日差しはあるが、朝から冷たく強い風が吹いていた。部屋にいると暖かいのだが、外にいると寒い。庭の紅白を記して、今年を終えることとしよう。紅は南天の赤い実、白は水仙の白い花。
今年はここまでにします。みなさん、どうぞよい年をお迎えください。
今年はここまでにします。みなさん、どうぞよい年をお迎えください。
千両も表裏を繰り返していることがはっきりした。一昨年は豊作だったが、昨年はだめだった。今年は豊作である。ここの千両は表裏を繰り返している蜜柑の木の下にある。蜜柑とは正反対の表裏を繰り返しているようだ。
万両はどうなのだろうか。この近くの万両はほとんど実をつけていない。裏なのだろうか。
万両はどうなのだろうか。この近くの万両はほとんど実をつけていない。裏なのだろうか。
数3角形を桂馬跳びしてできる数列の和の一般項anは
an
＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
となった。
これがフィボナッチ数列の条件
an－1＋an＝an＋1
を満たしていることを見ておこう。
(1) nが偶数の場合
n＝2mとおくと、
an－1＋an
＝a2m－1＋a2m
＝ 2m－1C0＋2m－2C1＋ …… ＋mCm－1
＋2mC0＋2m－1C1＋2m－2C2＋ …… ＋mCm
↓ ↓ ↓ ↓ 公式 nCr＝n－1Cr－1＋n－1Crより
＝2m＋1C0＋2mC1＋2m－1C2＋ …… ＋m＋1Cm
＝a2m＋1
＝an＋1
(2) nが奇数の場合
n＝2m＋1とおくと、
an－1＋an
＝a2m－1＋a2m
＝ 2mC0＋2m－1C1＋ …… ＋m＋1Cm－1＋mCm
＋2m＋1C0＋2mC1＋2m－2C3＋ …… ＋m＋1Cm
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 公式nCr＝n－1Cr－1＋n－1Crより
＝2m＋2C0＋2m＋1C1＋2mC2＋ …… ＋m＋2Cm＋m＋1Cm＋1
＝a2m＋2
＝an＋1
したがって、数3角形を桂馬跳びしてできる数列の和
an
＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
は、
an－1＋an＝an＋1
を満たし、フィボナッチ数列になっている。
（注）前の記事の「フィボナッチ数列の一般項」を「数3角形を桂馬跳びしてできる数列の和の一般項」と読みかえてください。
an
＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
となった。
これがフィボナッチ数列の条件
an－1＋an＝an＋1
を満たしていることを見ておこう。
(1) nが偶数の場合
n＝2mとおくと、
an－1＋an
＝a2m－1＋a2m
＝ 2m－1C0＋2m－2C1＋ …… ＋mCm－1
＋2mC0＋2m－1C1＋2m－2C2＋ …… ＋mCm
↓ ↓ ↓ ↓ 公式 nCr＝n－1Cr－1＋n－1Crより
＝2m＋1C0＋2mC1＋2m－1C2＋ …… ＋m＋1Cm
＝a2m＋1
＝an＋1
(2) nが奇数の場合
n＝2m＋1とおくと、
an－1＋an
＝a2m－1＋a2m
＝ 2mC0＋2m－1C1＋ …… ＋m＋1Cm－1＋mCm
＋2m＋1C0＋2mC1＋2m－2C3＋ …… ＋m＋1Cm
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 公式nCr＝n－1Cr－1＋n－1Crより
＝2m＋2C0＋2m＋1C1＋2mC2＋ …… ＋m＋2Cm＋m＋1Cm＋1
＝a2m＋2
＝an＋1
したがって、数3角形を桂馬跳びしてできる数列の和
an
＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
は、
an－1＋an＝an＋1
を満たし、フィボナッチ数列になっている。
（注）前の記事の「フィボナッチ数列の一般項」を「数3角形を桂馬跳びしてできる数列の和の一般項」と読みかえてください。
数3角形にできるフィボナッチ数列の項のいくつかをCを使って表示すると、次のようになる。
