晴れの日が続く２

10日ほど晴天が続き、その後、今週の火曜日に雨が降ったが、一日だけの曇天と雨天で、その後は晴れの日が続く。

夏には雨または曇りの日が多かったような気するというブログを書いた後の晴天続きである。もっとも北海道は今年は天気が悪そうである。

どこかの地方の悪天の犠牲の上に私の住んでいる地方のいい天気があるような気もするのでそこそこでもいいのだがと思っている。

それでも洗濯物を干すなどの行為はやはり晴天だと洗濯物がよく乾くだろうから晴天の日にかぎる。

ということで洗濯物を干してから、仕事場に来た。

またまた三角関数の還元公式

このところ考えることは三角関数の還元公式一色の生活である。単位円上のある点のx軸に対称な点の座標、y軸に対称な点の座標、原点対称な点の座標、これらから還元公式が導かれる。

ということで2行2列の行列でこれらの点を導くことができるはずだと考えた。ところがこれをやってみるとなんのことはない。それらの点の角度をもつsin関数とcos関数で表されるのでわざわざ2行2列の行列で元の点の座標を変換するまでもないことがわかった。

考えていたことはEuler公式で三角関数の還元公式が求められるのならば、2行2列の回転公式でやはり還元公式が求められるのではないかということである。

これはできないということはないのだが、普通の円の対称性から求める方法をただ七面倒くさくしただけである。

もっともそれでもそういう方法があるということを知っておくことも悪くはなかろうか。昨夜家に帰って考えたことはそういうことであって、結果はあまり画期的なことではなかった。

sin xを4回微分すれば

多くの本を見ればその取り扱っている対象が同じものでもいろいろ違った捉え方をしているということがあるものだ。

これは新聞なんかでも言えるのかもしれない。日本には大手の全国紙でも5つくらいある。朝日、毎日、読売、産経、日経の５つである。それらの新聞の政治的主張も異なっているらしい。

政治的主張とは関係がないが、出版した書籍の広告を出すにも朝日新聞の広告料が高いので出せないと言われたのは私の本を出してくれた出版社の社長であった。

「他社の2倍くらいの広告料がかかるので、小社のような小さな出版社では朝日新聞には本の広告を出せないのです」と直接に口頭で聞いた。「インテリは朝日新聞を読んでいるのですが」とも。

ここで新聞について書くつもりはまったくなかったので、話を元の筋に返すことにしよう。

三角関数の還元公式について多くの本でどう書いているかをここ数日集中的に見てきた。大体は標準的な書き方だが、ちょっと視点の違いが細かな所で現れていたりする。それをどう取り入れてエッセイにまとめるかが私の課題である。

これとは直接には関係ないのだが、sin x 関数をその変数で微分するとcos x 関数になる。そしてcos x 関数をまた微分すると-sin x関数となる。-sinx 関数をもう一度微分すると-cos x関数になる。さらにもう一度微分するとsin x 関数となる。

要するにsin x 関数またはcos関数を4回微分するともともとの関数が得られるのだが、これはどうしてか。

たとえば、sin x 関数を一度微分したとき、cos関数になるが、これは偏角（位相）が\pi/2 だけ遅れることになる。すなわちcos　x=sin (x+\pi /2)となる（注：このことをグラフ的にいえば、sin xのグラフを\pi/2だけ左に平行移動することである。偏角（位相）が遅れると電気工学的には表現されるが、この位相が遅れるということの意味がわかりにくい）。

1回微分するごとに\pi/2だけ左に平行移動するのだから、4回微分することによって(\pi/2)・4=2\piであり、2\piはsin x 関数の周期であるから、これは元の sin xのグラフと一致する。

というようなことは今まで考えたこともなかった。15冊ほど本を読んでそういうことはどの本にも書いてはいなかったが、自然にそうではないかと思いついた。

笹の除去２

もう一昨年のことになろうか。庭に生えた笹の除去を大々的にした。ところが一番の大本の笹を除去してしまう前に根尽きてしまったので、また笹が茂ってきた。

それで昨日の朝たまたま7時過ぎに目が覚めたので、庭に出て見たが、移植ごても剪定ばさみもどこにあるのかわからなくて、笹の除去にとりかかるのは断念した。

ところが昨日は朝早く目が覚めたせいだろうか。夜コタツに座ってテレビを見ていたら、いつのまにか前後不覚に眠ってしまった。もちろん途中で目を覚まして、歯を磨いて寝たのだが、今朝も7時過ぎには目が覚めた。それで昨日ありかを聞いておいた剪定ばさみと移植ごてをもって笹の除去の第一歩をはじめた。

