回転

回転とはなにか。x^{2}+y^{2}+z^{2}を不変とする変換と言ってもいい。四元数で空間の回転を表すときに、四元数のベクトル部を一般の単位四元数とその逆四元数ではさんで変換する。このときに、変換された四元数のベクトル部のxi+yj+zkから得られる、x^{2}+y^{2}+z^{2}は変換前と変換後で不変である。

このことは形式的に四元数の絶対値の２乗をつくってみると確かにそうなっていることは分かるのだが、実際に変換させてみてもそうなっているか。「馬鹿な、そんなことはやってみなくとも当然成り立っているよ」と、世の秀才の方々にいわれそうだが、それを逐一計算してみた。

ところが、計算するとx^{2}の前の係数が1にならない。先日の夜その計算をやってみたら、どうも1になりそうにもないということでどこか計算間違いをしたなと思いつつ、その夜はしかたなく寝た。

つぎの日に計算を見返しても間違っているところに気がつかない。それでつぎのy^{2}の前の係数をちょっと計算法を変えて計算してみるとちゃんと1になったし、z^[2}の係数も同様に1になった。

それで、同じ方法で再度x^{2}の前の係数を計算してみたら、やはりちゃんと1になっていた。それで一つの課題はクリアできた。

ではということで、xyの前の係数を計算してみるとまた計算結果が0にならない。また計算間違えである。私はよく計算間違いをする。

それで今度もxyの係数の計算の見直しはせずに、yz, zxの係数を計算してみると計算方法をちょっと変えただけだが、ちゃんと0となっている。それで、もう一度xyの係数の計算に挑戦してみるとようやく0となった。やれやれ。

x^{2}+y^{2}+z^{2}を不変とする変換とはx^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}, c: 定数のときには半径が一定の球上の変換である。これは回転である。

というような論旨で数学者の銀林浩さんは「数学教育事典」（明治書房）で四元数が回転と結びつくという話をされている。もちろん、この具体的な計算は私がした計算で銀林さんの記述にはない。計算はしたものの、まだその計算のノートをつくっていないので、これから計算をまとめるつもりである。