一般二項定理から学んでいること

一般二項定理のエッセイを書こうとしている。２ページ半ほど一昨日書いてから昨日は１ページも書けない。

もっとも何もしていないわけではなく、昔学んだテクストを引っ張り出したりして積分の勉強をしている。

Wallisの積とかWallisの公式とかいわれるものの導出がどうだったか調べたりしている。

これを歴史的な観点から本当は取り扱いたいのだが、それはなかなかできないので、現代的な観点から導出するので我慢したい（注）。

それともともと私は定積分のしかたに関心があって、これについて何回か数学エッセイを書いたのだが、もっと広範に調べて書いておきたいという気持ももっている。

もともと定積分の関心はFeynmanの使ったという「積分下でのパラメーターによる微分による積分」から生じた関心であるが、もっと定積分の方法全般に広がっている。

（注）Wallisの積とか公式について触れた文献結構あるのだが、Wallis自身がどういう風にそれを導いたかを述べた文献は私には見つけられない。

クリスマスも終わったが、

クリスマスも終わったが、Joyeux No"elというフランス語を書いた。もちろんドイツ語ならFrohe Weihnachtenフローエ・ヴァイナハテンである。

訳すれば、「楽しいクリスマスを」であろうか。12月24日は聖夜Heilig Abendハイリッヒ・アベーントというと、今年もオンラインのドイツ語クラスで教わった。

というのは、毎年こう聞かれれるのだが、クラスの私を含めた、みんながほとんど覚えていないのである。先生である、R氏は毎年がっかりすることであろうか。もっともそれくらいでガッカリするようでは外国語の教師は務まらないだろう。

12月25日はerste Weihnachtエァーステ・ヴァイナハットといい、12月26日はzweite Weihnachtツヴァイテ・ヴァイナッハトという。

なんでこんなブログを書いたか。来年こそはクリスマス・イヴはドイツ語では、聖夜ハイリッヒ・アーベントであることを覚えておきたいからである。

昨日からエッセイを

昨日からエッセイを書き始めたが、途中でいちばんprimitiveな二項定理をどうやって導いたのか気になって、自分で書いたエッセイ「二項定理１」「二項定理２」のコピーを取り出してきて読んだ。

それで、まだ書き始めて２ページ半ぐらいにしかなっていない。それとこれは中村さんのレポートにもはっきり書いてないところで気になったのだが、他の私の持っている文献とか、先日コピーしたメルツバッハとボイヤーの『数学の歴史』でもあまりはっきりしないところがある。

これは仕方がないので、私にはわかっていないということを書いておくしかない。さて、今日はもう少し書き続けられるだろうか。

一般二項定理のエッセイ

一般二項定理のエッセイを書く準備ができた。

しかし、もちろんこれは先の中村滋さんのレポートを読み解いたエッセイである。

それで、中村さんが言及されていた(1-x)^{q/2}でq=1としたときの、この無限級数の２乗を計算して、これが1-xに帰着するところを主として書くつもりである。

一般二項定理そのものは、現在ではその導出に苦労することは少しもないだろう。だが、現在の手法のなかったニュートンの若いときにはニュートンの天才を要した定理であったのだ。

本当は微分積分のニュートンの導出に関心をもったのだが、その前の一般二項定理に現在はこだわっている。

中村さんは武藤徹先生に高校時代に教わったらしい。私が武藤先生から送って頂いたために現在ではもっている、三省堂発行の高校数学の参考書が彼の著書に参考文献として挙げてあった。

この著書『微積分学２１講』（東京図書）を明倫館から古書として最近購入したばかりである。

土曜日には忘年会をした

土曜日には忘年会をした。これは月に１回集まるグループの忘年会を２５日にクリスマスの日にした。

１６時からはじめて１８時３０分には終わるつもりだったが、なかなか終わらなくて１０時くらいまで続いた。

こういうことは珍しい。普通なら不機嫌になる妻がそれほどご機嫌を斜めにならなかったので助かった。

ワインは信州の赤ワインを一本買ったが、それが意外と好評であり、それを飲んだ。そのほかは白のワインを二本だったか一本だったか買っていたが、それを開けることはなかった。

あとは恵比寿ビールを数本開けただけである。Kさんがケーキや他の何かをたくさんお土産に持ってくれたので、他の参加者にお土産にあげたくらいであった。

昔はみんなが若くてワインもたくさん飲んだが、コロナのせいもあって参加者が少なかったのと、本当はビールの好きなEさんなんかも体調とかも心配して以前ほどはビールを飲まなかった。

