ボールスピードを上げるには～バックスイングを高くする！？

　ボールスピードを上げるには、バックスイングを高くしてやれば良いという説明がされることが多いようです。
事実「スポーツ・ボウリング（※１）」のP41にそれらしき解説がしてあります。もっとも、ここにはスイング・パワーの大きな部分とされております。そして「身体の運動量は保持している物体に移転される」とも。更には、腰や肩の捻りでプラスαのパワーを得ているとも・・・。
　これを読んでいると物理を少しでも齧った方ならば、頭がクラクラッとくるかも知れません。ここで仕事と仕事率がごちゃ混ぜに使われており、運動量保存則とスイング・パワーがどのような関係にあって、ボールスピードに関係してくるのかといったことが何も語られていません。

　さて、ボウリングのスイングは振り子の運動に例えられます。重力は保存量ですから、エネルギー保存則が成立しております。つまり、運動エネルギー+位置エネルギーは一定値となります。
　ボールの質量をｍ、リリース時の速さをv、肩からボールまでの長さをｌとしますと、リリース位置からバックスイングのトップ（この時ボールは静止）までの鉛直方向の角度をθとします。高さの差は、ｌ（１-cosθ）と表せますから、エネルギー保存則より、
　1/2ｍｖ＾2＝ｍｇｌ（１-cosθ）
が得られます。
よって、リリース時のボールスピードは
　ｖ＝√（２ｇｌ（１-cosθ））
で与えられます。

　さて、ここで実際に計算してみることにしましょう。
ｌ＝0.5ｍ、重力加速度ｇ＝9.8ｍ/ｓ＾2として、バックスイングの角度を45°、60°、９0°、180°でそれぞれ計算してみましょう。
45°　・・・　ｖ≒1.7ｍ/ｓ≒6.1ｋｍ/ｈ
60°　・・・　ｖ≒2.2ｍ/ｓ≒8.0ｋｍ/ｈ
90°　・・・　ｖ≒3.1ｍ/ｓ≒11.3ｋｍ/ｈ
180°　・・・　ｖ≒4.4ｍ/ｓ≒15.9ｋｍ/ｈ

　という結果が得られました。どんなにバックスイングを高くしても１５ｋｍ/ｈ程度しかボールスピードは得られません。それどころか６0°でも最大スピードの半分も得られるということが分かります。
　これでは如何にリーチが長くても３0ｋｍ/ｈを超えることは無理でしょう。ちなみに、このスピードを得るためには高さの差が3.5ｍ以上必要となります。いくらリーチの長い人でもこれは無理な話ですね。
　助走のスピードが加わるという方もいらっしゃるでしょうが、10～20ｋｍ/ｈの助走はそもそも無理ですし、第一リリース時にはほぼ停止していませんか。ということでこの説明にも無理がありそうです。

　では一体全体どのように考えれば良いのでしょうか。先に指摘した書籍「スポーツ・ボウリング」にいみじくもヒントが隠されていました。それは「身体の運動量が物体に移転される」ということです。

　そこで、ボウラーの質量をM、ボールの質量をｍ、ボウラーのリリース直前の助走スピードをV、リリリース直後の助走スピードをV'、リリース直前のボールスピードをｖ、リリース直後のボールスピードをｖ'とします。
リリース直前と直後の運動量は保存されるので、
　ｍ（ｖ+V)+MV＝ｍｖ'+MV'
となります。
これをｖ'について解くと
　ｖ'＝ｖ+（ｍ+M）V/m-MV’/ｍ　・・・①
を得ます。
　この式の意味することを評価してみましょう。
　静止してリリースする場合（例えば0歩助走）はV=V'=0と考えられますので、①に代入しますと
　ｖ'＝ｖ
を得ます。これはスイングのみによるボールスピードに一致します。つまりバックスイングの高さによるボールスピードとなります。
　次に、一定の速さで助走しながらリリースした場合を検討してみます。この場合V=V'と考えられますので、①に代入しますと
　ｖ'=ｖ+V
を得ます。これはボールスピードがスイングと助走によるスピードの和ということで、予想されるイメージに合致します。

