさい。

問題

ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３　を　ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１　で割った余りを求めなさい。

私の途中までの解答

ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）

４次式で割った余りは３次式なので、余りを　ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ　とすると、

ｆ（ｘ）＝ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３

　　　　＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ

ｆ（１）　＝　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝３　---①
ｆ（－１）＝－ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ＝３　---②

①＋②
２ｂ＋２ｄ＝６　ｂ＋ｄ＝３

①へ代入して
ａ＋ｃ＝０

②へ代入しても同様で
－ａ－ｃ＝－（ａ＋ｃ）＝０

ａ＝ｃ＝０　もしくは　ａ＝－ｃ

まで来て行き詰まってしまったのが前回までのお話。

ｘ¹¹⁵なので普通に割り算をすると大変だろうと思って「剰余の定理」を使って解こうとした。
ここで剰余の定理について再確認。

剰余の定理とは、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x - a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。

多項式 f(x) を d(x) で割るとき、以下を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する：
f(x)=q(x)d(x)+r(x)　deg r ＜ deg d
これを多項式における除法の原理と言い、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数あるいは除多項式、f(x) を被除数あるいは被除多項式と呼ぶこともある。

除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x - a であるとき、次数に関する条件 deg(r) ＜ deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x) は
f(x)=q(x)(x-a)+r
と分解され、さらに x = a とおけば x - a = 0 ゆえに f(a) = r なることを知る。

同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば
f(x)=q(x)(ax+b)+r
なる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まり、ax + b = 0 なる x, つまり x = −b / a をあたえれば r = f(−b / a) を得る。
（ウィキペディアの剰余の定理より抜粋）

簡単に書くと、ｆ（ｘ）をｘ－ａで割った余りは、ｆ（ｘ）のｘへａを入れた時の値になるということ。
例えばｆ（ｘ）＝ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３とすると、
これをｘ－１で割った余りは、ｆ（ｘ）のｘへ１を入れて
ｆ（１）＝１¹¹⁵－２・１⁷＋１＋３＝１－２＋１＋３＝３　と求められる。

剰余の定理を利用して求められるのは多項式を一次式で割った余りであり、多項式を二次以上の式で割った余りは、私が悩んでいる問題の様に複数の一次式で割った余りから求める。

一つ解いてみよう。

ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋２ｘ²－ｘ＋７　を　ｘ³－ｘ　で割った余りを求めなさい。

解答

ｘ³－ｘ＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）

３次式で割った余りは２次式なので、余りを　ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ　とすると、

ｆ（ｘ）＝ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋２ｘ²－ｘ＋７
　　　　＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ

ｆ（０）　＝　　　　　ｃ＝０¹¹⁵－２・０⁷＋２・０²－０＋７＝７　---①
ｆ（１）　＝　ａ＋ｂ＋ｃ＝１¹¹⁵－２・１⁷＋２・１²－１＋７＝７　---②
ｆ（－１）＝　ａ－ｂ＋ｃ＝（－１）¹¹⁵－２・（－１）⁷＋２・（－１）²－（－１）＋７＝１１　---③

①よりｃ＝７
②へ代入して、ａ＋ｂ＋７＝７　　ａ＋ｂ＝０　---②’
③へ代入して、ａ－ｂ＋７＝１１　ａ－ｂ＝４　---③’

②'－③'
２ａ＝４　ａ＝２

②'より
２＋ｂ＝０　ｂ＝－２

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝２ｘ²－２ｘ＋７

答え　２ｘ²－２ｘ＋７

今回私が悩んだ問題では、ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３　を　ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１　で割った余りを求めるが、４次式で割った余りは３次式以下となるので余りをａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄとすると、ａ ｂ ｃ ｄの４つを求めなければならないが、ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１を因数分解すると（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）となり、一次式は２つしかない。
よって今回の問題は剰余の定理を利用して解けないのだろう。

読者の方から教えて頂いて面白いなと感じたのを書いておこう。

Ａ＝Ｂ・Ｑ（ｘ）＋Ｒのとき、ＡをＢで割った余り＝ＲをＢで割った余り。

今回は余りをＰ（ｘ）＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ　として、一番上の私の悩みの解法からｃ＝－ａとｄ＝３－ｂを入れ、Ｐ（ｘ）＝ａ・ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）＋ｂ（ｘ－１）（ｘ＋１）＋３となるので、Ｐ（１）＝３、Ｐ（－１）＝３なので、余りは３ではというお話だったが、剰余の定理の定義からＰ（１）やＰ（－１）はＰ（ｘ）をｘ－１やｘ＋１で割った余りだろうと私は思う。

それでは今回のラジャバットの問題をどうやって解くかだが、私が知っている範囲で残された方法は力技ｗ。

（ｘ¹¹⁵－２ｘ⁷＋ｘ＋３）÷（ｘ⁴－ｘ³＋ｘ－１）にチャレンジすると・・・

商はｘ¹¹¹＋ｘ¹¹⁰＋ｘ¹⁰⁹＋ｘ¹⁰⁵＋ｘ¹⁰⁴＋ｘ¹⁰³＋ｘ⁹⁹＋ｘ⁹⁸＋ｘ⁹⁷＋・・・（この間３つ飛ばしの繰り返し）・・・＋ｘ⁹＋ｘ⁸＋ｘ⁷－ｘ³－ｘ^２－ｘで、肝心な余りは３。ｗｗｗ

ずれて間違えそうなのでエクセルの表へ書き込んで計算したが、落ち着いてやれば繰り返しなので紙でも問題無さそうだし、思ったほど時間も掛からなかった。

今回の最高得点は３９点満点で３７点。この問題の配点が２点なので、恐らくこの問題をやらなかったのでは？２時間で３５問であり、１問の配分は３分半弱。時間が掛かる設問を準備して満点を取らせない目的では無いだろうか？

この問題は時間の浪費を目的にした満点阻止の力技問題ということで解決としたい。

「違うよ。こうすれば簡単に解けるのだよ！」というコメントを楽しみにしている。ｗ

タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試


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