四元数の行列表現

四元数の行列表現と言っても２行２列のマトリックスで表すのではなくて、４行４列で表すことである。昨夜たまたま見た龍孫江さんのインターネットの講義で見たのだが、それがどこから来たものか知りたいという気がした。

それで、堀源一郎『ハミルトンと四元数』（海鳴社）を引っ張り出してきてようやく先ほどその起源をつきとめたばかりである。それにしてもいろいろな行列表現があるものですね。

私自身もいくつかの四元数の行列表現を書いたかなと思います。『四元数の発見』はPauli行列くらいしか書いてないけれども、本にまだ収録していない「数学・物理通信」の記事ではいくつか調べて書いたかなと思います。もっとも４行４列のマトリックスでは書いたことがなかったのかな。あとで調べてみたいです。

龍孫江さんのインターネットの講義はたまたま見かけたのですが、彼がこの４行４列のマトリックスがどこから来たのか説明をその講義ではされていませんでした。もっともたくさんの講義をしているのだろうから、ほかの講義で種明かしをされているんだろうと思います。

私自身はその講義をすべてみているわけではないので、説明をどこかでされているのかどうかは存じません。

小学校レベルからはじめて

小学校レベルからはじめて中学高校レベルの数学を題材にした小文がおよそ１００あった。正確には９９だが、１００以上小文を書いてはいるが、どなたかの論文へのコメントとかはその中には入れていない。

武藤徹先生は晩年に平面幾何学のモーリーの定理にこだわっていくつかの論文を書かれていたから、それについてのコメントとかを私も書いたりしている。それらとは直接に関係ないが、大学を定年退職したときに、同僚が開いてくれた退職を祝う会でお話しした自分の大学の講義に関係した感想を述べたスピーチとかもある。

研究に関係したスピーチもこのときではないが、通称で環瀬戸シンポといわれている会でしたのだが、それはその会のレジュメには書いたが、どこにも発表はしていない。

ああそうだった。教育関係のスピーチと一緒に研究関係のスピーチも印刷して祝賀会に来てくださった方々には配ったのを思い出した。これは自己満足である。

他人でその研究に関したこの私の研究の回顧の文章を読んで理解できる人は私以外には私を物理の研究で指導してくださった数名の先生方を除いては理解できないだろう。それくらいマイナーなテーマである。初期の段階での共同研究者だった、H君ももう亡くなってから１０年以上になるかもしれない。

すべての道はストークスの定理に通ずる

「すべての道はストークスの定理に通ずる」。これはもちろん、すべての道はローマに通じるのパロディである。

昨日書いたスピヴァック『多変数の解析学』でも、きょう午前中に書いた『解析力学 I 』もすべてストークスの定理を学ぶためであるから、なんだかいろいろふらふらしているようだが、そうではない。

『解析力学 I 』でもストークスの定理のところに到達するには約１００ページを読まなければならない。今読んでいるところは３６ページを過ぎたところだが、１．２節までの２０数ページをスキップしている。いまは１．４節のはじめの部分を読んだところである。

ちょっとあまり計算をしないで読んでいるので、本当には読んだことにはならないかもしれない。旧知の山本義隆さんがこの１章を数学の勉強のために使ってもいいのではないかと書かれているので、それに乗って読もうとしている。

もっとも私にはなかなかこの１００ページが読み通せないかもしれない。

 

スピヴァック『多変数の解析学』

スピヴァック『多変数の解析学』という本を先日 E 大学の図書館から借りだしてきている。私にはとても読めそうな本ではないのだが、この本のテーマはストークスの定理である。

ストークスの定理と聞くと「ああ、あれね」思う方が多いと思うが、ここでは微分形式とかでいう一般化された「ストークスの定理」のことである。この本の序文でスピヴァックはつぎのようにいう。