　では、ボールスピードが最大となるのは、いうまでもなく①の右辺の第３項＝0、即ちV'=0となる場合です。これは助走スピードがリリースした瞬間に0となることを意味します。これは余り現実的なことではありませんが、リリース直前に助走の最大スピードとし、リリースの直後には静止していることがより速いボールスピードを得るために必要であることを意味します。

　せっかくですから、①の式に実際の数値をあてはめて評価してみましょう。
ここで、ボウラーの体重を70ｋｇ、ボールを15ポンド≒6.8ｋｇとし、振り子スイングによるボールスピードｖ＝2.2ｍ/ｓ、リリース直前の助走スピードをV=1.0ｍ/ｓ、リリース直後の助走スピードをV'=0.5ｍ/ｓとしますと、
　ｖ’＝2.2+（6.8+70）×1.0/6.8-70×0.5/6.8≒8.3ｍ/ｓ≒30.0ｋｍ/ｈ
となり、ボールの初速は当たらずとも遠からずといった結果が得られるのではないかと考えられます。

　①の式は理想的な物理的条件の下で得られたものですので、現実のボウリングにそのまま適用できるものではありません。
実際には、腕の振りに力が加わるでしょうし、腰や肩の捻りによる力もあることでしょう。
しかしながら、バックスイングの高さはほとんどボールスピードアップには寄与しないことや、どのような場合に最大スピードが得られるかといったことについては目安が出たのではないかと思います。

　ことの発端は、（※１）の書籍にｖ＝√（２ｇｈ）といった式が書いてあったことでした。読んだときには確かになと実際に数値をあてはめもせずに信じ込んでしまったのでした。数式で書いてあるとなるほどと納得してしまい、ボールスピードアップ＝バックスイングを高くするといった図式に嵌ってしまっていたのです。物理的には実現不可能な方法で、無意味な努力を積み重ねていたということになります。

　

（※１）　宮田哲郎著「スポーツ・ボウリング」ベースボールマガジン社

単位について

　算数の時にはよく使われていた単位ですが、数学では単位をつけることがほとんどありません。例えば、半径１の円とか三角形の底辺の長さが3とかいうように、単に数値のみで表されることが殆んどです。これは扱う対象が具体的なものから抽象的なものへと変化したことによるものなのでしょう。
　しかし、自然現象を扱う物理では長さといえばｍ（メートル）とか、質量でいえばｋｇ（キログラム）といった単位が数値の後には必ずつきます。その他、N（ニュートン）、J(ジュール）、W（ワット）、Hz(ヘルツ）、Ω（オーム）、Pa(パスカル）、・・・。もっとも、摩擦係数や反発係数などのように単位が付かないものもありますが・・・。
　これだけで物理が嫌いになった方も少なからずいらっしゃることでしょう。

　現在はＭＫＳＡ単位系に統一されているようですが、私たちが物理を教わった時にはＣＧＳガウス単位系というのも良く使われておりました。力学においては、どちらを使おうが大した差は無いのですが、電磁気学になると大きく異なりますので両者の行き来が結構大変な作業となってしまうことになります。工学系の電磁気学の教科書のほとんどがMKSA単位系、物理で半々くらいでしたでしょうか。かの有名なバークレイ物理学コースもCGSガウス単位系だったと記憶しております。面白い（？）ことに、理論物理の先生は殆どがCGSガウス単位系ですが、実験物理の先生はMKSA単位系が多いのです。理論的にはCGSガウス単位系が優れているのですが、歴史的な背景もあり実用的にはMKSA単位系が便利という側面があるのだと思います。
　私が学部で学んだ頃の電磁気の講座は電磁気学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲとなっておりました。電磁気学ⅠとⅡは実験の先生で、電磁気学Ⅲは理論の先生でしたから慣れないうちは大変戸惑ったものでした。

