xy=x+y

となるのはどんな場合だろうか。これはすぐに答えの出る代数の問題かもしれない。私がそういう関係の代数量があると知ったのはトンネル効果の計算に行き詰まった一昨日である。

昨日、トンネル効果については昔の講義ノートを読み解いて計算をし直した。それによるとトンネル効果の反射率と透過率とがこういう関係にあるということを知った。それでは一般的な代数量としてはどういう答えとなるのかがいまちょっと関心がある。

1+pと1+1/pとはかけても足しても同じ数となることがわかっている（注）。実はトンネル効果に出てくる透過率と反射率とがこの関係をみたしていた。複素数なら、1-e^{i\theta}とその複素共役な1-e^{-i\theta}もこれらの関係をみたすはずである。

さて、では一般にどんな代数量があるのだろうか。

xy=x+yをみたす数が実数であるとすれば、たとえばx=y=2などはその解ということになる。もっとも解はこんな「めのこ」でわかる解だけではない。他にどんな解があるのか調べてみたい。

（注）間違えていたので、直した。はじめは1/(1+p)と1/(1+1/p)と書いていた。1+pと1+1/pなら大丈夫のはずである。(1+p)+(1+1/p)=2+p+1/pであり、(1+p)・(1+1/p)=2+p+1/pである。

 

話題が微妙に変わるのは

すなわち、現在何を主としてやっているかによっている。昨日、トンネル効果について書いたのはやはり現在、私の先生の量子力学の講義録の編集と中というか、latex入力中であり、それもちょうど矩形障壁のところを入力中だからである。

入力するときに計算がわからずに入力だけするのは気持ちがわるいので、その計算をフォロウしている。ところが自分が以前にできていたことでも新たにやってみるとできないことを発見して落ち込んでしまった。

それで自宅に帰って昔の講義ノートを探したら、このトンネル効果の計算を見つけたという次第である。若かったせいか面倒な計算をなんとかやりおおせているから、昔の私はいまよりは馬力があったのだろう。

もっとも現在の方が計算は上手になっていると思う。それでいろいろ工夫をしているのだが、どうもわかっている結果が出そうにないので悩んでいた。どうも私は心臓が弱くて計算がうまくいかないと弱ってしまう。この心臓とは見通しのことだから私の心臓が悪いわけではない。

もっとも昨日の計算途中のところでも無理やり続けたら、結局はうまくいくのかもしれない。その辺は昨日の方針で計算を続けて最後までやってみる必要があるのかもしれない。

テレビの映像が乱れる

可能性があります。という予告のチラシが先日入っていた。これは「700MHz利用推進協会」という団体が出したチラシである。

このチラシにある説明だと携帯電話の新しい電波を開始するためにテレビの受信の電波が乱れるおそれがあるという。なぜ携帯が新しい電波を使うのかというと、近年のスマートフォンが急速に普及してきて、これらのサービスでいろいろ障害が出ているという。すなわち、つながりにくいとかデータ通信の速度が遅くなったりしているという。それであらたに700MHzの電波帯を使用しはじめるという。

どうして携帯電話の新しく使用する電波がテレビに影響をあたえるのかという説明もある。

地上デジタルテレビ放送では470MHzから710MHzまでが使用されている電波帯であるが、従来の携帯に使われていた770MHzに加えて、これ以下で710MHzよりは大きい周波数の電波を使うことにしたためらしい。

電波の周波数帯は重なってはいないが、それにしても近い周波数帯まで使うと影響が出るのはさけられないのだろう。どのようにしてテレビ映像をの乱れを回復するのかはいろいろ工事などもするらしいが、はっきりとはわかならない。

もっとも、この作業で費用を請求することは絶対ありませんと赤字で大書してあった。詐欺がいろいろ横行する可能性があるからだろう。

粒子の反射率と透過率

はポテンシャルの障壁が矩形であれば、量子力学では解ける。いわゆるトンネル効果の問題だ。その量子振幅を求めた。これは正しく求められているのに、どうしたものかその振幅の係数の比の絶対値の2乗を求めようとしたらどうも求める結果とならないということが起こった。

これは私の計算がどこか悪いのであるが、どこがわるいのか今わからない。この問題はかなり以前に自分でもきちんと解いたことがあるはずだ。その計算のメモもどこかにまとめたことを覚えている。