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
左下添え字が1つずつ減り、右下添え字が1つずつ増えている。どこで終わるかといえば、nCrのnの半分程度（桂馬跳びなので、2:1）で終わるが、偶数か奇数かによって区別される。数3角形でいえば、偶数の場合は最上段（単位数）で終わり、奇数の場合は第2段（自然数）で終わる。rに着目して、区別してみよう。偶数の場合、nとrは同じ値で終わる（2C2、3C3）。それはn/2にあたる。奇数の場合、nとrは異なる値（3C2）でrは1だけ小さい。これをガウス記号[ ]（ある値を超えないもっとも大きな整数）を用いると、偶数と奇数の場合を統一して把握できる。[4/2]＝2、[6/2]＝3、[5/2]＝2が最終項のrの値である。
数3角形にできるフィボナッチ数列の一般項anは
an＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
となる。
Σでまとめると、
an＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
となる。（k＝0はΣ（シグマ）の真下、[n/2]が真上にあると思ってください。）
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
左下添え字が1つずつ減り、右下添え字が1つずつ増えている。どこで終わるかといえば、nCrのnの半分程度（桂馬跳びなので、2:1）で終わるが、偶数か奇数かによって区別される。数3角形でいえば、偶数の場合は最上段（単位数）で終わり、奇数の場合は第2段（自然数）で終わる。rに着目して、区別してみよう。偶数の場合、nとrは同じ値で終わる（2C2、3C3）。それはn/2にあたる。奇数の場合、nとrは異なる値（3C2）でrは1だけ小さい。これをガウス記号[ ]（ある値を超えないもっとも大きな整数）を用いると、偶数と奇数の場合を統一して把握できる。[4/2]＝2、[6/2]＝3、[5/2]＝2が最終項のrの値である。
数3角形にできるフィボナッチ数列の一般項anは
an＝nC0＋n－1C1＋n－2C2＋……＋n－[n/2]C[n/2]
となる。
Σでまとめると、
an＝k＝0Σ[n/2]n－kCk
となる。（k＝0はΣ（シグマ）の真下、[n/2]が真上にあると思ってください。）
数3角形をCで表示すると次のようになる。
この数3角形を左側から桂馬跳びしてできる数列の和はフィボナッチ数列になった。フィボナッチ数列をCで表示してみると次のようになる。
1 ＝ 0C0
1 ＝ 1C0
2 ＝ 2C0＋1C1
3 ＝ 3C0＋2C1
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
……
数3角形を桂馬跳びしていく過程をCで表示すると、
左下添え字が1つずつ減り、右下添え字が1つずつ増えていく過程だとわかる。
どうしてフィボナッチ数列になるかといえば、数3角形が次のような規則によって構成されていることに帰着する。
「各細胞の数はその垂直行における直前の細胞の数とその水平行における直前の細胞の数との和に等しい」
この規則は次の公式と対応している。
nCr＝n－1Cr－1＋n－1Cr
すなわち、「各細胞の数（nCr）はその垂直行における直前の細胞の数（n－1Cr）とその水平行における直前の細胞の数（n－1Cr－1）
との和に等しい」
3,5,8で確認してみよう。
3＝ 3C0＋2C1
＋ ＋ ＋
5＝4C0＋3C1＋2C2
↓ ↓ ↓ 3C0＋3C1＝4C1 , 2C1＋2C2＝3C2 , 4C0＝5C0
8＝5C0＋4C1＋3C2
5,8,13でも確認しておこう。
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
＋ ＋ ＋
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
↓ ↓ ↓ ↓ 4C0＋4C1＝5C1 , 3C1＋3C2＝4C2 , 5C0＝6C0 , 2C2＝3C3
