幻視のなかの橋4（改訂）

4　i²=j²=k²=ijk=-1

ij=-ji=kからどのようにして基本公式
i²=j²=k²=ijk=-1
が出現したのだろうか。
次の図を出発としよう。

ここは3次元で3つの軸(実軸1、虚軸i,j)が示されている。
1-i-i²は、垂直の平面を回転して-1に達する。
1-j-j²は、水平の平面を回転して-1に達する。
ここに虚軸k（第4の元k）が付け加わる。

ここでkはij=-jiによって生成すると仮定されたものである。図の青の矢印はij=k、赤の矢印はji=-kである。図は直交関係にある4つの軸（実軸1、虚軸i,j,k)を3次元で表示するため角度の関係は保存されていない。ハミルトンは、ここで1-k-k²の回転の終点を洞察したのである。

ij=-ji=kである。また、i²=-1,j²=-1である。
1　
ij=-ji=kよりijk=k²が導かれる。
ij･(-ji)
=ijk
=(ij)k
=k²
2
k²とi²=-1,j²=-1の関連が洞察される。
k²
=ij･(-ji)
=ijij
=-i(ij)j
=-iijj
=-i²j²
ここで、i²=-1,j²=-1より、
k²
=-(-1)(-1)
=-1
ijk=k²がi²とj²と同時に-1に達したとき、基本公式が誕生した。1-i-i²は垂直の平面を回転して、1-j-j²は水平の平面を回転して-1に達する。ijk=k²は斜面（垂直のようにもみえ、水平のようにもみえる平面）を回転して-1に達する。
3
すべての「虚」が「実」に変換される。
i²=j²=k²=ijk=-1

注

図はウィキペディアの記事（4元数）から拝借した。

は

と虚軸jの向きが違うが、同じ場面である。

は

と同じ場面である。見直せば、4分図（下）は8分図（上）の実軸と虚軸kが重なったものである。4分図では1-k-k²の回転は見えなかった。8分図では2つ軸が分離しているので、1-k-k²の回転をみることができる。これが改良点である。

ウィキペディアの図は矢野忠先生に教えていただいた。感謝いたします。

幻視のなかの橋5

5　公式の整理
　（注、これは「２つの公式の違い」と「発見の意識と無意識」を編集したものである。）

ハミルトンは1843年10月16日、２種類の公式を書いている。
朝、手帳と橋の欄干に書いたもの。
i²=j²=k²=ijk=-1
夜、ノートに書いたもの。
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
この２つの式は４元数の公式として同じものである。しかし、朝の1行の式は「ことの重大性が一瞬に感じとれたこと」、「電気の回路は閉じ、閃光がひらめいた」と形容されているものである。この2つの公式の違いは何なのだろうか。比喩的にいえば、朝の式は迷いのなかでみた光であり、夜の式は悟りのなかで輝く光といえばよいのではないだろうか。
ノートには研究の経緯が述べられている。そのなかで注目すべきは、3元数の積について、特殊な場合と一般的な場合では違いがあったことである。
特殊な場合、
(x+iy+jz) ²
(a+iy+jz)(x+iy+jz)
では、これらはij=0やij=-ji（iとjだけで閉じている）の仮定だけでも3元数は成立していた。
これに対して、一般的な３元数の積
(a+ib+jc)(x+iy+jz)
を考えた場合は、3元では収まらず、「積ijが新しい虚数、ji=-kとしたときのkになるのではないか」という考えがあったことである。4元数が見え隠れしていたのである。
朝の式の核になっているのはijk=-1である。この式がどのように現れたのかは「謎」（ハミルトンにとっても）である。しかし、この式の中でij=0が成立しないことは明確である。ハミルトンにとってij=0（やij=-ji）は空間のベクトルを3元（1,i,j）で完結させたいという願望だったのだろう。
ijk=-1の出現によって、この道が消えたのである。いいかえれば3元数の積は3元では表現できず、第4の元を導入せざるを得ないことが明確になったのである。ijk=-1はij=0を排除して4元数と直面させた。「迷いのなかでみた光」というゆえんである。
しかし、迷いはすぐになくなったわけではない。ノートを読むと、ijk=-1を自覚した後でも、ij=0の可能性に対する未練は残っていたことがわかる。ハミルトンは次のように述べている。
（引用はじめ）
未だに（そしてたぶん前にも）ij=0になることは可能ではないか、と考えていた:そして（朝の思考過程を夜になって思い出そうと試みて）私は信ずるに、この等式ij=0が真であることが分かるのが、奇妙かもしれないが、もっともらしいとさえ考えた
（引用おわり）
感動的な告白ではないか。3元だけで完結させたいという気持ちはそれほど強かったのである。
また、ハミルトンは、k²=1の可能性にもふれている。「一時、k²=1もありそうだと思った」と述べている。
着目してほしいのは、ij=0とk²=1はi,jと等価な第4の元kの存在の否定と対応していて、公式と両立しないことである。しかも、このij=0とk²=1は、
i²=j²=k²=ijk=-1
が喚起された後でも保持され意識されていることである。
これは朝の4元数の発見が無意識のうちに起ったことを意味しているだろう。わたしたちが夜のノートにみるのは、ハミルトンが意識していた願望を修正し、無意識のうちに発見された4元数を追いかけていく過程なのではないだろうか。
（引用はじめ）
こうして、i²=-1とj²=-1だけでなくk²=-1そしてij=k,ji=-kをも仮定するようになった。それからもっともなこととして、ik=-jを仮定するのが適当と考えた。じっさい、ik=iijであり、i²=-1である。そうであるならば、ji=-ijであるからki=-ik=jのように思える。この関係はk=－jiからも導ける。同様にして可能と見えるのは（もしくは、少なくとも自然に仮定されるのは）kj=ijj=-i、jk=-jji=iである。
乗法の仮定もしくは定義は集計して、
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
（引用おわり）（『ハミルトンと四元数』（堀源一郎著、海鳴社、2007）2章　参照）

