未解決問題

世の中はiPhone5の発売で盛り上がっているが、
私は別のニュースで盛り上がっている。

数学の未解決問題のひとつである
「ABC予想」を証明できたかもしれないと言うではないか。

「ABC予想」とは、方程式の整数解の性質を調べる分野の問題。
整数Ａ、Ｂと、それらを足し合わせた整数Ｃとの間の、
素因数の関係について述べた予想で、
これが証明されると他の未解決問題も解決できると言われ、
数論の中でも極めて重要な問題とされている。

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【ABC予想】
a + b = c
を満たすような、互いに素な自然数の三つ組 (a, b, c) に対し、
積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表記する。
このとき、任意の正数 ε > 0 に対して、
c > d ( 1 + ε)
となるような三つ組の自然数の組 (a, b, c) は
高々有限個しか存在しないであろうか。
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具体的に説明しよう。
例えば 3 + 8 = 11 を考える。
abc = 3 * 8 * 11
　　= 3 * 2^3 * 11
である。d はこの素因数のうち異なるものの積なので、
d = 3 * 2 * 11
　= 66
これは 11 < 66 となってしまう。

では次に 3 + 125 = 128 を考える。
abc = 3 * 125 * 128
　　= 3 * 5^3 * 2^7
である。d は
d = 3 * 5 * 2
　= 30
となり、128 > 30 となるのだ。
こういった組み合わせは無限に存在するのか？
高々有限個しか存在しないのか？

といった予想である。

このように、
なんとなくそんな風に見えるけど本当にそうなのか？
必ずそうだと言い切れるのか？
と、ちゃんと論理的に証明できていないものを
(数学の)「未解決問題」という。
これらは「予想」止まりになっていて、証明できると「定理」となる。
フェルマー予想は何百年もの時を経て、多くの数学者の協力のもと、
フェルマーの最終定理となった。
そしてこの多くの数学者を苦しめたフェルマーの最終定理は、
ABC予想を真として使えばより簡単に証明できてしまうのだ。
数学は証明できることも重要だが、美しい証明というのも大事にする。
見た目が美しく、証明もスマートであると、私はうっとりしてしまう。
芸術といってもいいだろう。
証明とはそれくらいのものなのだ。

数学という、この世に隠れている美しさが
数学者の手により芸術作品として現れる。


数学に対して誤解している人が多いのだが、
魅力はうまく伝わっただろうか。

好きになってくれなくてもいい。
少しでも嫌いな気持ちがなくなってくれたら嬉しい限りである。

(い)


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