　さて、長さの単位は日本ではｍ（メートル）を用いますが、海外ではｆｔ（フィート）、ｙｄ（ヤード）、mile（マイル）、NM（浬）などといった単位が用いられております。フィートは身長や高度、ヤードはフットボールやゴルフで良く耳にしますし、マイルは陸上の距離など、浬は海上や上空の距離などで使用されております。
　質量に関しても日本ではキログラムを主に用いておりますが、海外ではｌｂ（ポンド）、oz（オンス）、ｇｒ（グレーン）などといったものがあります。
ポンドはボクシングやレスリングの選手紹介などでコールされますし、ボウリングのボールが15ポンド3オンスなどと使います。
　圧力でも現在はPa（パスカル）ですが、工業分野ではｋｇｆ/㎠が主流だったと思います。例えば、タイヤの空気圧などは2.6キロというように省略されて使われておりましたが、パスカルと言われてもねーという感じがします。気象では気圧は昔バールという単位を使っておりました。現在はこれもパスカルに統一されております。ただ、こちらは数値の換算をせずにミリバールをヘクトパスカルと言い換えるだけで済むから大した混乱は起こりませんでした。ただこれは偶々そうなったので、他の多くは2.6ｋｇｆ/㎠⇒260ｋPaのように数値の換算も必要に迫られることになります。ですから、しばらく慣れるまでは併記するなどの対策も必要となるでしょう。更には計量法で義務付けられた測定器はどうするかといった問題も発生します。
　このように単位というものは日常の隅々までに大きく影響を及ぼしかねないものなのです。

　現在使用されている単位というものは、歴史的背景を抱えておりますので、その良し悪しを云々することはできません。日本でも昔は尺貫法が使われておりましたが、結構早い時期にメートル法に統一されておりましたので、ヤード・ポンド法を採用している諸外国からすれば物理を学ぶ上では随分と楽だと思います。色々な単位系が混在すると単位系の変換作業が結構面倒臭くなります。例えば、１ｍといいうと大体これ位の長さだとイメージできます。でも米国人だったら普段はフィートやヤードに親しんでいますから、一々変換しなければ物理ができないということになってしまいます。

　物理を学ぶ上で単位は必要不可欠なものです。質量：ｋｇ、長さ：ｍ、時間：ｓを基本単位として、例えば速さの単位は㎧といった具合に基本単位を組み合わせて作ることができます。
　物理量と単位をセットで理解しておけば、長さ（ｍ）は、係数が付く付かないは置いておいて速さ（㎧）×時間（ｓ）で表すことができることを示唆します。あるいは密度（ｇ/㎤）を求めよといった問題文の中にしっかりと単位が書かれている場合があります。この場合密度の求め方を知らなくても密度＝質量/体積といった式を類推することができます。
ですから、ある物理量を計算する際、単位を含めて計算をして左辺と右辺の単位が異なれば何らかの問題があることに気付かされます。
　更に、異なる単位の加減算はできません。例えば、2ｍ+3ｋｇのようなことが意味の無いことであることは明らかでしょう。しかし、数学では単位を表記することが少ないので、何気なく2+3などといったことをやってしまうこともあるでしょう。

　物理に限らず何かを計算するときには、単位を意識しておく必要があります。そうすることにより、致命的なミスの防止ができるのです。単位は面倒臭いものと敬遠せずに、自分の強い味方として活用してください。

　こんなことを書いたら余計に物理が嫌いになってしまったかな！？

K値について～またしても物理学者がコロナ対策に貢献！

　最近、報道で「K値」なるものの存在を知りました。これまた物理学者が考案したものです。以前、「科学」と「技術」 でご紹介した「新型コロナウイルスの蔓延に関する一考察 」も物理学者が提唱されたものでした。