笹は地下茎がどんどん深いところまで伸びているので、なかなか除去がしにくいが、それでも狭いところだけ除去した。根本的に根こそぎ除去ができたわけではないが、一応数本の笹を除去した。

大本のところにはなかなか到達しそうにはないが、今度は大本まで除去を目指すつもりである。

三角形の数の和

1984年に小さな正三角形が n 段積みになった大小のすべての正三角形の数の和がどのようになるか。これが私のはじめての数学エッセイであった。

この私の書いた最初のエッセイに関係した「三角形の数の和」というエッセイを今年の一月に書いていた。図を二つほど前著から取り入れる必要があったが、その作業ができないので、原稿は未完成でおいてあったのだが、昨日ようやく図をgoogle booksに掲載されている、自著『数学散歩』からコピーして取り入れた。

とはいっても、とりこんだページの編集のしかたがわからないので、そのページの本文と図をそのまま一緒に取り入れて付録としてつけた。あまり格好がよくないけれども、これは愛数協の機関誌に投稿するから、まあ許してもらおう。

最近は私の書く数学エッセイは愛数協の機関誌『研究と実践』よりは自分が発行している、『数学・物理通信』の方への投稿が多くなっている。

これは、『数学・物理通信』はほぼ3か月に1-3号を発行しているので、発行の予定がたつが、愛数協の機関誌『研究と実践』はいつ発行になるか見当がつかないからである。原稿が1年以上寝かされたこともあった。

何しろ、小学校や中学校の先生は忙しくて教材研究をしている暇もないという。もちろんそれでも熱心な先生はおられるのだが、なかなか原稿が集まらないらしい。

この「三角形の数の和」は何十年も前の小学校の夏休みのワークブックに載っていたテーマであったが、それを解いたのは私の妻だった。それを私が利用して私の生まれてはじめて数学のエッセイを書いたのであった。今回のエッセイは、その続きでなので、『研究と実践』に投稿するつもりである。

これは大小合わせた三角形の数の和を表す式の導出の詳細である。この式は故矢野寛（ゆたか）先生が1984年のエッセイ発行時に私のエッセイに補足としてその数式をつけ加えてくださったのだが、その導出法がその当時は私にはわからなかった。

インターネットのある数学サイトにそれの導出法の考え方が書いてあるのを見つけたので、それをヒントにして三角形の総数を与える数式の導き方を詳しく書いた。

今度のエッセイに関連した、昔のエッセイは私の前著『数学散歩』の最初のエッセイ「家中でクイズを・・・」として読むことができる。またGoogle Booksで一部をこのエッセイを読むことができる。

忘れたようでも

昔、私の物理学の先生の一人である、Oさんがご自身で前に言われたことを忘れたのだろうが、まったく同じことを自分で再発見したというべきだろうか。前にはそんなことを学生の私たちに言ったことなど忘れたのだろうが、数か月を経て、さも新しい見解、発見に至ったというように、以前と同じことを言われていたことがあった。

「Oさん、それは前にも同じことを言われていましたよ」と言ったことがある。ところがそういうことを自分も経験するようになった。

「三角関数の還元公式」というテーマでのエッセイを前に書きかけていたのだが、その内容を忘れてしまい、同じようなことを日曜の夜に考えてメモしておいたが、月曜日になって仕事場に来たら、その内容と同じことがすでにパソコン入力をしてあった。

上のテーマのエッセイの重要な部分はまだ書いてはいないので、なかなか完成はしないのだが、それ以外の図を描いての説明が必要でない部分はほぼできあがっていた。

図を描くことがいまの私にはなかなか難しいので、その図を描いての説明が必要な部分は構想は前からあるけれどもなかなか完成しない。しかし、それ以外の式と文章で説明できるところはほとんどできあがっていた。

同じことを前にも考えていたのだが、それを忘れてまた同じような考えに至ったのだ。それは内容的にもそうだったし、図の入力のないところは内容を先に仕上げることができるという点も全く同じだった。

だから、記憶の一部がまた自然と戻ってくるのだろうか。そしてそのことを以前に考え、かつそのことを実行したなどとは思わないで。

続・三角関数の還元公式

前にも三角関数の還元公式について書いたことがあると思う。還元公式という用語が目新しいだけで、内容は別に目新しいことはない。これは余角公式、補角公式その他につけられた名前である。

