ジャンケンの実際ー４人のジャケン

２０１４年１月３１日（金）　ジャンケンの実際―４人のジャンケン

 

 

　本稿は、

　　　　　ジャンケンの実際―３人のジャンケン　（２０１４／１／３０）

の続編で、４人のジャンケンについて述べたものである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

◎４人でジャンケンする場合の１回目の結果

　４人でやる場合は、状況は、やや複雑になるが、頭の体操を兼ねて、以下に、整理を試みる。 

◆４人（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）のジャンケンの組合せ総数　３×３×３×３＝３^４＝８１通り 

◆勝負がつく場合からのアプローチ

４人の場合に、勝負がつく場合の数を求める。この場合、１～３人まで、いずれかが勝つ場合を求めるのが、ミソだ。      

          

　以上より、４人のジャンケンの１回目で、１人、２人、又は３人が勝ちとなる、場合の数と確率は、全体の和となる。手の種類は共通なので、括り出すと、以下の様な、綺麗な形となる。

　　　３×（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４   Ｃ３）／３^４　

　　　＝（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４Ｃ３）／３^３

　　　＝（４＋６＋４）／２７＝１４／２７

従って、アイコになる確率は、以下となる。

　　　１－１４／２７＝１３／２７

このやり方を延長すれば、ネットに出ている、ｎ人についての、一般化した式が得られそうだ。

 

◆アイコになる場合からのアプローチ

　上記とは反対に、アイコになる場合から考察すると、３人でのジャンケンについては、、前稿のように、比較的容易に、一般化出来た。でも、人数を４人に拡大すると、このアプローチは、人数と手とアイコの数の関係がややこしく、かなり、複雑になるようだ。　

でも、この方法で、４人の場合に、アイコになる場合の数を求めてみる。

 

◇４人が同じ手の場合は、同じ手アイコ（＊）となる。　　

　　　　人の選択　なし

　　　　手の種類　　Ｇ、Ｃ、Ｐ、それぞれで１通りなので、全体で、３通り

　　同じ手アイコ＊は、４人の場合だけでなく、人数に無関係に、常に、３通りである。

 

◇３人が同じ手の場合は、アイコにはならず、別の手の１人との間で勝負がつき、３残／１残となる。

　　例：Ｇが、３人の場合、

　　　　　　　　　　もう１人がＣなら→ＧＧＧの３人が勝ち

　　　　　　　　　　もう１人がＰなら→ＧＧＧの３人が負けで、Ｐの１人が勝ち

　　ＧからＣ、Ｐに代わっても、同様である。

　　全体の場合の数と確率については省略。

　

◇２人が同じ手の場合は、

　　・残り２人が、別の同じ手の場合（例：ＧＧとＣＣ、ＧＧとＰＰなど）は、勝負がつく

　　・残り２人が別々の手（例：ＧＧとＣＰ、ＧＧとＰＣなど）は、勝負がつかず三すくみアイコ（＃）となる

というのも、厄介である。

◇上記にある、２人が同じ手（例Ｇ）で、三すくみアイコ（＃）になる場合について、先ず、全数リストアップしてみると、以下の左欄のようになる。

 

　　　Ａ　　Ｂ　Ｃ　　Ｄ　　　　　　　　　　　　Ａ　　Ｂ　Ｃ　　Ｄ　　

　　　Ｇ　　Ｇ　　Ｃ　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ｇ　　Ｐ

　　　Ｇ　　Ｇ　　Ｐ　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ｐ　　Ｇ

　　　Ｇ　　Ｃ　　Ｇ　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｇ　　Ｃ　　Ｐ

　　　Ｇ　　Ｐ　　Ｇ　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｐ　　Ｃ　　Ｇ

　　　Ｇ　　Ｃ　　Ｐ　　Ｇ　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｇ　　Ｐ　　Ｃ

　　　Ｇ　　Ｐ　　Ｃ　　Ｇ　　　　　　　　　　　Ｃ　　Ｐ　　Ｇ　　Ｃ　

 

　　　Ｃ　　Ｇ　　Ｇ　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ｇ　　Ｃ　　Ｃ　　Ｐ

　　　Ｐ　　Ｇ　　Ｇ　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ｃ　　Ｃ　　Ｇ　

　　　Ｃ　　Ｇ　　Ｐ　　Ｇ　　　　　　　　　　　　Ｇ　　Ｃ　　Ｐ　　Ｃ

　　　Ｐ　　Ｇ　　Ｃ　　Ｇ　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ｃ　　Ｇ　　Ｃ

　　　Ｃ　　Ｐ　　Ｇ　　Ｇ　　　　　　　　　　　　Ｇ　　Ｐ　　Ｃ　　Ｃ

　　　Ｐ　　Ｃ　　Ｇ　　Ｇ　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ｇ　　Ｃ　　Ｃ　　　　

で、１２通りとなる。

手の種類が、Ｇの他に、Ｃ、Ｐの場合もあるので、３通りがある。

　念のため、このチェックとして、上の左表で、例えば、ＧとＣを入れ替えてみると、右欄となり、Ｃが２人の新たな組み合わせとなることが、確認できるので、Ｃ、Ｐの場合にも拡大出来ることが分る。

全体では、１２×３＝３６通り。

 

◇又、手が１人（例Ｇ）の場合は、他の手が２人の場合（例　上記のＣ、又はＰが２人）に包含される。　

 