（引用はじめ）

読者は、現代ストークスの定理が、少なくとも古典的諸定理と同じくらいは難しいと思うだろう。ところが、実はそれは、もうひとつの形のストークスの定理からごく簡単に出てくる。この定理はストークスの定理としては非常に抽象的な形のもので、第４章の主要な結果がこれである。すると、いままで避けてきた難点が、すべてこの抽象ストークスの定理に堆積していると思うのが当然である。ところが、この定理の証明は、数学者にとってはまったくつまらないもので、単なる計算にしかすぎない。これと対照的に、この「つまらない」定理をきちんと述べるのは簡単でない。実際、そのためにたくさんの面倒な定義が第４章で必要になる。（以下略）

（引用終わり）

こんなことを書いてあると、がぜんそれがどうしてなのかを知りたいと思ってしまうのが私の悪い癖である。多分私には理解できないことがこの本には書かれてあるのだろうと思うが、本文の全体をペンで数回書き写すとかして、なんとか、この「一般化されたストークスの定理」を生きている間に理解したいなどという大望をもってしまった。

もちろん、微分形式のことを知っている方々には既知の事柄であろうが。

昨日から今日にかけては

昨日から今日にかけては結構忙しかった。今日の午後先ほどまでやっていた「ただ塾」の数学の講義の準備のためである。

なんとか今日も切り抜けてきた。ほんとうにやれやれである。一応準備として問題を解くとかをしている。以前は学校で使っているテクストを持っていなかったのだが、いまはそれを数か月前に購入して持っている。

その中の問題を全部ではないが、解こうとしているのだ。時間がかかるし、テクストを読まなくてはならない。啓林館のテクストだが、結構よくできている。

なにせ１００人くらいの著者の知恵の結集したものだからだ。他に武藤先生のテクストも参考にしたりしているが、こちらは世に知られた有名な数学の先生である。

いまは図形の性質のところを主にやっているが、代数よりもおもしろいかもしれない。もっとも教材づくりは図形の入力に時間がかかるためにあまりやっていない。

中二生では平行四辺形の条件とかのところをやっている。中三生だと今日は今日はピタゴラスの定理の応用を取り扱った。背の高さが１ｍの人は、地球が球形だと仮定してどれくらい遠くまで見渡せるかとかいったテーマである。

近藤康太郎さんと会う２

近藤康太郎さんと会って話したことは実は数学のことが主ではなかった。近藤さんは東京生まれの東京育ちだし、新聞記者としてはニューヨークに３年住んでいたとか。

いわゆる田舎暮らしとは無縁の人生しか、この１０年程前くらいまでは送ったことがない方である。そういう方がなぜ急に田舎暮らしに目覚めたのかというのが、あまり都会暮らしをしたことのない私の疑問であった。

彼はいう。「田舎には言うに言われぬ魅力があるのです」。私にはその辺の理由が実感としてはわからない。水田でコメ作りをしたり、鉄砲をもって猟師になったりするというのはひょっとすると都会だけでそれまで生活してきた人には言うに言われぬ魅力なのかもしれない。

それに近藤さんは毎朝１５分だが、彼の高校時代の数学の先生だった、武藤徹先生の書いた高校数学のテクストを読むという生活をされているらしい。このテクストは「高校数学読本」というタイトルだったかの６冊か７冊かのシリーズ本であり、日本評論社から発行されている。１冊１冊はそれほど高価な本ではない。

世の中にはそういう長編の数学のテクストを高齢になって書いた数学の先生もいれば、それをまた高校卒業後の何十年も経ってからコツコツ読んでいるかつての教え子の読者もいるということ。どちらもうらやましい。

『算数ひみつの７つの道具』

注文したことのない本が来た。アマゾン・コムからである。

 

タイトルは『算数ひみつの７つの道具』（かんき出版）という。著者は「あきとんとん」さん。定価は1,100円である。

 

この本を寄贈しますとの手紙をどこからももらっていないのだが、ブログで紹介してほしいということだと勝手に思って紹介する。

 

本の副題としてか何かはわからないが、「小学校で習う計算が５秒で解ける」とある。

 

「51/68=?」とか「25の76%は?」とかが表の表紙のところに書いてある。ちらっと中を読んで見たところだから、確かなことは言えないが、「51/68=?」の方は68-51=17だから、17が公約数で51/68=3/4であるらしい。

 