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
こんどは、フィボナッチ数列の一般項anを表示し、an－1＋an＝an＋1を証明しよう。
| 0C0 | 1C1 | 2C2 | 3C3 | 4C4 | 5C5 | 6C6 | 7C7 | 8C8 | 9C9 |
| 1C0 | 2C1 | 3C2 | 4C3 | 5C4 | 6C5 | 7C6 | 8C7 | 9C8 | |
| 2C0 | 3C1 | 4C2 | 5C3 | 6C4 | 7C5 | 8C6 | 9C7 | ||
| 3C0 | 4C1 | 5C2 | 6C3 | 7C4 | 8C5 | 9C6 | |||
| 4C0 | 5C1 | 6C2 | 7C3 | 8C4 | 9C5 | ||||
| 5C0 | 6C1 | 7C2 | 8C3 | 9C4 | |||||
| 6C0 | 7C1 | 8C2 | 9C3 | ||||||
| 7C0 | 8C1 | 9C2 | |||||||
| 8C0 | 9C1 | ||||||||
| 19C01 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 |
1 ＝ 0C0
1 ＝ 1C0
2 ＝ 2C0＋1C1
3 ＝ 3C0＋2C1
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
……
数3角形を桂馬跳びしていく過程をCで表示すると、
左下添え字が1つずつ減り、右下添え字が1つずつ増えていく過程だとわかる。
どうしてフィボナッチ数列になるかといえば、数3角形が次のような規則によって構成されていることに帰着する。
「各細胞の数はその垂直行における直前の細胞の数とその水平行における直前の細胞の数との和に等しい」
この規則は次の公式と対応している。
nCr＝n－1Cr－1＋n－1Cr
すなわち、「各細胞の数（nCr）はその垂直行における直前の細胞の数（n－1Cr）とその水平行における直前の細胞の数（n－1Cr－1）
との和に等しい」
3,5,8で確認してみよう。
3＝ 3C0＋2C1
＋ ＋ ＋
5＝4C0＋3C1＋2C2
↓ ↓ ↓ 3C0＋3C1＝4C1 , 2C1＋2C2＝3C2 , 4C0＝5C0
8＝5C0＋4C1＋3C2
5,8,13でも確認しておこう。
5 ＝ 4C0＋3C1＋2C2
＋ ＋ ＋
8 ＝ 5C0＋4C1＋3C2
↓ ↓ ↓ ↓ 4C0＋4C1＝5C1 , 3C1＋3C2＝4C2 , 5C0＝6C0 , 2C2＝3C3
13＝6C0＋5C1＋4C2＋3C3
こんどは、フィボナッチ数列の一般項anを表示し、an－1＋an＝an＋1を証明しよう。
パスカルの三角形の最初の形は将棋盤のようなもので、枠（細胞Cell）のなかに数字が書かれていた。
数字だけ並べると次のようになる。
ここで将棋の飛車の動き（水平）をたどると、上から、単位数、自然数、三角数、四面体数（ピラミット数）が並ぶ。……
角行の動き（斜め）をたどると、二項係数が並ぶ。1,11,121,1331,14641,……
さて、こんどは桂馬跳びにパスカルの三角形の数をたどってみる。左側の位置の数字（1）から2つ上がって右に1つ曲がる。上2つは通る数字がない。3番目から数字が出てくる。上から順に書いていくと次のようになる。
1
1
1 1
1 2
1 3 1
1 4 3
1 5 6 1
1 6 10 4
……
それぞれの和をとると、
1
1
2
3
5
8
13
21
……
となり、フィボナッチ数列が出てくる。
数字だけ並べると次のようになる。
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | ||
| 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | |||
| 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 | ||||
