三角関数の還元公式なしで

三角関数の還元公式なしで加法定理を導けないかと昨日来いろいろ考えてきたが、

いまのところそれがうまくいくとは考えられない。

いや、余弦関数cos xの加法定理は余弦法則で導けるのだが、正弦関数sin xの加法定理は普通の本では余弦関数の加法定理から還元公式から導いている。

「なんでそんなことにこだわるのか」「あまりに石頭ではないか」　諸兄姉からのお叱りの声が聞こえる感じがする。

実は加法定理から三角関数の還元公式も導くという学習内容にできないかという試みができないかと考えていたのだ。

\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y

から

還元公式（余角公式かそれに類似の公式）を用いないで

\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y

が簡単に導けたらいいのだが、どうもそう簡単ではないらしい。 

余弦定理から正弦定理を導出したり、逆に正弦定理から余弦定理を導出したりすることは前にエッセイとして書いたことがある。

それだから上に書いたことが出来ないように見えるのは、私の考えがたりないだけなのかもしれないなどと思っているのだが。

（追記）　上に書いたことは平面上の点の回転行列を使わないという制約の下で考えたものであった。

もし回転行列を使うならば、問題はまったくなくなる。というのは余弦関数の加法定理と正弦関数の加法定理が同時に求められるから。

それとおなじことだが、オイラーの公式を使えば、余弦関数と正弦関数の加法定理は同時に簡単に求まる。

オイラーの公式は使えないとしても、2次元の回転行列を使うことは可能だろう。

えんびてん？

「えんびてん？」　海老天ではない。

これは今朝の朝食後の妻がしていた、クイズの一つである。穴埋めクイズはだいたいよくできていて、大多数の箇所の穴埋めは簡単にできるが、１か所か２か所は骨があるところがなかなかわからない。

そういう箇所だったのかどうか。「えんびてん」とは聞きなれない言葉だったので、新聞を見てみた。そしたら、すぐにわかった。

「えんびてん」ではなく「えんじつてん」であった。漢字で書くと遠日点である。これは一種の専門用語であるかもしれない。

遠日点といえば、すぐに物理を少し学んだことのある人なら、近日点を思い出すだろう。

太陽の周りをまわる惑星は楕円軌道で回っていることはよく知られている、太陽は楕円の焦点の一つにあり、その太陽のまわりを惑星は万有引力を受けて運動している。

そのとき、1周の間に惑星は太陽に一番近づいたときと一番遠ざかるところがある。

一番近づいた場所を「近日点」といい、太陽から一番遠い場所を「遠日点」という。

英語では近日点はperihelionというはずだ。遠日点の英語は知らなかったが、妻がスマホを駆使して調べたところではaphelionというらしい。

ということで一般相対論の実験的検証として知られている3つの事実を妻に期せずして講釈することとなった。その一つに「水星の近日点の移動」があるといっておいた。

しかし、妻としてみたら、とんだとばっちりをうけたということだろう。くわばら、くわばら。

余弦定理の導入のしかた

余弦定理の導入のしかたについて、昨日の午後にベクトルの内積で余弦定理を導くことを時間をとって書いたのだが、武藤徹先生の中学校の数学のテクストを見たら、あまり予備知識がいらずに簡単に余弦第1定理が導かれていた。

本当に必要な余弦第２定理はこれから各三角形の内角の余弦 cosについてそれぞれ解けばよい。

 

それで私が昨日の午後を費やして書いた部分は必要がなくなった。やれやれ。

もっともベクトルの内積で余弦定理を導入することにしようと思う直前には武藤流のやりかたで余弦定理を導こうと考えていたのだが。

もっとも転んでもただで起きないようにしたいとは思っている。三角関数の定義から

余弦定理を経て、加法定理へ進むつもりであったが、その前に三角関数の還元公式について述べておく必要を感じている。

もっともこの還元公式についてはすでに２回「数学・物理通信」に書いているが、その続きを書くつもりだったが、中断をしている（注）。

もっともつづきは普通の意味では必要がないので、これは私の好みにしか過ぎないともいえる。

（注）　「数学・物理通信」はSさんとNさんと私が編集して３の倍数の月に発行しているメール配布のサーキュラー（一種の雑誌）で、そのバックナンバーは名古屋大学の谷村先生のサイトで見ることができる。

谷村さん、いつもありがとうございます。

螺旋にはどんなものがあるか

螺旋（らせん）にはどんなものがあるか。こんなことが疑問に思い出したのはつい一昨日のことである。

三角関数での一般角を図的に表すにはどうしたらよいかという実用上の要求からこういうことが知りたくなったのである。

昨日、螺旋とは英語でどういうかが気になったので、辞書でhelixを引いてみたら、これがらせんという訳がやはりついていることを知った。

今朝の朝食後に妻とその話になったら、すぐにスマホで螺旋を英語でどういうかすぐに調べてくれた。それによるとspiralとhelixと二つあることがわかった。

どうちがうかもスマホで説明があった。2次元の平面上のらせんはspiralという3次元的ならせんはhelixというらしい。

そういうことでいえば、ワトソンの『2重らせん』という自伝があるのだと妻に教えた。

もちろん、ワトソン=クリックのワトソンのことである。

らせん階段というのがあるが、これは英語ではspiral stairwayとかいうらしいが、上の説明とは一致していない。明らかにらせん階段は3次元的なものであるから。