ちなみに、この考え方はユークリッドの互除法であろうか。

 

さらに25に76％をかけるのだが、かけ算の順序は入れ替えてもいいから

　　　　　25*76=76*25

として76の25%と考えようということらしい。25%は1/4だから

　　　　　76/4=19

だということらしい（２０２５．４．１２付記を参照）。

 

意味はちょっと問題だが、計算の数値としてはあっている。数の計算ができればあとはどうでもいいということにはならないが、数の計算が遅い私などは少しだけ劣等感から解放されるかもしれない。

 

著者は「あきとんとん」さんは京都大学大学院修士課程の修了した秀才である。流体力学の専攻だったらしい。学部時代は工学部電気工学科を卒業されたとか。極め付き秀才である。

 

（２０２５．４．１２付記）

ちょっと上の説明は舌足らずであった。きちんとした計算を書く。

 

　　25*76=76*25=76*100/4=7600/4=1900

以前のベクトル関係の原稿を

以前のベクトル関係の原稿を改訂し始めた。

最初に、ベクトル積の成分についてである。これは誰でもその成分がおかしいなと思うのだろうか、村上雅人さんの『なるほどベクトル解析』（海鳴社）でも訳が分からないとか書いてある。

それについてはすでにそういうことを疑問に思った先学の方がいわゆるLevi-Civitaの記号（Eddingtonのイプシロンともいう）という記号を使って説明するということが知られており、最近では多くのベクトル解析の書も大半はそれに従うようになって来ている。

大体は私もそれに沿った考えである。それでもその記法を知らない方も多いのだが。

Levi-Civitaの記号について詳しく書いたのは小著『数学散歩』である。私自身が『数学散歩』という本を出版したのは2005.2だった。この本は自費出版だったので、500部しか出版されていない。それで、あまり私の見解が普及したとは思われない。

いまではLevi-Civitaの記号の縮約公式の導出を述べた本もないわけではないが、そのころはまだLevi-Civitaの記号の縮約公式の記憶法を除いて書かれた本はあまりなかった。

（２０２５．５．８付記）
ベクトルのベクトル積の第一成分には１という数字が全く出てこない。これは不思議だということで、１という数字が出てくるような表記法を考えた。「これがLevi-Civitaの記号とかEddingtonのイプシロンという記号である」というのが私の考えである。

不思議だと思われた、その成分の表示としてLevi-Civitaの記号とかEddingtonのイプシロンを考案した。そうすれば、成分１は１という数字から始まるし、成分２は２という数字が、成分３は３という数字で始まるようにできる。それをうまく定義したのがLevi-Civitaの記号とかEddingtonのイプシロンの定義である。こういう見解はどの本でも読んだことがないのだが、そうだろうと想像している。

そういう推論を抜きにして、Levi-Civitaの記号とかEddingtonのイプシロンの定義をどの本にも天下りで書いてある。私の書いたベクトル解析のエッセイ（これは「Levi-Civita記号とベクトル解析」だったかな）では、そのことを指摘しておいた。これは「数学・物理通信」のどれかの号には掲載されているので、ぜひインターネットで検索して読んで見てほしい。

体積積分が面積積分に

体積積分が面積積分に置き換えられるというのが、ガウスの定理である。また面積積分が線積分に置き換えられるというのがストークスの定理である。

それならそういう例がベクトル解析の本の中にガウスの定理やストークスの定理の前に書かれていてもいいはずだが、と思ってちょっと探してみたが、あまりその例はないようだ。

線積分からその面積が求められるという例が『解析概論』に線積分のところにでていたくらいである。Croweのベクトル解析の歴史にはこのことは何も書いてなかったかな。さてどうだろう。

前にもどるとガウスの定理やストークスの定理の説明の後にはこれらの定理をみたす例は挙げられているが、それは事後確認であって発見法的な意味はない。

なぜベクトル解析にこれほどこだわるのかと言えば、もとを糺せば、電磁気学の納得した理解がほしいためであった。

友人のNさんによれば、彼は『ファインマンの物理学講義』（岩波書店）の電磁気学の部分を読んでよくわかったといっていた。私はこのNさんと比べると２０年以上遅れているということだ。ひょっとすると３０年以上遅れているのかもしれない。