幻視のなかの橋4

4　i²=j²=k²=ijk=-1

ij=-ji=kからどのようにして基本公式
i²=j²=k²=ijk=-1
が出現したのだろうか。
出発とするのはi²=j²=-1が示されている次の図（矢野忠『四元数の発見』参照）である。

ここでは3次元で3つの元(1,i,j)が示されている。ここにはまったく歪みはない。
1-i-i²は、垂直の平面を回転して-1に達する。
1-j-j²は、水平の平面を回転して-1に達する。
ここに第4の元kが付け加わえる。

ここでkはij=-jiによって生成したものである。実軸の1に重ねてkを示し、実軸に虚軸を重ねている。他方、実軸の負の方向は出発点のままで-1を残している。いいかえればこの図は歪んでいる。しかし、基本公式に出てくるi,j,k,-1は過不足なくすべてそろっている。ここを足場にする。
1-k-k²の回転はこの図のなかでは見えない。垂直でもなければ水平でもない、いわば斜面を回るのである。この回転を幻視する。もちろんこの回転は見えない。しかし、その回転の影は見えるのである。その影とは、i²=-1,j²=-1である。ijk=k²がi²とj²と同時に-1に達したとき、基本公式が誕生した。
1　
ij=-ji=kよりijk=k²が導かれる。
ij･(-ji)
=ijk
=(ij)k
=k²
2
k²とi²=-1,j²=-1の関連が洞察される。
k²
=ij･(-ji)
=ijij
=-i(ij)j
=-iijj
=-i²j²
ここで、i²=-1,j²=-1より、
k²
=-(-1)(-1)
=-1
3
すべての「虚」が「実」に変換される。
i²=j²=k²=ijk=-1

止揚の「間」

ハミルトンは4元数を発見して、3次元空間の点(x,y,z)は、
x+iy+jz
ではなく
ix+jy+kzであることを示した。
基底を3元(1,i,j)から3元(i,j,k)に変えたのである。
これを、1が「止」まってkが「揚」がっていることに着目して、ハミルトンの止揚と名づけた。
3元(1,i,j)
↓　4元 (1,i,j,k)
3元(i,j,k)
これを図で示してみると、
3元(1,i,j)

↓
3元(i,j,k)

