無限について。
たとえば、自然数（０、１、２、３、４、……n）全体の数と、偶数（０、２、４、６、８、……２n）全体の数は、どちらが多いか？ 一見、偶数は自然数の半分（＝部分）じゃないかと考えがちだが、０→０、１→２、２→４、３→６、４→８……と並べる（これを、「一対一対応」という）と、どこまでいっても、すべての自然数にすべての偶数が対応していることがわかる。つまり、部分（偶数）は全体（すべての自然数）に等しい、というわけです。
ただし、この「事実」は結構昔からわかっていて、ガリレオも、「無限の不思議」としてはっきり書いている。（ガリレオは、その例として平方数、１→１、２→４、３→９、……をあげている）
そもそも無限については、実は二つの考え方があって、一つは、無限とは可能性に過ぎないとする「可能無限」の立場。これはアリストテレスが主張した事で有名で、ずっと主流だった。今でも「可能無限」の立場を取る人は少なくない。
もう一つは、無限も数えることができる、すなわち実在するとする立場で、「実無限派」という。中世の神学者ニコラス・クザーヌスが主張したことが知られているが、クザーヌスが神学者であったことでわかるように、無限＝神＝実在するという立場で、神学上はともかくも、科学学問的にはずっと傍流だった。もちろん、ガリレオも「可能無限」の立場で「部分が全体に等しい＝ナンセンス」とする立場だし、大数学者のガウスも、「無限とは、言葉のあやにすぎない」から数学者たるもの、決してこれをまともに扱ってはならないと言っていた。
ところが、２０世紀の初め頃、カントールという数学者が、この「無限数」を数学的に扱う方法を発見した。それは、数を数えるのではなく、数の「濃度」を考えようという発想で、カントールは、それをヘブライ語のアルファベットのＡにあたるアレフで表し（オウム真理教が名乗っているアレです）、自然数のアレフ（濃度）を基本濃度として、アレフ・ゼロと命名した。そして、自然数と一体一対応する数は、自然数と同じ濃度を持つと考えた。たとえば、自然数の部分である偶数（あるいは奇数、あるいは平方数）が自然数の全体に等しいのは、偶数等の「濃度」が、自然数の「濃度」と等しいという意味である。
「な～んだ、そんなことか」、と言われるかもしれない。たしかに、無限にあってはすべて、アレフ・ゼロである（「濃度」が等しい）ということなら、「な～んだ」と言ってもいいかもしれない。すでに知られていた、「部分が全体に等しい」という「無限の不思議（パラドックス）」を「濃度」で説明しただけとも考えられるからである。ところが、「よく調べると、アレフゼロより大きい濃度を持つ無限があることがわかった。それは、「実数」である。
「実数」とは、数直線上にびっしりと途切れなく詰まっているとされる「数」で、たとえば、数直線で「〇から１」までの間に詰まっている「実数」を、自然数と一体一対応させると、「実数」があまってしまうことがわかったのである。
ここで、カントールは止まることなく、さらに考えた。
まずカントールは、実数を、数直線上に隙き間なく並んでいる数という意味で、「連続体」と名づけ、その濃度を「連続体濃度」と名づけた。（連続体濃度は、その中に部分集合の集合をふくむことで、アレフよりさらに大きい濃度のアレフ、つまりアレフ１、アレフ２……とこれまた無限に大きくなっていくが、それについては割愛する）
ここで、たとえば、一個より多い最小の個数は二個、二個より多い最小の個数は三個……と無限に数えていくことができるわけで、これを「自然数は可算濃度をもつ」と呼ぶけれど、この考えを援用し、自然数における可算濃度（＝アレフ・ゼロ）よりも大きい最小の濃度は何であるかというと、それが連続体濃度（アレフ、あるいは、さらにアレフ１、アレフ２……）であろうとカントールは考えた。そして、自然数１と２の間に「中間の自然数」が存在しないように、可算濃度（アレフゼロ）と連続体濃度（アレフ、アレフ２、アレフ……）の間にも「中間の濃度」は存在しないだろうと予想した。
これを「連続体仮説」といい、カントールは簡単に証明できるだろうと考えたが、実際には超難問で、ついにできぬまま死に、後に、ゲーデルとコーエンによって、「証明できないことが証明」された。言い換えると、連続体仮説は「偽」であっても「真」であっても、どちらでも「論」はきちんと成り立つというのである。じゃあ、そんなものをわざわざ言いたてる必要もないではないかというと、そうではない。なぜなら、それが存在しないと「論」が成り立たないからである……。
と、まあ、これまで無限について読みかじったことをまとめてみました。いかがでしょう。うさぴょんさん。
ともかく、無限においては「部分が全体に等しい」ことは、１９世紀以前は「無限の不思議＝パラドックス」として知られていたけれど、その後、パラドックスなんかではなく、「事実」であることがわかったというわけです。（「事実」と書いちゃうのはちょっと語弊があるような気もするけれど）