だが、どうしたものか計算の迷いの森に迷い込んでしまった。私にはしばしば起こることである。要するに計算がへたくそなだけだが、そういうことがしばしば起る。

その計算の過程で、ちょっと奇妙な経験をした。それは複素共役な量どうしをかけたときとたしたときとで同じとなる量があるということに気がついた。そういう量があるということはしらなかった。いま、p=1-\mathrm{e}^{ika}と、これの複素共役である。そんな量があるとは思ってもいなかった。

（２０１８．１．２３付記）　前にまとめた、矩形の障壁についてのトンネル効果のまとめのメモは見つけられていないが、昔の講義ノートを見つけた。長年、量子力学を教えているうちにこのまともに解ける例を教えることはやめて、障壁の厚さが厚いという場合を近似的に取り扱うことにしていた。それでもトンネル効果の説明には十分だったからである。

だが、これは近似なしに解ける例題の一つであることはよく知られている。

複素解析

などあまり勉強したことがなかったのだが、解析接続がらみで少し意識的に勉強しようとしている。もっともその前は無限級数の収束のことを学ぼうと思って、すこし読んだりしたので、それの延長線上という感じもないわけではない。

普通には無限級数の収束条件を与えるものとして、D'Alembertの判定条件とかCauchy-Hadamardの判定条件とかがある。それらをある意味で発見的に述べた著書がないかと探していたりしたのだが、あまり見当たらなかった。

もっとも部分的には志賀浩二さんの著書にCauchy-Hadamardの判定条件についてのそういう記述があったり、小島順さんの微積分学の書にD'Alembertの判定条件についての記述があったりするのをみつけた。後者については友人の数学者 N さんのヒントと同じような内容と思われた。

N さんがこのことを書いてくれればいいのだが、彼は他のことに今関心があって、それから手が抜けないとかいう。残念である。 

運転免許自主返上

する高齢者が増えているという。私も高齢者の部類に入るのだが、まだ返上は考えていない。

しかし、2年後には80歳を超えるのでそろそろ考えなければならないかもしれない。ただ、一律に高齢者になったら、運転免許を自主返上すべきだという論にはすぐには賛成しがたい。

というのは知的の衰えとかもまったくない高齢者も最近では多いからでもあるし、それに実際に体が不自由になって来たときに車を運転できることは生活の質の向上になることも多いのだろう。

だから、こういうことは個々の事情に合わせてきめ細かくすべきことであって、一律に「はい、80歳になったから、運転免許証を自主返上しましょうね」ということではあるまい。それでも最近テレビや新聞のニュースになる、高齢者の車の運転ミスによる交通事故はこういうことが自分にも起こる可能性を秘めたものであることを知らせてくれる。

先日も自宅の駐車場に車を駐車させようとして、生まれて初めて道路から車輪を脱輪させてしまった。それであわててJAFを呼んで、脱輪から救ってもらった。こういうことは何年も以前に妻が一度同じような脱輪事故を起こしたことがあったが、妻と私とが1度づつのイーブンとなってしまった。

これは夕方であたりがもう暗くなっていたので、いつもの加減をまちがえたということである。

束縛状態、分散関係、複素角運動量

などが物理と関係があるらしいことは知っているが、あまり詳しいことを知っているわけではない。

いずれも自分で調べたことはないし、研究のテーマともしたことがないからである。だが、今村勤さんの書『物理と関数論』に触れられているようだ。また、流体力学との関係では等角写像というのが使われているようだが、あまり流体力学には関心をもったことがないので、どういうふうに使われているのかはまったく知らない。

だが、こういうこともこれから少しづつ調べていくべきなのだろう。

解析接続についてだけ調べたいという気持ちだったが、少しづつ範囲を広げていかなければならないだろう。だが、なかなかそういうふうにははかばかしくは行かない。

小平の複素解析

小平の『複素解析』は岩波の基礎数学講座の1冊である。昨日、E 大学の付属図書館に行ったときに、書庫に入ってこの書をちらっと見た。それによると解析接続の方法としてべき級数展開によるものの他に積分表示によるもののことがかかれてあった。

図書館の書庫に入ってであるので、それほど詳しくは見なかった。それにこの書は多分自分でも持っているはずなので、自宅で探せばでてくるであろう。

もっと最近では神保道夫さんの『複素解析』というのが岩波書店から出ているらしい。この講座シリーズも私はもっていると思うから、今朝書棚を探したのだが、こちらの方はあまり読まないということでか、書庫にあるのか見つけられなかった。