このNさんはもともとは実験化学者だが、中年以降になって大阪工業大学で物理学の講義を多年されていたと伺っている。彼はいまはどこかの会社の顧問をしているとか本人から聞いた。

このNさんはMITの名物教授だったStrangの線形代数の講義をインターネットで見るのが趣味というすごい人である。

ガウスの定理とスートークスの定理の前に

ガウスの定理とスートークスの定理の証明の前にどういうことを、ベクトル解析の本の著者が書いているのかに注目して、これらの本を読んで見たいと考えるようになった。

どういうことについて注意して読みたいかというのは、ちょっと企業秘密なのでここでは明かすことができない。

私自身が持っている本でもベクトル解析の本が１０冊以上はあるであろう。それにいわゆる物理数学の本の中にも、もちろんベクトル解析の説明のある本は多い。

それから微分積分学の本にもストークスの定理とガウスの定理について述べてある本も多い。それに最近では微分形式の本の中にもこれらの定理は書かれている。「一般化されたストークスの定理」という名前であるが。

要するに発見法的にどうやってこれらの定理に到達することができるのか、できないのか、そういう関心がやはり強い。

残念ながら、私はまだ解答には到達していない。

ベクトル解析のことを

ベクトル解析のことをかなり前からこのブログに何回も書いていることがわかった。

 

それくらいどうも私にはベクトル解析は難しい。というのかどうか。単に頭がわるいのだろう。

 

微分形式ができてベクトル解析でのガウスの定理やストークスの定理の意味が分かってきたし、これは微分積分学の基本定理の曲線上や曲面上の微分積分学としての拡張であることも知られて来ている。

 

太田浩一さんの『ナブラのための協奏曲』（共立出版）のように微分積分学の基本定理をばんと最初に書いている書などもある。これが微分形式という学問分野から得られた現在の視点であろう。

 

ただ、それがどういう風にして発見法的に得られた観点なのかというのが私の持っている疑問である。こうしてみると個人的にはなかなか納得は得られそうにもないのだが。

またベクトル解析のこと

先日、『物理数学入門』I がベクトル解析の書として良書だと述べた。その評価は基本的には変わらないのだが、ベクトルの面積分の箇所はなかなかこれをチェックするのは難しい。他書を参照しなくてはフォローできない。

ここはちょっと飛ばして直交曲線座標系の箇所を先に読むしかないだろう。

私が始めから終わりまで初めて読んだという村上雅人『なるほどベクトル解析』（海鳴社）だが、少なくともストークスの定理やグリーンの定理のところはタネ本だと思われる書がわかった。

これはSpiegel『ベクトル解析』（オーム社）であるらしいことがわかった。もっとも村上さんは訳書ではなくて元のマグロウヒルの原書に拠ったのだろう。

だからといって、『なるほどベクトル解析』がつまらないとかいうつもりはない。だれでもするする読めるベクトル解析の書であることはまちがいがない。

どうしてそういう判断をしたのかというと、積分定理の確かめる例題がSpiegelの書とほとんど同じだからである。もちろん「ほとんど同じ」であって「全く同じではない」。

Spiegelの書で示唆を得たところはストークスの定理やガウスの定理を積分の平均値の定理を使う導出である。その導出自身は前からあることを知っていたのだが、それが積分の平均値の定理を使う導出であるという事実を知らなかった。

『差分方程式講義』

広田良吾『差分方程式講義』（サイエンス社）は詳しく読んだことがないのだが、持っている。

これは昔、広田さんが愛媛大学に集中講義に来られたときに、rotとかdivとかの意味が差分ではよくわかると言われていたことを知っていたので、特にこのことに関心があって持っている。

それはこの本の付録Aに「離散空間でのベクトル解析」があるためである。図がいくつか描かれているが、今私が読んで見たところではどうもいくつかの小さな正方形が連なって描かれている、それぞれの小さな正方形の中心に書かれた数値はまわりの数値の代数和とあうように設定されたとしか思えない。