である。
上が出発点、下が到達点である。この間に、基本公式
i²=j²=k²=ijk=-1
の発見がある。

注　図は矢野忠『四元数の発見』を参考にしている。

発見の意識と無意識

1843年10月16日の朝、ハミルトンの脳裏に次の公式が浮かんだ。
i²=j²=k²=ijk=-1
その夜、この出来事を振り返って4元数の存在を確かめている。ハミルトンのノートを読んでいて、以前、興味をもったのは、ij=0の可能性について言及されていることであった（「2つの公式の違い」参照）。
ここでは、k²=1の可能性にもふれていることを追加しておこう。「一時、k²=1もありそうだと思った」と述べられている。
着目してほしいのは、ij=0とk²=1はi,jと等価な第4の元kの存在の否定と対応していて、公式と両立しないことである。しかも、このij=0とk²=1は、
i²=j²=k²=ijk=-1
が喚起された後でも保持され意識されていることである。
これは朝の4元数の発見が無意識のうちに起ったことを意味しているだろう。わたしたちが夜のノートにみるのは、ハミルトンが意識していた仮定（思い込み、間違い）を修正し、無意識のうちに発見された4元数を追いかけていく過程なのではないだろうか。
（引用はじめ）
こうして、i²=-1とj²=-1だけでなくk²=-1そしてij=k,ji=-kをも仮定するようになった。それからもっともなこととして、ik=-jを仮定するのが適当と考えた。じっさい、ik=iijであり、i²=-1である。そうであるならば、ji=-ijであるからki=-ik=jのように思える。この関係はk=－jiからも導ける。同様にして可能と見えるのは（もしくは、少なくとも自然に仮定されるのは）kj=ijj=-i、jk=-jji=iである。
乗法の仮定もしくは定義は集計して、
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
（引用おわり）（『ハミルトンと四元数』（堀源一郎著、海鳴社、2007）2章）

虚数のウロボロス

3元数の積の行きどまりを打開する関係ij=-ji=k。この等式の自己表出が高まり指示表出が広がる。これは外積のウロボロス構造として現れる。

ハミルトンの頭の中に気づかれることなく入り込んだみずからの尾をかむ蛇。
このあとでi･j･k（3つの虚数）とi²=j²=-1が結びつくのである。

ハミルトンの止揚

ハミルトンは空間ベクトルを4元数の虚部と同定した。これをハミルトンの止揚とよんでみよう。そのこころは?

ハミルトンは平面のベクトル「複素数」（2元数）と対応させて空間ベクトル「3元数」を構想した。
簡単にたどってみよう。
2元(1,i)
↓　第3の元jの発見
3元(1,i,j)
↓　第4の元kの発見
4元(1,i,j,k)
↓　虚部に着目
3元(i,j,k)

3元の間に着目すると、
3元(1,i,j)
↓　4元 (1,i,j,k)
3元(i,j,k)
ハミルトンは1を「止」めて、kを「揚」げたのである。

2つの公式の違い

ハミルトンは1843年10月16日、２種類の公式を書いている。
朝、手帳と橋の欄干に書いたもの。
i²=j²=k²=ijk=-1
夜、ノートに書いたもの。
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j

この２つの式は４元数の公式として同じものである。しかし、朝の1行の式は「ことの重大性が一瞬に感じとれたこと」、「電気の回路は閉じ、閃光がひらめいた」（An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth.）と形容されているものである。この2つの公式の違いは何なのだろうか。比喩的にいえば、朝の式は迷いのなかでみた光であり、夜の式は悟りのなかで輝く光といえばよいのではないだろうか。

ノートには研究の経緯が述べられている。そのなかで注目すべきは、3元数の積について、特殊な場合と一般的な場合では違いがあったことである。
特殊な場合、
(x+iy+jz) ²
(a+iy+jz)(x+iy+jz)
では、これらはij=0やij=-ji（iとjだけで閉じている）の仮定だけでも3元数は成立していた。
これに対して、一般的な３元数の積
(a+ib+jc)(x+iy+jz)
を考えた場合は、3元では収まらず、「積ijが新しい虚数、ji=-kとしたときのkになるのではないか」という考えがあったことである。4元数が隠顕していたのである。

朝の式の核になっているのはijk=-1である。この式がどのように現れたのかは「謎」（ハミルトンにとっても）である。しかし、この式の中でij=0が成立しないことは明確である。ハミルトンにとってij=0（やij=-ji）は空間のベクトルを3元（1,i,j）で完結させたいという要請・願望・先入観の表現である。
ijk=-1の出現によって、この道が消えたのである。いいかえれば3元数の積は3元では表現できず、第4の元を導入せざるを得ないことが明確になったのである。ijk=-1はij=0を排除して4元数と直面させた。「迷いのなかでみた光」というゆえんである。
しかし、迷いはすぐになくなったわけではない。ノートを読むと、ijk=-1を自覚した後でも、ij=0の可能性に対する未練は残っていたことがわかる。ハミルトンは次のように述べている。
（引用はじめ）
未だに（そしてたぶん前にも）ij=0になることは可能ではないか、と考えていた:そして（朝の思考過程を夜になって思い出そうと試みて）私は信ずるに、この等式ij=0が真であることが分かるのが、奇妙かもしれないが、もっともらしいとさえ考えた
（引用おわり）
感動的な告白ではないか。3元だけで完結させたいという気持ちはそれほど強かったのである。しかし、この後、ハミルトンは気を取り直して、3行のほうの公式を「仮定もしくは定義」として書き下ろしている。
そして、一般的な4元数の積において「乗積の絶対値が絶対値の乗積に等しい」ことを確認し、4元数に拡張したオイラーの公式を導いている。そこでノートは終わっている。