従って、アイコとなる場合の数は、

　　　４人が同じ手の場合＊　　　３

　　　２人が同じ手の場合＃　　３６

となり、全体では、３９となるので、アイコとなる確率は、

　　　３９／８１＝１３／２７

逆に、勝負が決まる確率は

　　　１―１３／２７＝１４／２７

となる。

　この値は、前述の、勝負がつく場合からのアプローチで得られた値と、同じである。

 

◆アイコとなる場合からのアプローチの一般化の考察

　上記のようなリストアップ法ではなく、一般化した方法の考察を行ってみた。 

◇組合わせの数　　４人（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）の手の組み合わせの数　

　　　　　　　　　　　　　各々　Ｇ、Ｃ、Ｐ　　　　３×３×３×３＝３^４＝８１通り 

◇方法１：同じ手の数から求める方法の考察

・４人の手が同じ　同じ手アイコ＊　手の数３は、３Ｃ１×１Ｃ１×１Ｃ１×１Ｃ１＝３

・３人（４－１人）の手が同じで、４人目は３人とは別→必ず勝敗が決まる

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４人目も同じ→上の＊　　　　

・２人（４－２人）の手が同じで、アイコとなる場合は、残り２人（４－２人）の手が、それとは違って、しかも、別々の場合（ 例　ＧＧ　と　Ｃ、Ｐ）となる。　

　　人の選択　４から２を取る組み合わせ　４Ｃ２＝６　　

　　　　各々に対して、残る２人（４－２）について、１人を選ぶのに、２Ｃ１の２通りあるので、全体では　４Ｃ２×２Ｃ１＝６×２＝１２通り

　　手の数　　Ｇの他、Ｃ、Ｐそれぞれについても、１２通りづつある

　　全体では　１２×３＝３６通りとなる。

・１人の場合は、他が、２人、又は、３人の場合に含まれる。 

従って、勝負が決まらず、アイコ（＊＋＃）となる場合の数と確率は

　　（３＋３６）／８１＝３９／８１＝１３／２７

従って、勝負が決まる確率は、この余事象で

　　１―１３／２７＝１４／２７

となる。（リストアップ法の数値と一致） 

 

◇方法２：３人の場合のアイコから求める方法の考察

　４人のアイコを調べる場合、まず、最初の３人で、三すくみの、＃アイコ状態を作る事を考える。 

　３人の場合の＊アイコ数は、

　　　　３Ｃ３×３＝３　→　手　　ＧＧＧ　　ＣＣＣ　　ＰＰＰ 

 ３人の場合の＃アイコは、６通り（３^３＝２７通り中）（前稿）

　　　３人で＃アイコになった組み合わせでは、４人目は、任意となるので、場合の数は、×３となる。　　

 ３人目まではアイコにならないが、４人目になってアイコになる場合がでてくる。

　　この場合は、３人の手が、下のように、３通り中の、２／１通りの手で、アイコ一歩手前えの状況になり、組合わせ数と手の数の積が、場合の数となる。　　　

リストアップ検証では、左欄のＧの場合を、右欄のＣ、Ｐの場合に拡大している。

　　　

　　　２人の場合　３Ｃ２×手３＝９　　　リストアップで検証　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＧＧＣ　　ＣＣＰ　　ＰＰＧ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＧＣＧ　　ＣＰＣ　　ＰＧＰ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＣＧＧ　　ＣＣＰ　　ＧＰＰ 

　　　１人の場合　３Ｃ１×手３＝９　　　リストアップで検証　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＧＣＣ　　ＣＰＰ　　ＰＧＧ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＣＧＣ　　ＰＣＰ　　ＧＰＧ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＣＣＧ　　ＰＰＣ　　ＧＧＰ

　　

　以上から、場合の数と確率は、以下。　

　　　　３（３Ｃ２＋３Ｃ１）／８１＝３（３＋３）／８１＝１８／８１

　これは、３人から、４人に増えて、新たに追加された、＃アイコの数である。　これに、

　　　　３人目までの＃アイコ数　　６／２７→×３で→１８／８１）

　　　　＊アイコ数　３／８１

を加えると、アイコの総数と確率は、以下となる。

　　　　１８／８１＋１８／８１＋３／８１＝３９／８１＝１３／２７　

この余事象で、勝負がつく確率は、以下となる。

　　　　１－１３／２７＝１４／２７

ジャンケンの実際ー３人のジャンケン

２０１４年１月３０日（木）　　ジャンケンの実際―３人のジャンケン

 

 

　色んな場で使われる指文字について、この所、当ブログに、下の５件の記事を投稿している。

　　　　　　指文字の文化　その１　（２０１３／１１／１４）　　～　指文字の文化　その５　（２０１４／０１／２５）　　　　　　　　　　　　 

　前稿では、指文字の一種である、ジャンケンについて、２人でやる場合の、確率的な側面について述べたが、その続編である本稿では、深みに嵌った序に、３人でジャンケンをする場合の確率について、考察してみたい。 

◎３人でジャンケンする場合の１回目の勝負

　ジャンケンでは、３通りの手が使えるが、３人のジャンケンになると、それぞれ異なる手の、三すくみの状態のアイコが現れてくるので、ジャンケンは、３人でやる形が基本と言えよう。

　又、３人でジャンケンをやる目的としては、

　　　　　①３人の中から１人の勝者を決める時

　　　　　②３人の中から２人の勝者を決める時

　　　　　③３人の中から、１人、又は２人の勝者を決める時（１人の敗者を除外する時）

　　　　　④３人の順番を決める時（①、②の後に続いて）

の、４つのケースがあるだろうか。

　