　早速、ググって論文”Novel indicator of change in COVID-19 spread status"と「K 値で読み解く COVID-19 の感染状況と今後の推移」という文書を入手しました。

　私が改めて述べるまでもなく「スライドで分かる「K値」の考え方」といった分かり易く解説したものがありますので、ご興味がある方はご参照ください。

　疫学的数理モデルは、専門外の者にとっては近寄り難いものに思えます。この頃良く耳にする「実効再生産数」などと言った数値によって拡大/収束が決定付けられるとのことです。ではこれを如何にして求めるかという問題が重要となります。しかし、未経験の感染症ですから、基本的なデータからして怪しいものです。事実、発症してからうつるとされていたものが発症前からうつるとなったり、症状が消えてから２週間と言われていたものが１週間すればうつらなくなるといった知見が出てきました。普通に考えれば、これらのことは実効再生産数の計算に影響しますよね。
　そのような中で登場したのが「K値」です。
しかも、
　K=直近１週間の感染者数/総感染者数
という中学生でも理解できるシンプルな式です。そして過去の感染者数という１つのデータしか使用しないにも関わらず、色々なことが分析できるツールとなっております。
　
　確かに疫学的数理モデルは定量的な評価が可能である点では優位性があるのでしょう。しかし、未経験の事態に対しても適用可能かどうかは定かではありませんし、少なくとも過去の知見から類推するしかないでしょう。そして新たな知見によって補正が必要になることもあるでしょう。
　しかし、場合によっては定性的な評価ができるだけでも有用なことは言うまでもないことでしょう。例えば、現時点で感染の拡大に向かいつつあるのか、収束に向かいつつあるのかだけでも分かればどれだけ助かることか？

　物理においては、実験データを直線や曲線で近似し定性的な性質を掴み、雑多な現象の根底に潜むものを解き明かすといった手法は良く用いられます。疫学的数理モデルでは細かな計算はできるかも知れませんが、病気の本質が解明されていないなかで計算のパラメータが果たして正しいと評価できるかは疑問です。
　しかしながら「K値」の計算においては、日々公表される感染者数というデータのみで計算できるといった大いなる利点があります。
　ましてや「K値」においては、簡単なモデルにも関わらず将来予測が可能となり、それから外れた場合にはいち早く警報を発することも可能となります。

　このような研究はやはり物理学者ならではのことではないかと考えます。複雑雑多な現象を分析し、規則性・法則性を見出し数式化するといった物理研究のプロセスは、例え分野が異なるものであっても有効に機能するといったことの証になっているものと考えます。

月間アベレージ（5月）

　今月もアベレージ180超えできませんでした。先月より、幾分取り戻して174.1となりました。今月の途中で始めた「ブラブラ歩き投法＆７歩助走」（参考：７歩助走にしてみました！）の効果かどうかは、次月以降の結果を待ちましょう。
　また、健康ボウリングのクラブリーグ戦は、アベレージ202.58と好調を維持しており、２位とは４ポイントの差を付けての１位をキープしております。

　ストライク率は先月より、ややアップしましたが180超えしていた時期にはまだまだ及びません。スプリット率もやや上昇して気になるところです。

　最も気になるのが、10ピンカバー率で47.9%大きく凹んでしまいました。10Pタップ自体は大して変化しておりませんので、ここらあたりがアベレージを引き下げる要因となっているようです。

　５月連休明けからのボウリング場の営業再開で、少しずつ日常を取り戻しつつありますが、どうもマスク着用してのボウリングはかなり過酷です。メガネが曇るのは仕方ないとして、汗でかぶれたりして湿疹ができたり息苦しく感じたりします。
　このような状況で無理してもという気が全くない訳ではありませんが、私が楽しめる唯一のスポーツですので・・・。
営業休止期間で何と２ｋｇも体重が増えてしまいました。ボウリングって意外にダイエット効果があるんですね(笑)