これでは広田さんには悪いが、あまり発見法的とは言えないのではなかろうか。もっともまわりの数値の和を各正方形の中心に置いたのが、広田さんの創意なのかもしれない。それだと評価は相半ばするかもしれない。

これは、ストークスの定理とガウスの定理についての一つの考え方の紹介である。

広田さんは、微分形式については何かよくわからなくても計算だけができる不思議な仕組みとかいう風な言い方であまり評価しているとは思えないが、しかし、微分形式はベクトル解析にいい見通しを与えたと思う。

ベクトル解析の解説としては

ベクトル解析の解説としては『物理数学入門』I　（丸善）はなかなかの良書である。

これは少なくともベクトル代数についてはそうである。Levi-Civita記号を使ってベクトル代数の公式を導くことを基本に置いているからである。

私もこの本とは別にほとんど同じような論旨の展開をしたエッセイを方々に書いたことがあるので、私の主張とどう違うのかを詳細に検討してみたいと考えている。

『物理数学入門』は発行が1996.1である。私のLevi-Civita記号を用いたベクトル代数とかのエッセイは1997.12とか2001.9とかであり、その元となった「テンソル解析の学習における問題点」の改訂版は1998.3である。もっともこの版の原版は1985.3である。

もっともこれらはいずれも愛数協の機関誌「研究と実践」に掲載されたものであり、ほとんど一般の人の眼に触れることはなかったろう。それらをまとめた小著『数学散歩』（国土社）は2005.1に発表されてようやく少しは世間に知られるようになっただろうか。それでも一般にはあまり知られてはいないだろう。

私がなぜLevi-Civita記号を知ったかというと1967年に取り組んでいた私の学位論文で光子とパイ中間子の相互作用のハミルトニアンに4次元のLevi-Civita記号が出てきて、その縮約の公式が計算のために必要になったからである。

その縮約公式自身は有名なランダウ=リフシッツの『場の古典論』（東京図書）にも出ていたが、それがどうやって導かれたかがわからなかった。それでその導出を指導教官だった米澤穣さんに導出の方針を示してもらったという経緯があった。

「テンソル解析の学習における問題点」では実は米澤穣さんに導出してもらった方法は書いてなくて、穂苅四三二著『テンソルの理論』（生産技術センター）（再版）にあった一般化されたクロネッカーのデルタによって導いたと思う。

その後、昔のノートを引っ張り出して解読して書いたのが、「Levi-Civitaの記号の縮約」再論である。これが実は学位論文の研究で納得した「Levi-Civitaの記号の縮約公式」の導出法であった。

その後、ベクトル代数については「数学・物理通信」に何回か掲載している。これは前に書いたことがあるエッセイの改訂版である。

「数学・物理通信」はすべてのバックナンバーが名古屋大学の谷村省吾先生のサイトにあるので、検索すれば見ることができる。

もっとも「テンソル解析の学習における問題点」は改訂して「数学・物理通信」に掲載したいと思いながら、うまく改訂できていない。

太田浩一さんの『ナブラのための協奏曲』（共立出版）に改訂のヒントがあると思うので、改訂できればいいのだが。

『ナブラのための協奏曲』は多分ベクトル解析についての最高の書とは思うが、これはなかなか私にとっても難しい。物理学者は別として、一般の人はなおさらであろう。もっともこれが読み解けるようなら素晴らしいと思う。

ようやくブログを書ける

DDOSのせいか何かで、午前中からブログを書けなかった。ようやく書けるようになってほっとしている。

ベクトル解析の学習を続けている。いまはWongさんという方が書いた『物理数学入門』I（丸善）のテクストの訳書のはじめを読んでいる。

簡潔な説明だが、いいのではないかと思っているので。訳者は私も存じ上げていた故小林澈郎（東京都立大学名誉教授）さんである。

Levi-Civitaの記号の説明もある。はじめはガウスの定理、ストークスの定理(pp.49-63)を読んだが、その後p.5からp.33まで読み進めて、現在の残りp.34からp.48の１４ページが残っている。