それでもKさんの意見をよく聞いてあげたせいか、Kさんはごきげんであったのでとてもよかった。

「数学・物理通信」号外号を発行した

「数学・物理通信」号外号を発行した。これは数学者・遠山啓先生の著作目録である。

多分１０年以上前から準備してきたものであるが、ようやく「数学・物理通信」の号外号として発行できた。

これで、名古屋大学の谷村さんのサイトに載ると思うので、世間に公表されることとなると思う。役に立つ史料だと思うのだが、さて現実はどうだろうか。

中村滋さん

中村滋さんは数学者である。最近になって関心を持った「一般二項定理」のニュートンの導出法について彼の論文というか、数学教育の会でのレポートが大いに参考になった。

まだ読み解いている途中だが、おおよその見当はついた。それで、もしか来年１月の雑談会で話をする人がいなかったら話してもいいよと言ったら、数学好きなKさんはそのテーマにまんざらでもなさそうであった。

もっとも他にレポーターがいれば私の話は他の月でもいい。中村さんのレポートは(1+x)^{q/2}のq=1のときの導出を示していた。もちろん、このときには一般二項定理によれば、これは無限級数となる。

q=1のときに[(1-x)^{q/2}]^{2}=(1-x)であるので、この計算をニュートンがしているということを中村さんは書いている。それで自分でも計算をしてみたが、x^{12}の前の係数が０となることを計算するときにかなり工夫をすることになった。しかし、この係数が0になることを確かめた。やれやれ。

No"el

今朝、昨夜食べ残したクリスマスケーキの上にある、なにかの飾ざりに気がついた。どうも文字らしかったので、そのお皿を洗ったときにその飾りをよく見たら、No"elであった。

フランス語でクリスマスという意味であったと思う。発音はノエルである。

Joyeux No"elというのが「クリスマスおめでとう」という意味である。発音はジョワユー・ノエルであろうか（注）。

英語でMerry Christmasとあるのかと思ったら、なかなか学のあるケーキ屋さんであった。

（注）Joyeuxと書こうとしてその綴りが分からないことに気がついてあわてて仏和辞書を引いた次第であるので、あまり褒められるようなものではないことを付記する。フランス語ではoiとかoyとあれば、ワと発音する。典型的なものに数字の3を意味するtroiがあり、トロワと発音する。

木曜日の夜のフランス語

木曜日の夜のフランス語は楽しみである。

木曜日にはドイツ語のクラスがオンラインである。そのあと自宅に帰って１１時半からNHKのEテレの放映である。

初歩のフランス語をもう何十年と聴視しているのだが、それでも新しいことがあって、退屈をすることがない。

もう年が歳だから、外国、特にヨーロッパには行けないが、それでもテレビの画像で見るのは楽しみである。

昔はテレビの外国語の講座は少数の外国語だけであったから、フランス語もドイツ語も毎日放映があった。

だが、多くの言語の放映があるようになったので、１週に１回の放映になった。それで、ラジオの聴取をする方に切り替えた。それまではあまりラジオの講座はあまり聞かなかった。

もちろん、学生のころのドイツ語がわからなくて、ラジオ講座のドイツ語を聞いて、ようやくドイツ語が理解可能な言語であることを知ったのはラジオ講座のおかげである。

それまでドイツ語は理解可能なものとは思えなかった。

数学史の通史は難しい

数学史の通史は難しいのではないかと思う。

私などはある一点で疑問に感じたら、それについての書籍がないかと調べるという主義である。それだと私のような問題意識を持ったことがだれもいない場合にはそういう文献などは存在しないこともある。

いまは、一般二項定理の発見の過程を知り立たいという気持だが、昨日述べた中村さんの本でも十分に私の好奇心を満たしてくれているわけではない。

もっとも今まで見た文献の中では格段に私の好奇心に近いものであることはまちがいがない。中村さんは博覧強記の数学者として有名であることも聞き及んでいる。

(2022.5.20付記)　中村滋さんは私の存じ上げている数学の先生、武藤徹先生の教え子でもあるらしい。東京大学数学科の出身でもある、偉い先生である。

武藤先生はもちろん東京大学数学科の出身の偉い先生である。

一般の二項定理の発見

一般の二項定理の発見の経緯を知りたいと思っていたが、インターネットで検索したら、中村滋（東京海洋大名誉教授）さんの書いた「青年ニュートンの一般二項定理発見」がほぼ私の要望を満たしていることを知った。

これも直接にこのサイトにアクセスできたわけではなく、「T-NAKAの阿房ブログ」に引用されていたのを見つけることができた。

インターネットではほんとうにたくさん、この二項定理についてのサイトがある。一部はプリントしたが、全部プリントできるほどの量ではなさそうだ。

ただ、読んでほぼ私の要望に中村さんの論文があっていることはわかったが、書き方についてはすこし改善の余地があるのではないかと思った。

大阪の事件に考えたこと

大阪の北新地のビルでの２４名の死亡のあとで、新聞でもテレビでもきちんとした反省がなされていないので、一言述べておきたい。

京都アニメーションビルの火災で３６名の方が亡くなった。このケースを教訓としてそのような同種事件に対策がもう取られているのかと思っていた。

妻がテレビで見たことを話してくれたが、少なくとも２か所以上に出口というか、非常口があるビルでなければ、建築の許可おりない法律はできているのだが、その法律の施行以前にできたビルにはその法律は及ばないのだという。