◆ジャンケンをやる３人は、仮に、Ａ，Ｂ，Ｃとする。

・１人が出す手は、グー（Ｇ）、チョキ（Ｃ）、パー（Ｐ）の３通りあり、各人それぞれ独立に出すので、３人では、３×３×３＝２７通りの場合がある。

・３人が、それぞれ異なる手を出せば、「三すくみアイコ」（以下＃で表示）となり、やり直しとなる。

・３人の内、２人が同じ手で、もう１人がそれとは異なる手の場合は、アイコにならず、１回目の勝敗が決まり、１人又は、２人が勝ち残りとなる。

・また、３人が同じ手を出せば、「同じ手アイコ」（以下＊で表示）で、この場合も、やり直しとなる。

 

◆先ず最初に、理解しやすい全ての２７通りの場合を、確認を兼ねて、以下にリストアップした。　

　結果の、手の同異欄には、手の同異数を示している。

　結果の、残数欄には、勝ち残り数と、アイコで残った人数を示している。１残では、勝ち残った１人の名も示している。

 

　　　　　Ａ、Ｂ、Ｃの手　　　　　　　　　　　　　　　結果

１人目Ａ　　　２人目Ｂ　　　３人目Ｃ　　　　手の同異　　残数

　　Ｇ　　　　　　 　Ｇ　　　　　　　Ｇ　　　　　　３同　 　　　 ３残（＊ ）　

　　　　　　　　                 　　 Ｃ　　　　　　２同　       ２残

                                 　　　Ｐ　 　　　　 ２同　   　  １残Ｃ

　　　　　　　    　Ｃ　　　　　   　Ｇ　　　　　 ２同　   　　２残　

                                　　    Ｃ　　　　　　２同    　　１残Ａ

                                   　　 Ｐ　　　　　  ３異　　  　３残（＃）

　　　　　　　　    Ｐ　　　　　　   Ｇ　　　　　  ２同　　　  １残Ｂ

                                  　　Ｃ　　　　　   　３異　　　  ３残（＃）

                                 　　 Ｐ　　　　　　   ２同　　　   ２残

Ｃ　　　　　　　   Ｇ　　   　　　　Ｇ　　　　　　　２同　　　２残

                               　　  Ｃ　　　　　　　　２同　　　１残Ｂ　

                                 　　Ｐ　　　　　　　　３異　　　３残（＃）

　　　　　　　  　Ｃ　　　　     　　Ｇ　　　　　　　２同　　　１残Ｃ

                                 　　 Ｃ　　　　　　　　３同　　　３残（＊）

                                  　　Ｐ　　　　　　　　２同　　　２残

                Ｐ　　　　　     　Ｇ　　　　　　　３異　　　３残（＃）

                                　　  Ｃ　　　　　　　　２同　　　２残　　　　　　　　

                                  　　Ｐ　　　　　　　　２同　　　１残Ａ　

Ｐ　　　　　　　Ｇ　　　　      　　Ｇ　　　　　　　２同　　　１残Ａ

                                  　　Ｃ　　　　　　　　３異　　　３残（＃）　

                                 　　 Ｐ　　　　　　　　２同　　　２残

　　　　　　　　Ｃ　　　　       　　Ｇ　　　　　　　３異　　　３残（＃）　

                             　　     Ｃ　　　　　　　　２同　　　２残　　

                               　　   Ｐ　　　　　　　　２同　　　１残Ｂ

　　　　　　　　Ｐ　　　　       　　Ｇ　　　　　　　２同　　　２残　

                                  　　Ｃ　　　　　　　　２同　　　１残Ｃ

                                  　　Ｐ　　　　　　　　３同　　　３残（＊）

 

◆上表の１回目の勝負の結果について考察する。

◇残数別の場合の数と確率は、下表のようになり、記事欄には、①～④の勝負の状況も示してある。 

　　　１残   ９通り　確率　９／２７＝１／３　　①の時は、勝負終了

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　   　　　　　　　 ②の時は、勝負続行で２回戦へ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　③の時は、勝負終了

　　　　　　　　　　　　　　　　　　     　　　　　　　④の時は、勝負続行で２回戦へ

　    ２残　 ９通り　確率　９／２７＝１／３  　　①の時は、勝負続行で２回戦へ

                                                 　　　　　 ②の時は、勝負終了

                                                 　　　　　 ③の時は、勝負終了

　　　　　    　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　④の時は、勝負続行で２回戦へ

      ３残　 アイコ

            　 ＊ ３通り　確率　３／２７＝１／９  　　　    勝負続行で２回戦へ　

　　　 　      ＃ ６通り　確率　６／２７＝２／９ 　　　   　勝負続行で２回戦へ

 

◇一方、①～④の、目的別の場合の数と確率は、以下のようになる。

　①　　１人の勝者　９／２７＝１／３　　

  ②　　２人の勝者　９／２７＝１／３　　

  ③　　１、２人の勝者　　①＋②になり　　１／３＋１／３＝２／３

  ④　　―　　　

 

◇又、手の同異数別の数と確率は、以下のようになる。

　   ３人の手が同じ　　＊　　３通り　　　３／２７＝１／９

　   ２人の手が同じ　　　　１８通り　　１８／２７＝２／３

　   ３人の手が異る　　＃　　６通り　　　６／２７＝２／９　 

 

 

◎３人のジャンケンについての一般化に向けた考察

   全ての場合をリストアップして調べるやり方だと、上述のようになるが、多人数でやる場合の一般化に向けて、組み合わせの面から、二つのアプローチで、考察して見たい。

 