このタイトルでエッセイを以前に書き始めたのだが、中断していたのを再開したいと思うようになった。

子どもたちが大学受験のときに、受験参考書をもっていたのを還元公式の導出の参考にしたいと思って仕事場に少しづつもって来ていたのだ。それらを見たところ大部分は座標の対称性から三角関数の還元公式を導いている。

そのやり方での説明は絶対に必要なのだが、それ以外の方法も記述したいという意図である。果たして今度は書き続けられるかどうか、それはわからない。

物理学会誌のバックナンバー

1965年だったと思うが、大学院修士課程の2年生の夏だったかに物理学会に入会した。当時二人の会員の紹介がないと物理学会に入会できなかったような気がする。それからほぼ50年の物理学会会員だが、あまり活発に活動するほうではないから、特に会誌の購読が主である。

もちろん若いときには学会での発表もした。ところでこの学会誌のバックナンバーを多分入って時から保存しているので置く場所に困るようになった。押入れの上の天袋にいれているのだが、もうちょっとで満杯になりそうだ。

今月号だったかを読んでいたら、物理学会の会員数がだんだん減っているのだという。会員数は増えているもんとばかり思っていたが、実情は会員数の減少がこのところ続いているという。

そのせいで会費の値上げが会誌に提案されていた。私も定年退職してから10年以上になるので会費の減免をお願いしているが、それでも会費は8000円に来年はなるという。そろそら退会してもいいのかもしれない。

大体、どこかに勤めていたときには多くの学会の会員だった人が大抵その学会を退会するのは不思議ではない。それで年長の会員が退会するということ起こるので、だんだん物理学会の会員が減少するのであろう。

ある著名な方、N さんはある大学を定年退職したときに一度正式に物理学会を退会したのだが、その後、新たにある大学に勤められて、かつその大学が主宰する物理学会の年会をすることになるとかで物理学会に再入会したというこぼれ話を聞いたことがある。

この N さんももう何年か前に亡くなられた。

晴れの日が続く

今年は雨の日と曇りの日が多いとこのブログに書いたら、このところ晴れが珍しく続いている。今日で4日目か5日目くらいである。今年はこういう日が少なかった。今月は10月なので普通ならば、こういう日が続いても別に当然であろう。

昔から秋は「天高く馬肥ゆる秋」と言われた。暖房がいるほどは寒くなっていないし、またエアコンをかけて涼しくすることもいらない。エアコンやガスにかかる費用が少なくてすむいい季節である。

11月にもなるとときには寒い日もあるであろうから、ストーブを使ったりすることもあろう。もっとも私の家では早くもガスストーブが登場して、冷え込んだ朝などときどきガスストーブがセンサーに反応して、作動する。22度の温度設定を妻がしているので、部屋の温度が20度くらいになるとストーブが作動したりしている。

仕事場も先月はあまりガスを使わなかったのでガスの使用量がほとんど同じ目盛りであった。もっとも全く使わなかったわけではないのだが。

電気代もこの季節なら、少なくてすむ。老人の仕事場である。

宗教改革

Martin Lutherが宗教改革をしたということは歴史的な事実であるが、最近（これは昨年に続いて2度目だが）NHKの「まいにちドイツ語」で聞いてなかなか勇敢な行為であったと思う。

もし、私ならなかなかこういう行為をできないだろうと思う。Lutherが言ったというコトバ

Hier steh' ich, ich kann nichts anders （私はここに立っている、それ以上のことはできない）

というコトバはWormsでの帝国議会での審問会では言っていないという。もっともこのことばはWormsの記念碑にいまも残っているという。

もう40年近くなるが、一度か二度かWormsを訪れたことがあるが、そういう記念碑があるとは知らなかった。

サイエンス・コムニケ―ター

サイエンス・コムニケ―ターと呼ばれる職業の人を養成する必要があると最近に言われているらしい。

サイエンス・コムニケ―ターはもちろん研究者ではないが、一般の人に科学や技術の成果をわかりやすく話せる人という。

科学や技術をまったく解さない人ではもちろん不適であろう。だが、研究者なら当然と思っていることを一般の人の立場になって話せる人と言われれば、そういう人がやはり必要なのであろう。

日本の技術製品を使うマニュアルがわかり難いというので一昔前に不評であった。そのマニュアルをつくった人がかいていたからであろう。そういう予備知識のない人がユーザーなのだからマニュアルを書く人は何の知識もない人が書くべきだろう。

マニュアルの方はだいぶんよくなってきているが、それが科学全体にも及んできたということだろうか。

少し前なら、科学の成果をその成果をあげた人が説明するというのが普通であった。日本ではまだこれが一番普通であろうが、サイエンス・コムニケ―ターという職業が音楽のDJと同様に重要視されてきたことはうなづける。

