今回は２次関数のグラフです。２次関数の一般形はｙ＝aｘ＾2+ｂｘ+ｃ（a≠0）で表されます。a＞0の時は下に凸、a＜0ならば上に凸の放物線となります。放物線の性質は教科書などで復習しておいてください。
下に凸の放物線の谷底、あるいは上に凸の頂上を頂点といいます。また１次関数と同様にｘ＝0を代入するとｙ＝ｃ（ｙ切片）が得られます。頂点の座標とｙ切片が分かればもう２次関数のグラフは描けたもも同然です。
２次関数の頂点の座標を求めるためにはｙ＝a（ｘ-ｐ）＾2+ｑといった平方完成形に変形させるのが一般的です。ですから平方完成に習熟しておくことが必要になります。ただ、数Ⅱで微分を学習します。そうするとｙ＝aｘ＾2+ｂｘ+ｃの一般形をｘについて微分するとｙ’＝2aｘ+ｂという導関数を得ます。ｙ’＝0と置くことにより、2aｘ+ｂ＝0という１次方程式を得ます。これをｘについて解くとｘ＝-b/（2a）を得ます。これが頂点のｘ座標となります。これに対応するｙの値を計算すれば頂点のｙ座標が計算できます。
さぁ、これでグラフを描く準備ができました。では早速描いてみましょう。先に座標軸を描いた後で、頂点をプロットしｙ切片を通る放物線を描く作業は結構大変です。
だから放物線を先に描きます。aの正負により上に凸か下に凸か決まりますので、放物線を一筆書きします。こうすると結構滑らかにそれらしく描けるでしょう！？
次にｘ軸を描き足しましょう。頂点のｙ座標が正ならば頂点の下に、負ならば頂点の上に直線を描きます。どれくらい離すかは全体のスペースとバランスを考慮して決めて下さい。
その次にｙ軸を描き足します。頂点のｘ座標が正ならば左側に、負ならば右側に描きます。この時注意しなければならないのがｙ切片です。ｙ切片の正・負・ゼロによって頂点からどれくらい離すかを決めなくてはなりません。ｙ切片が0の場合には原点を通るのですから、放物線のｘ軸の交点の一方が交差しているところにｙ軸を描けばＯＫです。
ｘ軸、ｙ軸共に描き終えたら、ｙ切片の座標、頂点の座標を書き込みます。これで２次関数のグラフは完成です。定義域がある場合には１次関数の時と同様に描いてください。
さて、問題によっては各点を通る放物線の方程式を求めよとかいったものがあります。これをグラフを描いて凡その形を掴もうとすると、先に座標軸を描き、各点をプロットしなければなりません。そうすると先に放物線を描くといった手法が使えなくなってしまいます。無理すればできないことはないと思いますが、余計な手間暇がかかり、楽に描くといったことからすれば、まさに本末転倒なこととなります。
そこで描き方としてよく見かけるのが左から頂点に向けて放物線らしく装った曲線を引きます。そうすると大抵の人が頂点で急に尖ったように折れ曲がったような曲線になってしまいます。しかも、無理やり各点を通したいものだから、その点で不自然に屈曲ていたりします。放物線はご存知の通り、頂点付近では緩やかに変化しているのです。
だから描き方としては頂点から描き始める方がそれらしく描けます。頂点から左右対称に少しずつサッサッと薄く線を伸ばしていきます。そして与えられた点を通るようにこれも左右対称に伸ばしていきます。最後に薄くできた輪郭をなぞるようにして滑らかな曲線に仕上げます。
先に放物線を描くより少々手間がかかりますが、だいぶ放物線らしく見えるようになったでしょう！
要は慣れですので、何度か試行錯誤しながら描く練習をしてみてください。
さぁ、次は指数・対数関数にするか、それとも最も苦手と思われる三角関数にするか！？
下に凸の放物線の谷底、あるいは上に凸の頂上を頂点といいます。また１次関数と同様にｘ＝0を代入するとｙ＝ｃ（ｙ切片）が得られます。頂点の座標とｙ切片が分かればもう２次関数のグラフは描けたもも同然です。
２次関数の頂点の座標を求めるためにはｙ＝a（ｘ-ｐ）＾2+ｑといった平方完成形に変形させるのが一般的です。ですから平方完成に習熟しておくことが必要になります。ただ、数Ⅱで微分を学習します。そうするとｙ＝aｘ＾2+ｂｘ+ｃの一般形をｘについて微分するとｙ’＝2aｘ+ｂという導関数を得ます。ｙ’＝0と置くことにより、2aｘ+ｂ＝0という１次方程式を得ます。これをｘについて解くとｘ＝-b/（2a）を得ます。これが頂点のｘ座標となります。これに対応するｙの値を計算すれば頂点のｙ座標が計算できます。
さぁ、これでグラフを描く準備ができました。では早速描いてみましょう。先に座標軸を描いた後で、頂点をプロットしｙ切片を通る放物線を描く作業は結構大変です。
だから放物線を先に描きます。aの正負により上に凸か下に凸か決まりますので、放物線を一筆書きします。こうすると結構滑らかにそれらしく描けるでしょう！？
次にｘ軸を描き足しましょう。頂点のｙ座標が正ならば頂点の下に、負ならば頂点の上に直線を描きます。どれくらい離すかは全体のスペースとバランスを考慮して決めて下さい。
その次にｙ軸を描き足します。頂点のｘ座標が正ならば左側に、負ならば右側に描きます。この時注意しなければならないのがｙ切片です。ｙ切片の正・負・ゼロによって頂点からどれくらい離すかを決めなくてはなりません。ｙ切片が0の場合には原点を通るのですから、放物線のｘ軸の交点の一方が交差しているところにｙ軸を描けばＯＫです。
ｘ軸、ｙ軸共に描き終えたら、ｙ切片の座標、頂点の座標を書き込みます。これで２次関数のグラフは完成です。定義域がある場合には１次関数の時と同様に描いてください。
さて、問題によっては各点を通る放物線の方程式を求めよとかいったものがあります。これをグラフを描いて凡その形を掴もうとすると、先に座標軸を描き、各点をプロットしなければなりません。そうすると先に放物線を描くといった手法が使えなくなってしまいます。無理すればできないことはないと思いますが、余計な手間暇がかかり、楽に描くといったことからすれば、まさに本末転倒なこととなります。
そこで描き方としてよく見かけるのが左から頂点に向けて放物線らしく装った曲線を引きます。そうすると大抵の人が頂点で急に尖ったように折れ曲がったような曲線になってしまいます。しかも、無理やり各点を通したいものだから、その点で不自然に屈曲ていたりします。放物線はご存知の通り、頂点付近では緩やかに変化しているのです。
だから描き方としては頂点から描き始める方がそれらしく描けます。頂点から左右対称に少しずつサッサッと薄く線を伸ばしていきます。そして与えられた点を通るようにこれも左右対称に伸ばしていきます。最後に薄くできた輪郭をなぞるようにして滑らかな曲線に仕上げます。
先に放物線を描くより少々手間がかかりますが、だいぶ放物線らしく見えるようになったでしょう！
要は慣れですので、何度か試行錯誤しながら描く練習をしてみてください。
さぁ、次は指数・対数関数にするか、それとも最も苦手と思われる三角関数にするか！？