二つの書ともにアマゾン・コムでは絶賛の書である。もっとも私は興味の幅が狭いので、アマゾン・コムで絶賛されていてもいいと思うかどうかはわからない。

（2018.1.22付記)　昨日は日曜で自宅にいたので、上記の小平さんの「複素解析」を書棚からとり出してみた。大体数学者の書いたものなど私が読むことができる書などないのではないかと思っていたが、それほどではなくて、苦労すれば読むことができそうだとわかった。

だが、それだと高木貞治の『解析概論』の第4章も読めるのではないのかと思ってこちらをとり出して読むこと乗り換えた。分からないところもあるが、苦労すれば読めそうだということがわかった。この第4章の終りの方は昔読んだことがあって、その本の中に大分鉛筆で書き込みをしてある。しかし、この第4章はその初めの小部分とその終わりのいくつかの節を除いて読んだことがなかった。ちょうど次の章の第5章が複素解析である。

推薦が頼りないのは

しかたがないか。アマゾン・コムで評判のいい、コメントのついた複素解析の書のいくつかを E 大学の図書館で調べてみた。どうもあまり推薦されているほどにはそのよさが感じられなかった。どうも問題意識が違うからであろうか。

いつも複素解析とか関数論の書物を見るときには、解析接続のところと分岐点の説明を見るようにしている。どちらもなかなか説明があまりピンとこない。

解析接続の方はそれでもいくらかわかるようになってきたのは事実であるが、それについて自分で説明を書こうとするにはまだなにかが足りない。もう一つ最近関心があるのは無限級数の収束についてである。これは友人の数学者 N さんが発見法的に理解をしたというので、彼にその理解したところを書いてくれないかと頼んだのだが、かれはもっと先に優先してやり遂げたい仕事があるという。

それで、自分で何とかしたいと考えて関心をもっているのであるが、なかなかこちらも進まない。どの無限級数の書物を見てもなかなか証明はされてはいるが、あまり発見法的ではない。

Cauchy-Hadamardの判定法だけは志賀浩二さんの本にその発見法的な説明があった。また、N さんからD'Alembertの判定法についてもすこしヒントをもらったし、小島順さんの微積分の本にちらっと出てくる考えが N さんの考え方と一致するらしい。まだ確かではではないが。

積分を上手にする人

としては有名な物理学者であった、ファインマンをあげねばなるまい。これは彼の自伝『御冗談でしょう、ファインマンさん』（岩波書店）に出てくる。だから、これは多分異論がないであろう。

積分が上手にできた人としてはこれももう何十年も前に読んだことがあるのだが、マリー・キュリーをあげておくべきだろう。彼女の伝記にはマリーの夫のピエールのところに誰か学生が積分のことを聞きに来たときは大抵ピエールはマリーが来るのを待ったらどうかといったと伝記にある。

ピエールも優秀な学者であったが、マリーが積分計算に秀でていたことを知っていたbibunntoらしい。このくだりは多分エヴ・キュリーの『キュリー夫人伝』で読んだと思うが、ひょっとしたらその後のキュリー夫人の伝記である『キュリー夫人の素顔』であったかもしれない。世の中にはそういう特異な才能をもった人がいるのだということを示すのであろう。

何でキュリー夫人の伝記のこんなことだけ覚えているのか不思議だが、これは私が積分計算するのが下手だという自意識の裏返しなのかもしれない。

晩年にもぶつぶつと独り言をいいながら、カレンダー紙だったかの裏の空白に数学の計算をしていたとは上の『キュリー夫人伝』で読んだことである。そのときにこのひとり言がフランス語だったのか、マリーには母語である、ポーランド語だったのかは書いてはなかったような気がするが果たしてどうだったのであろうか。

（2019.1.19付記)

微分と不定積分とは逆演算であるが、微分計算はたいていできるが、積分となるとだれでもできるとは限らないということがある。

その中でも定積分は不定積分とはちがって特別な方法で積分できることがあるのは、知られたことである。そういう定積分をするために複素解析が発明されたという人もあるほどだ。少なくとも定積分のあるものは複素解析でできるようになった。だが、どんな定積分でも積分できるということはない。

こういう定積分の仕方を概観するような数学エッセイを企画して書こうと何度かしているが、いつも挫折している。そのやり方の一つが「積分下であるパラメータでの微分による定積分の求め方」である。

これについては「微分して積分を求める」というタイトルで「数学・物理通信」の3回にわたって書いた。関心のある方は検索をしてください。

 