グラフを描いてみよう～2次関数編（放物線）

　今回は２次関数のグラフです。２次関数の一般形はｙ＝aｘ＾2+ｂｘ+ｃ（a≠0）で表されます。a＞0の時は下に凸、a＜0ならば上に凸の放物線となります。放物線の性質は教科書などで復習しておいてください。
　下に凸の放物線の谷底、あるいは上に凸の頂上を頂点といいます。また１次関数と同様にｘ＝0を代入するとｙ＝ｃ（ｙ切片）が得られます。頂点の座標とｙ切片が分かればもう２次関数のグラフは描けたもも同然です。

　２次関数の頂点の座標を求めるためにはｙ＝a（ｘ-ｐ）＾2+ｑといった平方完成形に変形させるのが一般的です。ですから平方完成に習熟しておくことが必要になります。ただ、数Ⅱで微分を学習します。そうするとｙ＝aｘ＾2+ｂｘ+ｃの一般形をｘについて微分するとｙ’＝2aｘ+ｂという導関数を得ます。ｙ’＝0と置くことにより、2aｘ+ｂ＝0という１次方程式を得ます。これをｘについて解くとｘ＝-b/（2a）を得ます。これが頂点のｘ座標となります。これに対応するｙの値を計算すれば頂点のｙ座標が計算できます。

　さぁ、これでグラフを描く準備ができました。では早速描いてみましょう。先に座標軸を描いた後で、頂点をプロットしｙ切片を通る放物線を描く作業は結構大変です。
　だから放物線を先に描きます。aの正負により上に凸か下に凸か決まりますので、放物線を一筆書きします。こうすると結構滑らかにそれらしく描けるでしょう！？
　次にｘ軸を描き足しましょう。頂点のｙ座標が正ならば頂点の下に、負ならば頂点の上に直線を描きます。どれくらい離すかは全体のスペースとバランスを考慮して決めて下さい。
　その次にｙ軸を描き足します。頂点のｘ座標が正ならば左側に、負ならば右側に描きます。この時注意しなければならないのがｙ切片です。ｙ切片の正・負・ゼロによって頂点からどれくらい離すかを決めなくてはなりません。ｙ切片が0の場合には原点を通るのですから、放物線のｘ軸の交点の一方が交差しているところにｙ軸を描けばＯＫです。
　ｘ軸、ｙ軸共に描き終えたら、ｙ切片の座標、頂点の座標を書き込みます。これで２次関数のグラフは完成です。定義域がある場合には１次関数の時と同様に描いてください。

　さて、問題によっては各点を通る放物線の方程式を求めよとかいったものがあります。これをグラフを描いて凡その形を掴もうとすると、先に座標軸を描き、各点をプロットしなければなりません。そうすると先に放物線を描くといった手法が使えなくなってしまいます。無理すればできないことはないと思いますが、余計な手間暇がかかり、楽に描くといったことからすれば、まさに本末転倒なこととなります。

　そこで描き方としてよく見かけるのが左から頂点に向けて放物線らしく装った曲線を引きます。そうすると大抵の人が頂点で急に尖ったように折れ曲がったような曲線になってしまいます。しかも、無理やり各点を通したいものだから、その点で不自然に屈曲ていたりします。放物線はご存知の通り、頂点付近では緩やかに変化しているのです。
　だから描き方としては頂点から描き始める方がそれらしく描けます。頂点から左右対称に少しずつサッサッと薄く線を伸ばしていきます。そして与えられた点を通るようにこれも左右対称に伸ばしていきます。最後に薄くできた輪郭をなぞるようにして滑らかな曲線に仕上げます。
　先に放物線を描くより少々手間がかかりますが、だいぶ放物線らしく見えるようになったでしょう！

　要は慣れですので、何度か試行錯誤しながら描く練習をしてみてください。

　さぁ、次は指数・対数関数にするか、それとも最も苦手と思われる三角関数にするか！？