もちろん、普通の方法でe^{x}の級数展開を求めるのではない。マクローリンの展開の求め方は簡単だ。ここではlog(1+x)の級数展開から逆に解いてe^{x}の級数展開を求めるということを志賀浩二さんの本で見た。それをy=sin^{-1} xにならって求めたいのだが、今朝起きてちょこちょこと鉛筆を動かして見ただけで、まだ詳しく考えているわけではない。
1/(1+x)は二項展開できるので、それを項別積分すればlog(1+x)の級数展開はすぐに得られる。これを逆に解いてe^{x}-1の級数展開を求められるという。
sin xの展開のエッセイを書こうと思って昨夜「無限のなかの数学」(岩波新書）を拾い読みをしようと思ってみたら、このことが書いてあった。それでそのことを理解したいと思っている。