だから、spiralとhelixのちがいは日常生活ではごっちゃになっているのだろう。

対数らせんとアルキメデスのらせんというのがあるのは遠山さんの『数学入門』下（岩波新書）で知っていたが、それらがどういう数式で表されるに関心をもったことはなかった。

インターネットではこれらのことがわかるようである。

本木雅弘さんはフランス語を話す

本木雅弘さんがフランス語を話すことをNHKの番組「鶴瓶の家族に乾杯」の放送で知った。

もちろん、その片鱗を聞いたり、見たりしただけだからどれくらい上手に話すのかはわからない。

しかし、ちょっと聞いただけだが、その発音は立派なものであり、即座に流暢に話せるとはさすがである。

　

彼がどこでフランス語を学んだのかは知らない。少なくともフランス語の文法を知っていてすこし読めるなどという域を超えているのであろうと想像した。その想像が当たっているかどうかはわからないが、たぶんあたっているのだろう。

本木さんはNHKの大河ドラマ「麒麟が来る」で斎藤道三を演じて、最近その子息に戦で敗れて亡くなるという激烈な場面を見た直後に、このNHKの番組「鶴瓶の家族に乾杯」にゲストとして招かれて、岐阜を旅するという番組であった。

だれかフランス人のシェフか菓子職人に出会うという場面であった。

すくなくともこういう場面でいい発音のフランス語が短い会話であるが、そういう会話が聞けるとは思ってもいなかった。本木さんの教養がほのかに見えた部分であった。

（追記）　どうして本木さんがフランス語を話すのかはわからないが、インターネット検索したところでは、彼の長男がアメリカ留学中だが、フランスのパリでモデルとしてもデビューしたとかとあった。そのためにフランス語を学んだのかもしれない。

三角関数の加法定理の導出には

三角関数の加法定理の導出には余弦法則がいる。

それで余弦法則をどうやって導くかということが重要になる。三角形の余弦法則はまともに導こうとすれば、結構面倒であろう。

これは余弦第1定理を経ないで、余弦第2定理を導こうとすればという意味である。もし余弦第1定理を経ることを許せば、第2定理を得ることはそれほど難しくはないかもしれない。

私の一番のお勧めは実は、ベクトルの内積から余弦第2定理を得る方法だが、これは高校生には勧められないかもしれない。しかし、昔の高校数学の学習参考書でこれを使っているのを最近見つけた。

しかし、一般にはどうすればいいのだろうか。

しばらくブログが書けなかった

しばらくブログが書けなかった。

これは新しい設定になったのにどうしていいかわからなかったからである。パスワードの新しい設定のやりかたがわからなかった。

それで5月20日からしばらくブログを書こうとしてもログインできない状態が続いた。こういうことはあまり起こったことがない。

それでも個人情報データが以前よりも安全になるのならば、これは仕方がない。

ブログを書けない間にもいろいろと思うことがあったのだが、そういうことはすぐに忘れてしまうので、復活しても書くことを思い出さない。

フリクションボールの替え芯

フリクションボールは現在売れ筋のパイロットのボールペンである。しかし、その替え芯があることは知っていたが、コンビニを半年前くらいに探したが、替え芯をおいていなかった。

ところが、数日前にちょっと用事があってコンビニに行ったら、替え芯がおいてあった。300円で３つの替え芯が入っていた。それですぐに購入して帰った。

これは前に購入したフリクションボールが替え芯が手に入らなかったために遊んでいたのだ。それで早速替え芯を入れ替えたら当然のことに使えるようになった。

フリクションボールはこのボールペンで書いた字を頭のゴムでこすると消えるという優れモノである。

特に、文書を修正するときに都合がいい。赤のボールペンで修正するときに、まちがって修正してもこすって消すことが出来るからである。

あなたの近くのコンビニでもいまでは替え芯を売っているかもしれません。

余弦定理と正弦定理

「余弦定理と正弦定理」とについて資料をつくろうとしている。これはいまつきあいのできている中学生君との関係からである。

ピタゴラスの定理からはじめたのだが、図形で理解できることを中心にして、このところ資料をつくっているから。本当はそろそろ三角関数の定義をして、三角関数に関する本筋の事項を学ぶ資料をつくるのが優先なのだが、それにはちょっと準備がいる。

それで昨日、前に書いたエッセイ「正弦法則と余弦法則」を取り出してきて、資料としようかと考えたが、これはどうも数式の計算が多すぎる。だが、あまりつきあいが疎遠になるのはよくないので、これをつなぎの学習資料にしようかといま考えている。

これは正弦法則と余弦法則との依存性というか相互関係を導くという趣旨から書かれたエッセイであったので、ちょっと三角関数の話題としては本筋からはずれることは否めない。