◆勝負がつく場合からのアプローチ（③の考察から）

　・場合の数の総数は、３人各々がＧ、Ｃ、Ｐの３種の手→３×３×３＝３^３＝２７通り　

　・１人、又は、２人が勝つ場合について、先ず、人を選ぶ組み合わせを求め、それに、手の種類を加味する。　

①　３人で１人が勝つ場合

　　人を選ぶ：　３Ｃ１＝３通り

　　手の種類：　３種

    全体では： ３Ｃ１（人を選ぶ）×３（手の種類）＝３×３＝９通り

       全数リストアップによる検証

            手　 ＡＢＣ　　ＡＢＣ　　ＡＢＣ

            Ｇ：　ＧＣＣ　　ＣＧＣ　　ＣＣＧ　　

　　         Ｃ：　ＣＰＰ　　ＰＣＰ　　ＰＰＣ　　

　　         Ｐ：　ＰＧＧ　　ＧＰＧ　　ＧＧＰ　　

②　３人で２人が勝つ場合　

　　人を選ぶ：　３Ｃ２＝３通り

　　手の種類：　３種

    全体では： ３Ｃ２（人を選ぶ）×３（手の種類）＝３×３＝９通り

        全数リストアップによる検証　　

　　         手　Ａ ＢＣ　　ＡＢＣ　　ＡＢＣ　

             Ｇ： ＧＧＣ　　ＧＣＧ　　ＣＧＧ　　

             Ｃ： ＣＣＰ　　ＣＰＣ　　ＰＣＣ　　

             Ｐ： ＰＰＧ　　ＰＧＰ　　ＧＰＰ　　

 

③　従って、１人①、又は、２人②が勝って、勝負がつく、③のケースの確率は

     ３（３Ｃ１＋３Ｃ２）／２７＝３（３＋３）／２７＝１８／２７＝２／３

これから、勝負がつかず、アイコになる確率は、

　 　１－２／３＝１／３

となる。（リストアップからの数値と一致）

 

 

◆アイコになる場合からのアプローチ　　

・３人の手が同じ→同じ手アイコ＊　　人の選択は無い     １通り　

    手の数　ＧＣＰ　　３通り　

    場合の数：    　　 ３通り　　　

・３人の手が別々→三すくみアイコ＃　　

　　　組み合わせからの考察

        人を選ぶ　　３Ｃ１＝３通り

　　 　　手の種類

　　　        １人目がＧの場合、２人目のＰ、Ｃは２Ｃ１、３人目は１Ｃ１　→２通り

        場合の数：　２つの積　　３×２＝６通り 

        全数リストアップによる検証

           Ａの手　 　ＡＢＣ　　ＡＢＣ

               Ｇ　：　ＧＣＰ　　ＧＰＣ　　

　　      　　　Ｃ　：　ＣＰＧ　　ＣＧＰ　　

　　      　　　Ｐ　：　ＰＧＣ　　ＰＣＧ

 

・全体でアイコとなる数と確率は以下となる。　　　

     （３＋６）／２７＝９／２７＝１／３

　これから、勝負がつく確率は、

      １－１／３＝２／３

となる。（（リストアップからの数値と一致）

 

 

 

指文字の文化 その５

２０１４年１月２５日（土）　　指文字の文化　　その５

 

 

　色んな場で使われる指文字について、この所、当ブログに、下の４件の記事を投稿している。

　　　　　　指文字の文化　　その１　（２０１３／１１／１４）

　　　　　　指文字の文化　　その２　（２０１３／１１／１７）

　　　　　　指文字の文化　　その３　（２０１３／１２／１０）

　　　　　　指文字の文化　　その４　（２０１４／０１／１９） 

　最近の前稿では、手と指の拳遊びと、その代表であるジャンケンのルールについて取り上げた。本稿では、ジャンケンの実際として、２人でやる場合の確率的な側面について、述べる事としたい。 

 

◎ジャンケンでの確率を求める

ジャンケンで、最も単純な、Ａ、Ｂの２人が勝負する場合の確率を考えてみたい。 

◇１人が出す手は、グー（Ｇ）、チョキ（Ｃ）、パー（Ｐ）の３通りなので、２人では、　３×３＝９通りの場合がある。

◇１回目で、２人が異なる手を出した場合は、勝負が決まる。Ａの１つの手に対して、Ｂの手は２通りあり、全体では、３×２＝６通りとなり、この確率は、

　　　６／９＝２／３

　２人が同じ手を出した場合は、アイコ（分りやすくするため、カタカナ表記に）になる。アイコになるのは、２人がともに、Ｇ、Ｃ、Ｐになる場合で、手が３通りあることから、１回目でアイコになる確率は、

　　　１／３×１／３×３＝　１／３

である。

　勝負が決まる確率は、全体から、アイコになる確率を引いても求められる。

　　　１－１／３＝２／３

◇１回目がアイコの場合は、２回目の勝負になる。

２回目で勝負が決まる確率は、以下となる。

　　　１／３×２／３＝２／３^２

２回目もアイコになる確率は、

　　　１／３×１／３＝１／３^２

従って、２回目迄で決着する確率は、２回目もアイコになる確率を引いて

　　　１－１／３^２

となる。

◇１、２回目ともアイコの場合は、３回目の勝負になる。

３回目も、アイコになる確率は、

　　　１／３^２×１／３＝１／３^３

従って、３回目迄で決着する確率は

　　　１－１／３^３

となる。

 

