「メビウスの輪」「クラインの壷」の不思議

「メビウスの輪」をご存知だと思います。１本の紙テープを、ノリでつないで輪を作ってみてください。そのとき、片方の端を半回転（180度）ひねってつなぐと、でき上がったものがメビウスの輪なのです。
　メビウスの輪の上をテープに沿って鉛筆でなぞってみると、いつの間にか裏と思っていたところも通って、またもとの場所に戻ってくるのです。そうです、この輪には「裏も表もない」のです。

　紙テープを半回転ひねらずにつないだ場合は、通常の「紙の輪」です。これはテープに沿って外側に鉛筆を走らせると元の位置に戻ってきますが、鉛筆は内側を通りません。内側をなぞった鉛筆は、外側を通りません。これは裏表がはっきりしているのです。

　通常の紙の輪を、テープに沿ってまん中から切ってみて下さい。幅が半分になった輪が2つできるだけです。
　メビウスの輪ではどうなるでしょう。さらにねじれた大きな1つの輪になるのです。

　輪をテープに沿って、3分の1の幅で切っていくとどうなるでしょうか。通常の紙の輪では、幅が3分の1の輪と、3分の2の輪の2つができます。これは容易に予想ができます。
　メビウスの輪では、大きい1つの輪と小さい1つの輪が鎖状につながってできるのです。

　メビウスの輪の3次元バージョンが「クラインの壷」です。これは4次元空間に実現するそうです。表面をずーっとたどって一周すると、いつの間にか裏面にたどり着いているという、あやし気な閉曲面ができます。

　クラインの壷は知りませんが、メビウスの輪は以前、外国の自動車のファンベルトに使われたことがある、と聞いた記憶があります。裏表なく使えるので、耐久力が大きいという理由だったと思います。今、使われているかどうか分かりません。日本車は、私が知っている限りはＶベルトでした。
　また、製品を研磨するテープにも使われていました。表裏使える利点があったからです。プリンターのインクリボンにも使われていた、とネットで読んだ記憶があります。これはリボンの幅の半分を使えば、倍の長さを使えるので、リボンの取り替える回数が2分の1ですむということでした。

　メビウスの輪もクラインの壷も、芸術分野ではいろいろ活用されるでしょう。一般社会でも、ここに書いた以外におそらくさまざまな用途があるのでしょう。これらの名前は、いずれも理論を発見し、そのものを作り出した数学者の名にちなんだものです。
　写真は「メビウスの輪」です。