しかし、いずれきちんとした余弦定理と正弦定理の導出はするとして、穴埋め的なつなぎの資料とはなるかもしれない。

ただ、図は書き換えたほうがよさそうである。

高齢者講習

昨日、車の免許更新のための高齢者講習に行ってきた。

子どもからはもう車の運転を止めたらと言われているが、今回だけは免許更新することにした。

3回目かの免許更新である。まだ免許更新の免許センターにはいっていないので、更新がされてはないが、免許更新の準備ができた。

いろいろ講習中にそばに乗っている教官からいわれた。一時停止するところで停止が甘かったとかなんとか。これは高齢者講習に集まった人たちは同じようだったらしく、他の方からもいろいろ失敗談が語られていた。

それでも特に取り立ててなにごともなく、講習は終わった。

三角比から三角関数か、それとも？

三角比から三角関数か、それとも？

歴史的にはもちろん、直角三角形の辺の長さの比、いわゆる三角比を学んでから、次第に角が180度を越えて一般角になって行く。

しかし、一般角を先に導入してその三角関数を考えそれから、歴史的に三角形の辺の比として三角比が考えられていたのだよというふうに教える方がいいのではないかという気がしている。

いわゆる一般から特殊へという方向で教えるのはどうか。水道方式とは一般から特殊へというのが一つの特色であった。

それを三角関数においても貫徹するのはどうかというわけである。

一般角の三角関数

三角比ではなく三角関数になると角度は三角形のいずれかの内角ではないから、180度を超えるようになる。

そういう三角関数の定義にはどうしても一般角の導入が必要になる。そういうことを日曜日にわかったので、さっそく先刻から武藤徹先生の数学の本とか志賀浩二さんの数学の本でどういうふうな記述になっているか調べた。

これらの数学教育にも造詣の深い先生方の本でも、あまりそこの点は強調がされていないようである。

一般角の導入のしかたが大切なのではないかと思い出したのは、昨日の日中に数学教育協議会の編纂のいくつかの事典、たとえば、『現代数学教育事典』（明治図書）等の三角関数のところを読んでそう思った。

もっともこれらの事典には残念ながら、三角関数についての詳しい記述はない。その教え方の概要がちょっと書かれているだけである。

数学教育協議会には高校の数学の先生ももちろん参加されているのだが、どうもこれらの事典には中学校までの数学までしか書かれていないようなのである。

そこらが私には不思議に感じるところだが、いわばそういう欠点がこれらの事典にはあることは否めない。

高校の数学の先生たちが書かれた数学の書が三省堂から出されていたはずだ。だが、残念ながらこのシリーズの書は1冊も持っていない。

江藤邦彦さんが書かれた『数は春風にのって』だったかは一度県立図書館で借りて読んだことがあるが、その内容は忘れてしまった。

apero dinatoire

apero dinatoire（アペロ　ディナトワール）とはフランス語で「たっぷりの食前酒とおつまみでディナーのかわりになるもの」だという。

そういう形で友人や知人を招待してお話をするのが好きなのがフランス人らしい。もっとも最近は新型コロナ騒ぎでapero dinatoireも自粛しなくてはいけないのだろうが。

ちなみに、aperoはaperitifアペリチーフ（食前酒）のことである。

apero dinatoireではないが、私たちがここ数年、毎月やってきた、雑談会もこのところ自粛をしている。もう100回以上も開催をしたいくらか伝統ある会である。極めて小規模な会合ではあるのだが。

特別なのは毎年8月は私の都合でお休みにしていたが、それ以外はまったく休まずに続けてきていたのに。

もっとも私たちはみんなかなりの老齢であるから、この集まりで新型コロナに感染したら、間違いなく重症になって死んでしまうであろう。

そういうことでしかたなく自粛ともつかない集まりの休止をしている。

三角形の面積の求め方

三角形の面積の求め方の基本は底辺の長さ a と高さ h をかけて、２でわる。

すなわち、

　　S=ah/2

である。

だが、他の面積の求め方もある。有名なのは三角形の2辺の長さとその間のはさむ角が分かっている場合の

　　S=ab\sin C

のような公式だろう。

三角形の三辺の長さがわかっている場合にはヘロンの公式というのがある。

そのほかの表現もあるが、それらについて数学エッセイを書いている。

これを中学生君の学習資料として書いている。これはちょっと中学生には難しいのだが、いずれいつかは知っておくことはわるくはないだろう。　

5月5日にブログを

5月5日にブログを再開してからアクセス者数はあまり増えず順位が4000番台だったが、昨日２０００番台を記録して少しづつアクセスが戻りつつある。

理系のテーマをもっぱらあつかうブログであるから、普通の意味でこのブログがおもしろいはずがない。それでも世の中はおもしろいもので、2000番台を記録するとかいうと世の中は広いものだという感じがする。

物理のテーマを扱うブログは３０数個あるのだが、それのトップになったこともあるから世の中はいろいろだという気がする。

いまは順位はそれほどではないが、それでもそこそこ健闘しているらしい。物理よりも数学に傾斜したブログだが、その数学もやさしい高校レベルだから、誰にでも読めるブログだということかもしれない。