◇このように見て来ると、（ｎ－１）回目までアイコになり、ｎ回目の勝負になって、ｎ回目もアイコとなる確率は、

　　　１／３^ｎ－１×１／３＝１／３^ｎ

従って、ｎ回目迄で決着する確率は、

　　　１－１／３^ｎ

となる。

 

 

◎決着するまでの平均回数を求める

◇ネットのWikipedia情報では、２人のジャンケンで決着するまでの平均回数は、答えだけ１．５回と出ていて、算出根拠は示されていない。（じゃんけん - Wikipedia）

　　そこで自分なりに考え、この場合の平均回数は、勝負の回数とそこで決着がつく確率との積（期待値）で、試行を限りなく（∞）繰り返した場合に得られるとすると、前述の値より、平均回数は、以下の無限級数の式となる。

　１×２／３＋２×２／３^２＋３×２／３^３＋４×２／３^４------------＋ｎ×２／３^ｎ＋--------

＝Lim _n→∞Σ₁ⁿ（ｎ×２／３^ｎ）

この無限級数は、ｎ→∞では、どうなるのだろうか？　１．５に収斂するだろうか。 

 

◇この無限級数の各項は、分子側が一次関数の変数だが、分母側は指数関数の変数だから、分子に比べて、分母側が急速に大きくなっていくため、各項は、急速に小さくなっていくことから、感覚的には、収斂しそうに見える。

ｎ＝５位まで実際に計算して見ると、だんだん、１．５に近づいていくのが分る。

　でも、正しく求める方法が分らず、今回は、ネットにある１．５を、そのまま引用することとし、今後、機会をみて調査・検討したい、としていた。

 

　所が、つい先日、遠い昔の学生時代に買った、古びた微積分の本（「微分積分學精説」　岩切晴二著　培風館）を眺めていたら、全て正数からなる無限級数（正項級数という）の収斂、発散については、「ダランベールの判定法」という定理があるという記述を、たまたま見つけた。　これによれば、無限級数Σ＝ａ^ｎで、判定式

　　　　Lim _n→∞ａ^ｎ+１／ａ^ｎ＝ｒ

で、ｒの値が

　　　　ｒ＜１　　ならば　収斂

　　　　ｒ＞１　　ならば　発散

と言えるという。

　しかも、練習問題として、以下の級数

　　１／３＋２／３^２＋３／３^３＋---------------＋ｎ／３^ｎ＋----------

の、収斂、発散を調べよ、とあるではないか！　この式は、正に、今回の２人のジャンケンの確率で出てきた式だ。しかも、練習問題の答が、ｒは１／３で収斂、とある。これで、勇気百倍である。

 

　ダランベールの定理を、早速、上記の平均回数の無限級数に当て嵌めてみると、判定式は、

　　　Lim _n→∞ａ^ｎ+１／ａ^ｎ＝Lim _n→∞（（２（ｎ+１）／３^ｎ+１））／（（２ｎ／３^ｎ））

＝Lim _n→∞２（ｎ+１）・３^ｎ／２ｎ・３^ｎ+１

　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝Lim _n→∞（１+１／ｎ）／３

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１／３＜１

となり、練習問題と同様、ｒは１未満なので、収斂である。 

 

◇ここからは、収斂値を、どうやって求めるか、の模索である。

ここで、昔習った２つの計算方法が思い浮かんだ。

・一つは、自然数１～ｎ迄の和を求める場合等、順に、各項目が増えていく場合には、

　　　元の数列と、順序を逆にした数列の両者を足して２で割る（幼いガウスが発見！）

という単純だが、素晴らしい方法である。

 

・もう一つは、無限等比級数の部分和や、極限値を求める場合、

　　　元の級数と、比を掛けた級数との両者の差を求める

という方法だ。この方法で部分和の式を求め、それから、極限値を算出するものだ。　

 

　後者の場合、等比ｒが１未満の場合は、級数は、ｎ→∞で収斂する、と習ったものだ。

例えば、

　　　Lim _n→∞Σ_０^ｎｒ^ｎ　＝１＋ｒ＋ｒ^２＋ｒ^３＋-----------＋ｒ^ｎ＋-------------

では　、部分和Ｓ_ｎは、 

　　　　　Ｓ_ｎ＝１＋ｒ＋ｒ^２＋ｒ^３＋-----------＋ｒ^ｎ

両辺に、ｒを掛けて、

　　　　ｒＳ_ｎ＝　　　ｒ＋ｒ^２＋ｒ^３＋-----------＋ｒ^ｎ＋ｒ^ｎ＋１

両式の差を求めると

（１－ｒ）Ｓ_ｎ＝１－ｒ^ｎ＋１

∴　　Ｓ_ｎ＝（１－ｒ^ｎ＋１）／（１－ｒ）

となり、これから、ｎ→∞で、ｒ^ｎ＋１→０　となることから、極限値は、

　　　Lim _n→∞Ｓ_ｎ＝１／（１－ｒ）となる。

 

ただ、これまでは、ダランベールの判定法という呼称は知らなかった。

　ダランベールの判定法は、等比級数だけでなく、例えば、Lim _n→∞∑（ｎ^２／ｎ！）の様な級数でも、前後の項の比　ｒと、１との大小関係から、収斂、発散を判定できるようだ。

言うまでも無いが、収斂するか否かを判定する比　ｒの値と、収斂値は別である。

 

 

