kは底aの自然対数に等しい2

「kは底aの自然対数に等しい1」では、底aと底eの対数の級数表示の比較からk＝log aになることを見た。こんどは、はじめの設定
　　
から、k＝log aになることを見ておこう。
　　
ここで、ω>0、>1である。
　　　　　(1)
とおくと、→0のとき、→1である。したがって、h→0である。

(1)式で両辺の対数（底a）をとると、
　　
である。また、－1＝hである。
　したがって、
　　　　　　(2)
である。ここで
　　
だから、(2)式は
　　
となる。
　したがって、k＝log aである。