分数２

遠山啓『教師のための数学入門』(数量篇）(国土社）を『算数入門』（SB クリエイティブ）に続いて読んだ。とはいっても全部ではなく「分数論」という最後の章だけである。

以前に、とはいってもそれは30年くらい前のことであるが、この書を読んだことがある。そのときには多分「分数論」のところは読まなかったと思う。

今回は分数の話がサークルであった後なので関心をもって読むことができた。遠山さんにはちょっと割合分数を提案をした和田義信さんの分数理論に違和感があったと思われる。

私たちのサークルの長老の S さんはそのことを知ってはいるだろうが、和田理論には遠山さんほどこだわりがないと思うので、量の分数は実践的には導入が難しいと思われているのではなかろうか。

もっともそういう詳しい話を S さんから聞いているわけではないので、別の理由があるのかもしれない。

実践的な分数の導入のことはどうか知らないが、私には遠山さんの主張はごく自然なものと思われた。

『算数入門』は『教師のための数学入門』のあと何十年後かに書かれた書だとは思うのだが、量の分数を第一に考えるという点は遠山さんにおいては変わっていないと思われる。

しかし、その遠山さんが亡くなってから、さらに何十年も経って、量の分数はやはり分数としての導入としては難しいと S さんが思われているのだと判断している。

分数が整数では表せない連続量の半端さを表現する一つの方法としてはじまったというのは歴史的な事実ととしてはそうなのだろう。

量aを単位量bで測るとき量aが量bの整数分であることは一般的には少なかろう。そうだとするとaとbとの差cで全体を測るということになる。こうして残った差で測るという操作はユークリッドの互除法といわれるものである。

これは普通には整数の最大公約数を求める手続きとして知られているが、これで最後に測れるとすれば、それが分数を表す単位となる。このときには最大公約数とは違ってもう整数ではない。

このあたりが難しいところである。

前立腺の検査にいった

今日来て、ブログを見たら、昨日ビジターが多かった2位のブログが「前立腺の検査」であった。奇しくも今日、赤十字病院に行って3度目の検査をしてもらった。PSAの値が少し高くなって7.2くらいになっていた。

それでもし今後なおこの数値が上がるようなら、また生検をしてはどうかといわれた。一度生検をしたことがあるので、お話はそこまでであった。

ほぼ一年前のブログが今日のビジターの2位を占めていたということは偶然ではあるが、興味深い。

1人か2人または3人の人がこの前立腺の検査のブログにアクセスしたということである。男性は老齢になると大抵この前立腺の問題が生じる。男性の宿命とでもいえるかもしれない。

妻の知り合いの男性で私も存じ上げている方は前立腺の手術をして、10年以上になるが、お元気にしている。この方は奥様は先に亡くされているが、なおお元気であり80歳はとうに越えられた方である。

分数

小学校の算数の一番の難所は分数だと聞いたのに、傲慢にも分数はそれほど難しくないのではないかと思っていた。

この数日、遠山啓の『算数入門』（SBクリエイティブ）を読んだら、やはり小学生にとって分数は一番の難所であるとあった。

これはもともと分数は連続量の数としての表現であるために整数ではなく半端のある有理数を表すために考えられたものである。

それと半分（1/2)とか2/3とかいうふうに日常生活でも使うことがあるので混乱する。このことは昔から言われていたことらしく、遠山さんはクラインの著書にもそのことが書かれているという。

分数は割合分数、操作分数、量分数の三つの考え方があるという。分数を教える方にもこの三つの度の立場で教えるかで教え方がちがってくるという。遠山さんは量分数という考え方で教え始めたいと書いておられるが、Sさんどうもこれは実践的にうまく行かなかったという評価をしているようである。

私には量の考えがなかったので、「整数を整数でわるで分数を定義する」というような考え方であったが、どうもそれではうまく行かないということらしい。

少なくとも小数に比べて分数は難しいという。

昨日に続いて晴れ

昨日は雲一つない快晴であった。昼中自宅の居間で読書と昼寝をした。夕方になってひと月に一回ほど行く、水汲みに出かけた。

これは日本百名水に選ばれた名水を汲みに行ったのである。お茶とかコーヒーに使っているが、一度この水を飲みだすと水道の水を飲めない。

もっとも仕事場では水道の水を飲んでいるのだが。

先日、ことしは曇りの日が多かったような気がすると、このブログで書いたが、それを覆すような晴れがたまたま2日続いた。