◇これらから類推し、ジャンケンの平均回数を算出する、等比級数の部分和の両辺に、等比１／３を掛けて、元の式との差分を取ってみた。すると、各項が１個づつ残る、綺麗な等比級数が得られたのである。この時は、何とも言えない、すっきりした嬉しさを味わった。

 

以下に、具体的に示す。　

ｎ項迄の部分和をＳ_ｎとすると、

　Ｓ_ｎ＝１×２／３＋２×２／３^２＋３×２／３^３＋-----------------＋ｎ×２／３^ｎ

　　　 ＝２／３（１＋２／３＋３／３^２＋４／３^３＋-----------------＋ｎ／３^ｎ－１）

ここで、両辺に、３／２を掛けると、

３／２Ｓ_ｎ ＝１＋２／３＋３／３^２＋４／３^３＋------＋ｎ／３^ｎ－１＋（ｎ＋１）／３^ｎ　①

 

①の両辺に、１／３を掛けると

１／２Ｓ_ｎ＝　１／３＋２／３^２＋３／３^３＋---＋（ｎ－１）／３^ｎ－１＋ｎ／３^ｎ②

①、②式の差をとると、以下のように、各項が１個づつ残ることとなる。

即ち、Ｓ_ｎは、

Ｓ_ｎ＝１＋１／３＋１／３^２＋１／３^３＋-----------＋１／３^ｎ－１　＋１／３^ｎ　　　　 ③

という、綺麗な等比級数となる。

 

③の両辺に、等比１／３を掛けて、二つの式の差とる、同様の方法でＳ_ｎを求めると

Ｓ_ｎ＝（１－１／３^ｎ）／（１－１／３）

　 ＝　３／２（１－１／３^ｎ）

従って、ｎ→∞では、比の値が１／３で、１以下であるため、１／３^ｎ→０となり、

　　　　Lim _n→∞Ｓ_ｎ＝Lim _n→∞３／２（１－１／３^ｎ）＝３／２＝１．５　　　　　

と、１．５に収斂する事が分る。　　

 

　

　以上、興味に任せてかなり深みに嵌ってしまったが、何とか数値が求められたことで、自分なりには、すっきりした事ではある。

ジャンケンの話は、次稿以降も、暫く続きそうだ。

 

　

 

 

 

 

 

 

 

指文字の文化 その４

２０１４年１月１９日（日）　　指文字の文化　　その４ 

 

　色んな場で使われる指文字について、昨年後半、当ブログに下の３件の記事を投稿した。 

　　　　　指文字の文化　　その１　（２０１３／１１／１４）

　　　　　指文字の文化　　その２　（２０１３／１１／１７）

　　　　　指文字の文化　　その３　（２０１３／１２／１０） 

　その１では、市場の競りでの「手やり」や、日常生活で使われる指文字について、その２では、フグの「袋競り」での袋内部の手の形等について、触れている。　

又、その３では、手話での数字の表現法、手を使った数字の２進デジタル表示等について述べている。

　本稿はこれらの続編だが、指文字の一種と言える手の形を使う拳遊びの中で、最も馴染みの深い「ジャンケン」を話題にしている。

 

 

○拳遊び

　手の形を使う遊びは、一般には、「拳遊び」と呼ばれるようだが、大きく、

　　　・数拳

　　　・三すくみ拳

に分けられるようだ。（じゃんけん - Wikipedia）（拳遊び - Wikipedia） 

・数拳は、詳細は未調査だが、古来、お座敷などでの遊びとして行われ、数当てゲームのような要素が強く、自分の手と相手の手の数の合計を、予め予想して当てるような遊びが多いと言う。全国各地に、多くの数拳の遊びがあるようだ。

 

・三すくみ拳とは、３種の手の形相互の間に、強みと弱みとのエンドレスな関係を持たせたものだ。手の形の数は３種で、ジャンケンが代表的なものである。

　手の数が、６種もある球磨拳（六すくみ）から簡略化されて３種になり、三すくみのジャンケンになった、とも言われる。（球磨拳 - Wikipedia）

三すくみ拳は、勝負を決める手段として多く使われている。 

　以降は、ジャンケンについて、やや具体的に触れることとする。 

 

○ジャンケンのルール

　ジャンケンは、道具が全く不要で、３通りの手の形だけを使う所作（動作）だ。日常的に、子供から大人まで利用される、簡便で優れた方法だろう。

　ジャンケンは、勝ち負けを決めたり、順番を決めたり、グループ分けをするなど、実用される一方、遊びとして楽しまれることもある。

 

　日本のジャンケンでは、３通りの手の形として、以下の、グー、チョキ、パーが使われている。

　　 　　　　　　　 　　（ネット画像より）

　ジャンケンで使われている、この手の形を、数字として見ると、前稿の指文字の文化　その１ で述べたように、それぞれ、

　　　　　グー　 ：全閉　　→　数字の　０、５

　　　　　チョキ ：２本指　→　数字の　２、７

　　　　　パー　 ：全開　　→　数字の　５　

を表しているのだが、ジャンケンは、これらの数字の意味とは無関係である。　

手の形が、最も、出しやすく、区別しやすく、分りやすい、３種にした、と言う事が重要だ。

 

　この３つの手の形相互の強弱・優劣関係は、

　　　グー　　は、チョキに強く、パーに弱い

　　　チョキ　は、パーに強く、　グーに弱い

　　　パー　　は、グーに強く、　チョキに弱い

という関係になっている。

　