アクセスがぐっと減った

一昨日のアクセス数が300を超えたと喜んでいたら、昨日は元の100台に戻った。これが普通であるから、一昨日がちょっと異常だったのであろう。

今日は雨なので理髪店に行くのが難しいかと思っていたら、午前中はそれほど雨が降っていなかったので、理髪店に出かけた。私はあまりよく理髪店に行く方ではないので、理髪店泣かせであろう。

このところ解析接続についてインターネットの文献をプリントしては読んでいるが、なかなかまとめることができない。それと今月の27日には雑談会で複素数の導入の仕方について話をするつもりである。こちらの方は全く準備ができていない。

複素数の虚数単位を回転で導入する話であり、よく不思議な関係と言われることがある、恒等式e^{i\pi}+1=0は単に実軸上にある原点Oと点(1,0)とを結ぶ線分を原点のまわりに反時計方向に180度回転したことを示すのだとか、この見方がハミルトンの四元数への端緒を開いたこととかを述べたいと思っている。

 

アクセスが300を超えた

昨日のアクセス数が300を超えた。こういうことは珍しいので何か原因があるのであろう。解析接続について昨日書いたのでそれと、昨年6月に書いた解析接続のブログとがランクに出ていた。複素解析では解析接続がやはり難しいのであろうか。

リーマン面も難しい概念かも知れないが、私はリーマン面については難しいと感じたことはなかった。それよりも分岐点の概念が難しいと感じている。

私のブログのようなあまり読んでも役に立たないブログでもそれにすがっている読者がいるのなら、少しはお役に立てることもあるのだろうか。もっともアkクセス数が急に増えただけであるので、コメントがあったわけではないので、アクセスが増えた理由をきちんと実情を反映して、私が評価できているかどうかはわからない。

そういう需要があるかもしれないということで、昨日のブログに先刻、付記をつけておいた。それは解析接続の方法に触れている書籍で私の知っているものから、解析接続の方法を箇条書しておいた。昨日読んだよりも突っ込んで書いてあるので、「解析接続」に関心がある方は再度読んでみてほしい。

大抵は私のブログを前に帰って再度読む人はいないと思われるので、特に注意書きをしておきたい。

解析接続、その後

解析接続がようやくわかりかけてきた。

昨日の日曜日にインターネットで探してプリントしておいた、KENZOUというペンネームの方が書いた『「数学Tips」－解析接続ー』のコピーをほぼ読んだ。ほぼ読んだとしか言えないのは、まだ留数定理のところを読んでいないからである。もっとも留数定理のことは一応理解しているつもりだから、障碍ではなかろう。

なかなかわかりやすく書けていて理解の助けに大いになった。欲を言えば、もっと解析接続の方法について体系的に展開されていればもっとよかったのにというぐらいであろうか（2018.1.16 付記参照）。

それでも解析接続の例がかなり例題としてとりあげられていてよい。感謝を述べたいと思ったが、いわゆるSNSでしかコメントを伝達できないようだったので、感謝の念の表明をするのをあきらめた。残念である。

解析接続の例をたくさん挙げているのは、松田　哲『複素関数』（岩波書店、1996）であるから、これらを組み合わせて一度自分なりのエッセイに書いておきたいと考えている。

もっともKENZOUさんは解析接続のことを書くために多くの複素解析の復習事項を書いている。この項目にどのようなものがあるかを下にあげておこう。

１．正則関数　（１．１　極限と連続　１．２　微分係数と導関数　１．３　特異点）

２．複素積分　（２．１　コーシーの積分定理）

３．テイラー展開　（３．１　べき級数　３．２　テイラー展開（級数））

４．ローラン展開

５．留数と留数定理　（５．１　留数　５．２　留数定理）

６．解析接続　（６．１　零点　６．２　一致の定理　６．３　解析接続　）

であり、全部で 29 頁である。くだけた調子の文章であり、親しみがもてるものである。

 （2018.1.16 付記）

解析接続の方法

今村勤『物理と関数論』（岩波書店、１９８１）52-56 では

１．べき級数展開

２．積分表示

３．関数間関係　

　　（Schwartzの鏡像原理によるもの、漸化式を用いる　ー（例）ガンマ関数）

があげられている。

後藤、山本、神吉　編著『詳解　数学演習』（共立出版、１９７９）169－174 では

１．　べき級数による直接接続

２．　実関数からの解析接続

３．　積分による解析接続

４．　写像による解析接続

があげられている。上の二つの書の著書の著者たち（今村さんも後藤さんたちも）は大阪大学の開学初期の出身者である。彼らを教えた先生が「解析接続の方法」について意識的に講義をされた結果かもしれない。