たとえば、自然数（０、１、２、３、４、……n）全体の数と、偶数（０、２、４、６、８、……２n）全体の数は、どちらが多いか？ 一見、偶数は自然数の半分（＝部分）じゃないかと考えがちだが、０→０、１→２、２→４、３→６、４→８……と並べる（これを、「一対一対応」という）と、どこまでいっても、すべての自然数にすべての偶数が対応していることがわかる。つまり、部分（偶数）は全体（すべての自然数）に等しい、というわけです。
ただし、この「事実」は結構昔からわかっていて、ガリレオも、「無限の不思議」としてはっきり書いている。（ガリレオは、その例として平方数、１→１、２→４、３→９、……をあげている）
そもそも無限については、実は二つの考え方があって、一つは、無限とは可能性に過ぎないとする「可能無限」の立場。これはアリストテレスが主張した事で有名で、ずっと主流だった。今でも「可能無限」の立場を取る人は少なくない。
もう一つは、無限も数えることができる、すなわち実在するとする立場で、「実無限派」という。中世の神学者ニコラス・クザーヌスが主張したことが知られているが、クザーヌスが神学者であったことでわかるように、無限＝神＝実在するという立場で、神学上はともかくも、科学学問的にはずっと傍流だった。もちろん、ガリレオも「可能無限」の立場で「部分が全体に等しい＝ナンセンス」とする立場だし、大数学者のガウスも、「無限とは、言葉のあやにすぎない」から数学者たるもの、決してこれをまともに扱ってはならないと言っていた。
ところが、２０世紀の初め頃、カントールという数学者が、この「無限数」を数学的に扱う方法を発見した。それは、数を数えるのではなく、数の「濃度」を考えようという発想で、カントールは、それをヘブライ語のアルファベットのＡにあたるアレフで表し（オウム真理教が名乗っているアレです）、自然数のアレフ（濃度）を基本濃度として、アレフ・ゼロと命名した。そして、自然数と一体一対応する数は、自然数と同じ濃度を持つと考えた。たとえば、自然数の部分である偶数（あるいは奇数、あるいは平方数）が自然数の全体に等しいのは、偶数等の「濃度」が、自然数の「濃度」と等しいという意味である。
「な～んだ、そんなことか」、と言われるかもしれない。たしかに、無限にあってはすべて、アレフ・ゼロである（「濃度」が等しい）ということなら、「な～んだ」と言ってもいいかもしれない。すでに知られていた、「部分が全体に等しい」という「無限の不思議（パラドックス）」を「濃度」で説明しただけとも考えられるからである。ところが、「よく調べると、アレフゼロより大きい濃度を持つ無限があることがわかった。それは、「実数」である。
「実数」とは、数直線上にびっしりと途切れなく詰まっているとされる「数」で、たとえば、数直線で「〇から１」までの間に詰まっている「実数」を、自然数と一体一対応させると、「実数」があまってしまうことがわかったのである。
ここで、カントールは止まることなく、さらに考えた。
まずカントールは、実数を、数直線上に隙き間なく並んでいる数という意味で、「連続体」と名づけ、その濃度を「連続体濃度」と名づけた。（連続体濃度は、その中に部分集合の集合をふくむことで、アレフよりさらに大きい濃度のアレフ、つまりアレフ１、アレフ２……とこれまた無限に大きくなっていくが、それについては割愛する）
ここで、たとえば、一個より多い最小の個数は二個、二個より多い最小の個数は三個……と無限に数えていくことができるわけで、これを「自然数は可算濃度をもつ」と呼ぶけれど、この考えを援用し、自然数における可算濃度（＝アレフ・ゼロ）よりも大きい最小の濃度は何であるかというと、それが連続体濃度（アレフ、あるいは、さらにアレフ１、アレフ２……）であろうとカントールは考えた。そして、自然数１と２の間に「中間の自然数」が存在しないように、可算濃度（アレフゼロ）と連続体濃度（アレフ、アレフ２、アレフ……）の間にも「中間の濃度」は存在しないだろうと予想した。
これを「連続体仮説」といい、カントールは簡単に証明できるだろうと考えたが、実際には超難問で、ついにできぬまま死に、後に、ゲーデルとコーエンによって、「証明できないことが証明」された。言い換えると、連続体仮説は「偽」であっても「真」であっても、どちらでも「論」はきちんと成り立つというのである。じゃあ、そんなものをわざわざ言いたてる必要もないではないかというと、そうではない。なぜなら、それが存在しないと「論」が成り立たないからである……。
と、まあ、これまで無限について読みかじったことをまとめてみました。いかがでしょう。うさぴょんさん。
ともかく、無限においては「部分が全体に等しい」ことは、１９世紀以前は「無限の不思議＝パラドックス」として知られていたけれど、その後、パラドックスなんかではなく、「事実」であることがわかったというわけです。（「事実」と書いちゃうのはちょっと語弊があるような気もするけれど）
「これが宇宙だ！」から読み返しているところで、・・・途中でヴァグナーのＤＶＤに逃避！
ガリレオの望遠鏡で覗いていたら、見えない世界を見つけましたので、好奇心に導かれて参りました。
もっとも素朴な世界は最も深遠なのかもしれませんね。
敬具