　ジャンケンの本質は、上記のように、３通りの手の形が、“それぞれに対して、強みと弱みを持っていて、公平で対等な力関係を作っている”、ということだ。

この様な、優越・劣勢の関係を、「三すくみ」と言っているのだが、分りやすい言葉で言えば、上には上がある、というエンドレスな関係になっている訳だ。

　このような関係があることで、対等で公平に勝負が決まる手段、と言う事が保障されている、素晴らしい方法だ。

 

　原理的には、このような「すくみ」の関係にある手の数としては、幾つでも考えられる訳だが、最も少ないものが３で、３という数の魔力でもあろうか。　

　通常、三すくみとは、３者が、“にっちもさっちも動きが取れない状態”、“デッドロック状態”、という意味だ。竦（すく）む　とは、日頃は余り使わない言葉だが、辞書には、

　　　竦む：縮んで動かない、おそれ縮む

などと出ている。

　ジャンケンで、同時に３種の手が出れば、勝負が決まらずアイコ（相子）となる。この状態が、いわゆる、三すくみの状態で、ある頻度で出現することとなる。　三すくみの状態になると、このままでは、埒が明かないので、やり直しが必要となる。

又、全員同じ手が出た場合も、勝負が付かないので、アイコでやり直しとなる。

 

　冒頭に出ている、「三すくみ拳」という呼称について一言。　当初、ジャンケンが、三すくみの関係を使った拳と書かれてあるのを見た時は、“劣勢（すくみ）だけでなく、優勢（まさり）もあるのに、偏ったネーミングでは”、と思ったことだ。でも、

　　　　　①三者それぞれが、それぞれに対して、優勢・劣勢の対等な関係を構成している

　　　　　②三者が同時に出された時は、三すくみの状態になる

という、二通りの意味を持つ呼称である、と解することで、一応、納得している。　

　より的確な呼称案としては、３種の手相互が、優劣双方向で、同格、対等の関係にある事から、

　　　　同格拳、三角拳、三角同格拳、三つ巴拳　

などはどうだろうか。

 

 

○石と鋏と紙

　日本のジャケンでは、グー、チョキ、パーの３種の手の形と、実在のもので形が似ている物、石、鋏、紙を対応させている。

　以下に示すように、これらの物相互間の生活体験上での強弱関係が、ジャンケンでの関係とほぼ合致していて、連想しやすくなっている。又、グー、チョキ、パーの語源は知らないが、発音の語感とも、かなり、合致しているのも面白い。

　言ってみれば、視覚と、エア聴覚（？）を組み合わせたネーミングと言えるようで、これらを考え出した先人の智恵は、素晴らしい。

 

グー　：拳（こぶし）が石に似ている　石→紙には包みこまれるが、鋏には負けない　　

　　　　：拳をグーっと出す

チョキ：２本指の形が鋏に似ている　　鋏→石では壊れるが、紙を切れる　　

　　　　：鋏でチョキチョキ切る

パー　：手を開いた形が紙に似る　　　紙→鋏には切られるが、石は包み込んでしまう　

　　　　：手をパーっと開く／紙でパーっと包む

　　　　　（じゃんけん - Wikipedia）

 

　上記の、３種の手と物の組み合わせと、それら相互間の強弱・優劣関係を、矢印で図示すると、下のようになる。

　　　　　　凡例：　 　矢印の先に対し強い　　 　矢印の先に対し弱い 

図では、強い関係が、反時計廻りで、逆の、弱い関係が、時計廻りになっている。　

　　　　　　　　　　　　 

　図で言えば、日本のジャンケンの、グー、チョキ、パーは、強い関係を表した呼び方になっている。

　

　次稿では、実際のジャンケンや、国際的な広がり等について、触れることとしたい。　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

くさやー４ 天然の良いにおい

２０１４年１月１５日（水）　　くさやー４　　天然の良いにおい　 

 

　このところ、当ブログに、くさや から始まって、においに関連する記事

　　　　　くさやー１　臭い珍味　　　　（２０１３／１１／３０）

　　　　　くさやー２　においの感覚　（２０１３／１２／１８）

　　　　　くさやー３　五感と嗅覚　 　（２０１４／１／１２）

を、シリーズ的に掲載して来た。

 　新年でもあり、良いにおい（匂い）について、触れる事としたいが、良いにおいに関しては、天然・合成の各種香料をベースとして、香水や化粧品、食料品、生活用品の製造販売や、アロマセラピーの提供など、広大なビジネス分野がある訳だ。これらの良いにおいは多種多様で、文化的な背景や個人の嗜好も深く関わっている。 

今回は、その中での、天然に得られる良いにおいについての話題である。 

 

○以下は、あるサイトからの引用である。（香りの提案 » Archive » バラ） 

“もしバラの花に香りがなかったとしたら、私たちは長い歴史をバラとともに歩み、これほどバラの花を愛でることができたでしょうか。「香りのないバラは笑わぬ美人に同じ」とも言われるように、バラの花は姿かたちよりもその香りゆえに美や愛の象徴として、あるいは「花の女王」、そして「香りの女王」と呼ばれるようになったと思われます。バラの香りは近年の研究により、人の生理、心理に良い影響をもたらすことが分かってきました。”

  これを自分流に理解すれば、“バラは、視覚よりも、嗅覚に訴える面が強い”、と言う事で、やや偏った、我田引水にも聞こえるが、それだけ、バラのにおいの良さ讃えている、と解したい。　

　古代エジプトの伝説の美女、クレオパトラ女王は、バラの姿・形だけでなく、その香りもこよなく愛したと言われる。 　 

 

