ヒバカリ（蛇）の卵3

（もぬけの殻）

蛇の卵が気になって、ほぼ毎日1回だけ見に来ていた。今日は卵が土に覆われていて、無くなっているように見えた。おそらく昨日の雨の影響だろう。土を除けると卵はあったが、殻に張りがないように見えた。1つ摘まむと空っぽだった。別の卵を摘まむとこちらはまだ中身があって、慎重にやればよかったと後悔した。もどすと蟻が寄ってきた。

近くのと合わせて8つはもぬけの殻（蛻の殻）だった。しかし、無事に孵化したのではなく、蟻の餌食になったように思われる。

オイラーのド・モアブルの公式

現在、高校で習うド・モアブルの公式は18世紀にオイラーが『無限解析入門』（『オイラーの無限解析』）で導いたものである。
オリジナルのド・モアブルの公式は次のような形のものだった（1707年）。（『グレイゼルの数学史Ⅲ』参照）
　　
グレイゼルによれば、ド・モアブルの関心はcos Bをcos nBで表わすことにあったという。オイラーはこの式から2つの共役な複素数（虚因子）を洞察し、三角関数の基本公式cos² x＋sin² x＝1を因数分解することからド・モアブルの公式を導出した。

1　√(cos²nB－1）はi sin nBだから、虚因子(cos nB＋i sin nB)がある。
2　1/(cos nB＋i sin nB)＝(cos nB－i sin nB)だから、虚因子(cos nB－i sin nB)が出てくる。
3　(cos nB＋i sin nB) (cos nB－i sin nB)＝1である。

4　 三角関数の基本公式cos² z＋sin² z＝(cos z＋i sin z) (cos z－i sin z)
5 　オイラーは、 cos z＋i sin z , cos z－i sin z に指数関数の性質を確認して、ド・モアブルの公式
　　
を導いた。

6　確認。上の式のn乗根をとると、
　　cos z＋i sin z＝(cos nz＋i sin nz)^1/n
　　cos z－i sin z＝(cos nz－i sin nz)^1/n
7　たすと、
　　2 cos z＝(cos nz＋i sin nz)^1/n ＋ (cos nz－i sin nz)^1/n
　　cos z＝1/2･((cos nz＋i sin nz)^1/n ＋ (cos nz－i sin nz)^1/n)
ここで後(cos nz－i sin nz)^1/n= (cos nz＋i sin nz)^－1/nだから、
zをBで置き換えると、
　　
であり、
また、
　　
である。

雨でリズムが乱れる

平日は5時ころ起きて田んぼの草刈りで1時間ほど汗を流している。最近はこれがリズムになっている。今朝も5時に起きて行くつもりだったが、雨が降ってきた。しばらくしたら止んだが、草刈りは取りやめることにした。代わりに6時半のラジオ体操をやった。それでも運動の量が普段と違っていたのだろう、体調がいまいちの一日になった。

自然対数の冪を用いた表示

『オイラーの無限解析』7章の終わりでオイラーは自然対数（双曲線対数）の冪を用いた表示を提示している。
　　log(1＋x)＝i((1＋x)^1/i－1)
ここでiは無限大数である。

整理してみよう。
括弧を外すと右辺はi(1＋x)^1/i－iである。1＋xをzにおきかえて表示すると、
　　log z＝iz^1/i－i
となる。
これが指数の冪を用いた表示（e^z＝(1＋z/i) ⁱ）に対応する対数の冪を用いた表示である。

Amazonの詐欺メール

3日続けて詐欺メール（フィッシング）が届いている。

土
「お客様いつもをご利用いただき、ありがとうございます。新しいデバイスからお客様のアカウントへのサインインが検出されました。」
日
「誰かがあなたのAmazonアカウントで他のデバイスから購入しようとしました。Amazonの保護におけるセキュリティと整合性の問題により、セキュリティ上の理由からアカウントがロックされます。」
月
「あなたのアカウントに異常な活動が検出されましたので、ご注文商品【Apple Wireless Charging Case for AirPods (最新モデル)】はキャンセルされました。」

今日（火）、調べて確信した。よく見ると、土曜日のメールは「主题」（中国語）とあった。しかし、最初は月曜日のメールは信じていた。ウェブからAmazonにサインインすると、カートに注文商品が1つ残っていた。それはわたしが注文してもおかしくない商品だった（記憶になかった。以前注文してレジに進まなかったのだろうか、それとも詐欺の手口？）。これをキャンセルした。キャンセルした注文商品が違っていることに今日気づいた。
Amazonのメッセージセンターからのメールは何もないのであった。

次は虚対数を考える

『オイラーの無限解析』の8章「円から生じる超越量」はオイラーの公式で終わっていない。§138でオイラーの公式（「虚指数量が実の弧の余弦と正弦に帰着される様式」）を提示した後、次の§139で「虚対数が円弧に帰着される様式」を導いている。

これまで全く謎であった。こんどはこれに挑んでみようと思う。

オイラーの公式の内的順序

次の3つはどれもオイラーの公式である。

　　cos x ＝ (e^ix＋e^－ix)/ 2　
　　sin x ＝ (e^ix－e^－ix)/ 2i　
　　e^ix = cos x + i sin x

最初に把握されたのは、（自由調和振動の微分方程式の特殊解の比較による）虚指数量と実の弧の余弦の関係だった。
次は、（級数比較による）e^ix = cos x + i sin xである。
最後は、虚指数量と実の弧の正弦の関係である。これはe^ix = cos x + i sin xが定式化された後、e^－ix = cos x － i sin xとの関係から、式変形によって導かれた。

数式の最後にピリオドをつける

論文の数式は文章の1つで、文末に数式がある場合、数式の最後にピリオドをつけるのが原則だという。この観点から、Latexの原稿を見直してみた。かなりの数の数式が文末あった。

朝汗払暑

今朝は起きるのが5時を過ぎていた。少し迷ったが、田んぼへは行かず、庭の草刈りをすることにした。8時から2時間半ほどやった。朝のうちにたっぷり汗をかいておくと、午後の暑さが冷房を入れなくても、苦にならない。ただし、風は必要である。一昨日、実感した。

一昨日、浜松で国内最高気温（41.1℃）を記録した。部屋の温度計は38℃を示していたが、いつもより少し高いなと思ったくらいで、エアコンを入れることもなかった。その日も田んぼでしっかり汗をかいてきていた。そのためだと思った。朝の草刈りで鍛えられているのだろう。

ニュートン算2

ニュートン算のオリジナルは『普遍算術』（1707年）の問題11である。

もしa頭の牛は広さbの牧草地を時間cで食べ尽くし、そしてd頭の牛は広さeの同様の牧草地を時間fで食べ尽くす。さらに牧草は一様に成長するとき、広さgの同様の牧草地を時間hで食べ尽くすには何頭の牛が必要か。

この後、解説が続き、答が示される。
答
（bdfgh―ecagh―bgcgf＋ecfga）/（befh－bceh）頭

具体例

もし12頭の牛は10/3エーカーの牧草地を4週間で食べ尽くし、そして21頭の牛は10エーカーのちょうど同様の牧草地を9週間で食べ尽くす。36エーカーの牧草地を18週間で食べ尽くすには何頭の牛が必要か。
答　36頭

『ニュートン　無限級数の衝撃』（長田直樹著、現代数学社、2019年）参照