大学の教養部での法学の講義でも、法律のできる前にあるものには、後で施行された法律の順守の効力は及ばないのだと、そういう話を聞いた覚えがあるが、こういう事態が起こるとすれば、その普通の法律の常識をこの場合には変えて改善を促すことが、やはり人間の良識にかなっているのではないだろうか。法律といえども人間社会のためにあるのだから。

以前には、武谷三男という物理学者がおられて、こういう事故にはどう考えたらいいかとか警告を発しておられた。現在にはそういう方がおられなくなって、先日の朝日新聞の社説でも確かに出口が２か所以上あることの必要性を言及してあるが、もう一つ突っ込みができていない。

これは多分に法律の建前の前に議論の突っ込みが十分でないためであろうか。人がこういう災害にあって亡くなっている以上、法律の専門家にはどういう法律のありかたでならないといけないのか、再度考えてもらいたいと切に希望する。

「数学・物理通信」を発行した後で

「数学・物理通信」を発行した後でいつも感じる虚脱感というか、一種のうつ状態がくる。

本来私はうつ体質ではなく、むしろ統合失調症体質である。それだのに、「数学・物理通信」を発行するにはもう何回読んだかわからないくらい読返す。これはつまらないミスプリが残らないようにするためである。

もう一人の編集委員のSさんがOKを出してからも、改めて最低２回は読み返している。これは読みたいから読んでいるわけではない。読みたくはないのだが、読んでいるのである。１１巻８号について言えば、これで私の責任だったところに１か所とSさんの投稿部分でそれぞれ１か所づつ、計２か所の修正を入れた。

私自身は個人的にはほとんどストレスのない生活を送っているのだが、この「数学・物理通信」の発行ときにだけは、かなりのストレスがかかる。これは誰からも言われたわけではないので、自分で自分に課した仕事である。

それでもこれだけはストレスになっている。まだ体力的にこれに耐えられるが、そのうちに体力的に耐えられなくなる時が来るのであろう。そのときは「数学・物理通信」を私が発行できなくなるときであろう。

こういう報われない仕事をする後継者が現れることは多分ないであろう。知と文化を陰で支えるとはこういう大変なことである。

「数学・物理通信」11巻8号を発行した

ようやく「数学・物理通信」11巻8号を発行した。これで今年の予定は終わりだが、号外号を出そうかと思っている。

これは数学者・遠山啓さんの著作目録である。もうずっと以前から準備をしているのだが、いまのところ４１ページにもなる。それに表紙と目次をつけて、編集後記をつけると４５ページに近づいてくる。

完全なものはできっこないので、不完全を承知の上だが、それでも彼の著作目録としてはいままでにはなかったものであろう。

さてどうしたものか。出すか出さないか。思案のしどころである。

定積分の公式

定積分の公式集に一生をかけたフランス人の数学者がいたが、私にはそれほどの覚悟はない。

しかし、定積分の求め方には関心を持っている。最近雑誌「数学セミナー」でエレガントな証明の特集が１１月号であった。その中に定積分の公式の導出が出ていた。

それに関心があったのだが、その雑誌を書棚にしまい込んでいた。ところがネットサーフィンしていたら、アマゾンコムの書評に「ススムクニ」さんという方の書評にこの号が出ていた。

それで当該号を取り出して見てみると、Feynmanの経路積分の本に出ている定積分の公式の証明が出ていた。

もっともこれはどこかにその導出があったと思うので、私にとって未知の定積分ではなかった。その証明法はひょっとすると新しいかもしれないが。

それで昔一時気にしていたFeynmanの経路積分の本に出ている定積分の公式の導出ができないかと思い出した。

この書には１０個の積分公式が載っているが、そのうちの４個が証明が私にはできていない。そのほかは多分証明できたと思う。いや本当のところは他の経路積分のテクストにその証明が載っていたのだったかもしれいない。

それで、これらの４つの積分公式の導出を友人の数学者のSさんに考えてもらうことにした。それですべてが証明できたら、二人で数学エッセイを書くつもりである。

（２０２１．１２．２１追加）こういうつまらないこだわりが私にある。ちゃんとした経路積分の本を書いた人にでも、このすべての定積分の公式の導出をできていないかもしれない。私の知人にこの道の専門家がいるのだが、彼に尋ねる勇気はない。

いつかも書いたことがあるが、アマゾンコムで書評をしている人で感心したのはこの「ススムクニ」さん、「ゴルゴ？？」さん、「雑学家」さんの３人である。世の中にはよくできる人がいるものだと感嘆している。