松田　哲『複素関数』（岩波書店、１９９６）148－153 では

１．べき級数による

２．積分表示による

３．部分積分による

４．実軸上で与えられた関数の複素領域への拡張

５．鏡像原理による

があげられている。この最後の書の４．と５．とが関数関係による方法に入るのかと思われる。鏡像原理による解析接続の例はこれらの書にはあげられていない。

(2018.1.17付記）

上にあげたような解析接続の方法でほとんど尽きているかとは思うが、どの書物だったか忘れたが、物理学者の高橋秀俊さんが提唱した解析接続の方法があると読んだことがある。それがどういうものだったか、その内容をよく知っているわけではないので、文献を調べてみたい。これはもちろん高橋さんの本ではなかったと思う。

(2022.7.27付記)

2021.4になって金子晃『関数論講義』（サイエンス社）が発行された。この第6章「解析接続の理論と実際」の6.1節に「解析接続の方法」があり、６つの方法が説明されている。

１．べき級数による方法

２．関数等式による方法

３．対称性による解析接続法

４．Cosin（クザン）積分による方法

５．微分方程式による方法

６．積分変換を用いる方法

の６つが紹介されており、例もついている。

この金子さんの本が一番包括的な議論をしているのではないかと思う。

これ以外の方法になるのかどうかは知らないが、高橋秀俊先生（物理学者）が提唱している解析接続の方法もあるという。これについて書いた本を読んだこともあるのだが、それがどの本であったかはいまではわからない。　

土曜日にブログを

書くのを忘れた。こういうことが最近多くなった。これも年を取ったせいであろうか。わからない。

午前中に算数教育に関係した会に出たので、仕事場に来るのが午後になった。そしてそれから私の先生の量子力学の講義録の入力をするのに忙しくてブログを書くことなど忘れてしまった。

学習会で聞いたことは小学校の先生が忙しくなっているということだけではなく、あまりにも生真面目すぎる人が多くなっているということであった。ある元教師の先生によれば、2，3人の不真面目な先生がいた学校が全体としてはうまく運営されていたと回想されていた。

全員が真面目な先生ばかりだとかえってうまく学校を運営できないのだという。真面目なことがいいというのは一般的には言えることだろうが、どうも生真面目すぎる先生だけだと小学校も運営がうまくいかないものらしい。

いまや、先生方に真剣に「不真面目の勧めをしなくてはいけない」という憂慮すべき時代が来ているのは嘆かわしい。

教育はそれを天職とする人もいるのだろうが、すこし斜に構えた人の方が小学校教育等でいい役割をするらしいと聞くとちょっと複雑な気持ちになる。

いじめなどもどこの学校でもないはずはない。それだのにいじめがまったくないなどという報告がでてくると教育委員会が安心するなどと聞くと、どうかしているのではないかと思うという話もあった。

「いじめを許容する」というのではないが、なかなか根絶するなどということはできないのが実情だという。

健康なものの責任

いまのところ私は体のどこも痛いところはない。健康かと言えば、その辺はわからないとしか言えないが、そういうある意味では幸福なものとしての責任がこのごろあるような気がしている。

それは私の場合には「数学・物理通信」の発行だったり、ブログを書くことだったり、する。もちろん一人の人の考えられることには限りがあり、そのための視野が制限されているということはある。

だが、昨日も書いた通り、発見的な数学の理解を自分の理解している限りで書くということは私が自分に勝手に課している義務である。これはだれからも別に強制されたわけではないが、自分の奥底からくる要請でもある。

ベクトル解析についてなら、「数学・物理通信」に「ベクトル代数再考」で1/3か1/4くらいのところを果たしたが、残りのところがまだたくさん残っている。

立体角についてはもう私が書くことは残っていないようだが、それらをわかりやすくしておくのはまだするべきことかもしれない。対数と指数についてもそれに近いが、やはりどこかで見解をまとめておくべきであろう。すでに E 大学の学生用のe-Learningのテクストとしては書いたが、それをもっと広めることが必要であろう。

虚数単位 i の導入についてはインターネットで見る限り、どうも私の出る幕ではなさそうだ。だが、それを定着させるためにもう一押しをしておく必要がある。自然対数の底 e のことは、以前に愛数協の機関誌に書いたが、やはり「数学・物理通信」にも書いておくべきであろう。