| 1 | 6 | 21 | 56 | 126 | |||||
| 1 | 7 | 28 | 84 | ||||||
| 1 | 8 | 36 | |||||||
| 1 | 9 | ||||||||
| 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 | 111 |
角行の動き（斜め）をたどると、二項係数が並ぶ。1,11,121,1331,14641,……
さて、こんどは桂馬跳びにパスカルの三角形の数をたどってみる。左側の位置の数字（1）から2つ上がって右に1つ曲がる。上2つは通る数字がない。3番目から数字が出てくる。上から順に書いていくと次のようになる。
1
1
1 1
1 2
1 3 1
1 4 3
1 5 6 1
1 6 10 4
……
それぞれの和をとると、
1
1
2
3
5
8
13
21
……
となり、フィボナッチ数列が出てくる。
サザンカは漢字で山茶花と書く。これは中国語の椿（ツバキ）を指す「山茶」に由来する。「山茶花」なら「サンサカ」の方が漢字の音そった自然な読み方だが、誤って、「茶山花（ササンカ）」、「サザンカ」として定着した。
日本が原産地の花で、スウェーデンのツンベルクが持ち帰って、ヨーロッパでも広まったという。英名は日本語の読みそのままのsasanqua。
またしても、庭の花に、ツンベルク（トゥーンベリ）が関係していた。最初はシャガ（著莪）の命名者として知った。こんどはサザンカを持ち帰った人として。
日本が原産地の花で、スウェーデンのツンベルクが持ち帰って、ヨーロッパでも広まったという。英名は日本語の読みそのままのsasanqua。
またしても、庭の花に、ツンベルク（トゥーンベリ）が関係していた。最初はシャガ（著莪）の命名者として知った。こんどはサザンカを持ち帰った人として。
庭に来る鳥を撮っている。撮った鳥はたいてい静止している。鳥が静止していないと焦点が合わないからである。瞬時の像が映るような設定があるのかもしれないが、そこまで試したことはない。柿の木に集まってきたスズメを撮った。4羽のうち1羽が飛んでいる姿で写っていた。指が何もつかんでいない。羽を広げている。これまでこのような映像はなかった。
歌詞の中の「우닐」は、ネットを見ていると、「泣く」（連体形）と解釈されているが、울다（泣く）との関連がよくわからなかった。探していると、울고 다닐を短縮した表記とわかった。辞書ではわからない。残念ながら、読みとれたという実感がない。
별헤예 지듯 사라져가나
천해를 괸들 못다할 사랑
청상에 새겨 미워도 곱다
높고 늘진 하늘이
나더러 함께 살자 하더라
깊고 험한 바다로
살아 우닐 제 사랑은
초강을 에워 흐르리
깊고 험한 바다로 キッコ ホマン パダロ
깊다（深い）＋고（～して） 험하다（険しい）＋ㄴ（連体形）
바다（海）＋로（～に、方向）
深くて 険しい 海に
살아 우닐 サラ ウニル
살다（生きる）＋아（～して、接続）＋우닐（泣く）
우닐は、울고 다닐を短縮した表記と考えられている。울다（泣く）＋고（～して）、다니다（通う、歩き回る）＋ㄹ（連体形）
生きて 泣きまわる
별헤예 지듯 사라져가나
천해를 괸들 못다할 사랑
청상에 새겨 미워도 곱다
높고 늘진 하늘이
나더러 함께 살자 하더라
깊고 험한 바다로
살아 우닐 제 사랑은
초강을 에워 흐르리
깊고 험한 바다로 キッコ ホマン パダロ
깊다（深い）＋고（～して） 험하다（険しい）＋ㄴ（連体形）
바다（海）＋로（～に、方向）
深くて 険しい 海に
살아 우닐 サラ ウニル
살다（生きる）＋아（～して、接続）＋우닐（泣く）
우닐は、울고 다닐を短縮した表記と考えられている。울다（泣く）＋고（～して）、다니다（通う、歩き回る）＋ㄹ（連体形）
生きて 泣きまわる
昨年、思い切れなくて、切り倒せなかったイロハモミジだが、よかったのかもしれない。それなりに楽しむことができる。少しかがんで見上げてみる。なかなかいいではないか。庭の小さな「香嵐渓」。葉はまったく落ちていない。年末まで紅葉は続くのかもしれない。見ごろの時期は全国的に平年より遅いようだ。