○良いにおいや香りは、元々は、天然にあるものだ。　天然の植物から香料成分として抽出したものを、「精油」（エッセンシャルオイル）と言うようだ。 

　ネットの下記サイトによれば、精油としては、現在、２５０～３００種類があるようで、植物の種類や抽出部位により、精油は、以下の７つのグループに分けられるという。（精油 - Wikipedia）

　　①ハーブ系（ハーブの花や葉から抽出）

　　　　　：クラリセージ、月桃、バジル、ペパーミント、マジョラム　等

　　②柑橘系（柑橘系の果物から抽出　等）

　　　　　：オレンジスイート、グレープフルーツ、ベルガモット、レモン、レモングラス

　　　　　　レモンバーベナ　等

　　③フローラル系（主に花から抽出）

　　　　　：ジャスミン、ゼラニウム、ネロリ、ラベンダー、ローズオットー　等

　　④オリエンタル系（異国情緒が漂うエキゾチックな香り）

　　　　　：イランイラン、サンダルウッド、パチュリ、ベチパー　等

　　⑤樹脂系（天然樹脂系）

　　　　　：エレミ、フランキンセンス、ベンゾイン、ミルラ　等

　　⑥スパイス系（料理用スパイスである香辛料から抽出）

　　　　　：カルダモン、グローブ、シナモンリーフ、ジンジャー、ブラックペッパー　等

　　⑦樹木系（樹木の樹皮や枝、実などから抽出）

　　　　　：サイプレス、シダーウッド、ジュイパーベリー、ティトリー、パイン、プチグレイン、ユーカリ　等

 

　植物の名称が、カタカナの洋名の他に、漢字の日本名で呼ばれることもある。

　　　　　　サンダルウッド　白檀（ビャクダン）・栴檀（センダン）

　　　　　　ゲットウ　　　　 　月桃（ゲットウ）

　　　　　　グローブ　　　 　丁子（チョウジ）

　　　　　　スターアニス　　八角（ハッカク）

　　　　　　シナモン　　　  　桂皮（ケイヒ）・肉桂（ニッキ）

 

　上記のサイトには、主な精油として、１００種程が、リストアップされている。このリストの中には、上に例示された植物の他、身近なものでは、

　　　　　　キンモクセイ、ローズマリー、ユズ、ミモザ、ゲッケイジュ、カモミール

なども挙げられている。

　又、日本に多い以下の樹木の精油も、英名／和名でリストに出ている。

　　　　　　サイプレス　　　桧（ヒノキ）

　　　　　　パイン　　　　　松（マツ）

　　　　　　シダー　　　　　杉（スギ）　

　他に、リストには無いが、日頃よく接する香りとしては

　　　　　　ユリ、ジンチョウゲ、ストック、ギンモクセイ

などもあるだろうか。 

 

○リストにある、ダマスクローズというバラの花から抽出した、甘い香りの精油は、「精油の女王」とも呼ばれるようだ。

　　　ダマスクローズ（ネット画像） 

　昨年６月、都内北区の旧古河庭園を、園芸仲間と訪れ、バラ園を観賞した。　各種バラの品種名の表示と共に、アルファベットの記号が書いてあり、何だろうと思ったものだ。

　今回、ネットの中のサイトで謎が解けたが、各アルファベットは、以下のように、７種の香りのタイプを表しているようだ。　ここのダマスクとは、勿論、ダマスクローズの香りのことである。（冒頭の香りの提案 » Archive » バラ　より引用） 

 

　同じサイトに、国内市場で流通している芳香バラの香りタイプの割合が、下図のようにグラフ表示されているが、約８０％と大部分が、Ｔ（Ｔｅａ　ティ）タイプとあり、驚いた。

 　　　

　Ｔタイプについての説明では、

　“現代バラの多くが持っている香りで、ソフトで上品な紅茶の葉に似た香りがする。香りの強さは中程度だが、リラックス（鎮静）効果をもた　らすティーローズエレメントを多く含み、香りによる効果は最も高い。”

とある。　

　香りのタイプの区分は、国際的なものと思われるが、このグラフには、日本人の嗜好が色濃く表れているのだろうか。　

 

 

○やや余談になるが、少し以前のことだが、某メーカー主催の海外見学ツアーで、フランスの或る香料会社の工場を見学させてもらった事がある。そこには、香水などの原料となる香料が、世界各国から集められていた。

　詳細は忘れてしまったが、工場内に掲げられている、各種香料を示した世界地図の中に、ある香料の生産国として、Ｊａｐｏｎもあったのである！　その香料は、キンモクセイであった。

　キンモクセイは、晩秋の季節、開花すると、いい香りが辺り一面に広がる香木で、香料として異論は無かったのだが、日本の特産品のように扱われていたのが驚きだったのである。

　　　　キンモクセイの花（ネット画像）

　因みに、キンモクセイは中国原産で、日本と比べて、彼の地では、どの程度、生育しているかは定かではないが、現地では、十里香（十里先まで香りが届く！という意）とも言われるようだ。　同様の意味で、ギンモクセイ、ジンチョウゲは、どちらも、七里香とも呼ばれるという。

　中国の里程では、一里＝約５００ｍと言われるが、いずれにしても、数ｋｍ先まで香りが届く、と言うのは、如何にも中国らしい、大げさな表現だ。　

でも、良い香りが遠くまで届く事を強調しながら、十に対して、片や、七とやや少なくしているなど、感覚的には分りやすい、素晴らしいネーミングと言えよう。

　我が家の屋上庭園にも、だいぶ前から、ささやかだが、鉢植えのキンモクセイがある。