参考文献
『ハミルトンと四元数』（堀源一郎著、海鳴社、2007）1章、2章（ノート）
『四元数の発見』（矢野忠著、海鳴社、2014）2章、3章（ノートの解読）

拡張

2元から４元へ。出発点にもどれるように拡張されていて感動する。

2次式の因数分解（共役に着目）
a²+b²
=(a+bi)(a-bi)
a²+b²+c²+d²
=(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)

オイラーの公式（虚数単位などに着目）
e^ix
=cos x + i sin x
e^ix+jy+kz
=cos √(x²+y²+z²) + (ix+jy+kz)/√(x²+y²+z²) ･ sin √(x²+y²+z²)

幻視のなかの橋2（改訂）

４元数の考察を始めたが、途中から「幻視のなかの橋」というイメージが出てきた。幻視のなかの橋2は、すでに書いていた記事（2つの原則、2元数と3元数、3元数の積）を前提にしていたので、「幻視のなかの橋」の2としては不十分なものになっているように思えた。幻視のなかの橋2を以下のように改訂する。

幻視のなかの橋2

2.1　i²=j²=-1　
複素数の二つの元1とiは次のように表示される。元1を原点Oを中心にしてπ/2=90°回転した位置に元iがある。このiをπ/2=90°回転すると-1が得られる。複素数（2元数）a+biは実軸Re(x軸)、虚軸Im(y軸)の平面上の点(a,b)を表わす。

ハミルトンは複素数の二つの元1とiに対して垂直な第3の元jに気づいた。iがxy平面を回転するのに対して、jはxz平面を回転して－1になる。j²=-1である。j²=i²だが、jはiではない。3元数a+bi+cjは実軸Re(x軸)、虚軸Im(y軸)、虚軸I'm(z軸)の空間の点(a,b,c)と対応するのではないか。これがハミルトンの出発点だった。

図は矢野忠「四元数の発見へ」（『数学・物理通信』1巻11号）より

2.2　２つの原則
ハミルトンが複素数から類推して3元数を構想したとき、端的にいえば、2つの原則があった。
1　体の原則　加減乗除について閉じていること
2　絶対値の原則　絶対値の乗積は、乗積の絶対値に等しいこと
　 |p||q|=|pq|
複素数で2つの原則を確認しておこう。
1　かけ算（だけ）で確認する。複素数同士のかけ算の結果は複素数になる。閉じている。
(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i
2 |p|²|q|² =|pq|²で確認する。
p=a+bi , q=x+yi,pq=(ax-by)+(ay+bx)i
(a²+b²)(x²+y²)=(ax-by) ²+(ay+bx) ²　成り立っている（ラグランジュの恒等式）。
２つの原則は複素数において成立している。
3元数a+bi+cjとx+yi+zjはどうだろうか。
注
(ax-by) ²+(ay+bx) ²
=a²x²-2abxy+b²y²+a²y²+2abxy+b²x²
=a²x²+b²y²+a²y²+b²x²
=a²(x²+y²)+b²(x²+y²)
=(a²+b²)(x²+y²)

2.3　ij=-ji=kの可能性
3元数a+bi+cjとx+yi+zjの積をみる。
(a+bi+cj)(x+yi+zj)
=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+bzij+cyji
下線部の項によって3元数の積は3元数にはならない。ij=X+Yi+Zjと変形できるとも思えない。閉じていない。3元数は体の原則を満たしていないのである。
下線部を0とみなして、絶対値の原則と照らし合わせてみる。
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²
この式は成り立っていない。左辺は右辺より(bz-cy)²だけ大きい。
すなわち、
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²+(bz-cy)²
なら成り立つのである。
このbz-cyは下線部bzij+cyjiと密接に関係している。すなわち、ij=-jiと想定するとbzij+cyji=(bz-cy)ijである。
いま、3元1,i,jに加えて第4の元が見え隠れしている。ij=-ji=kとおこう。

2.4　k²=-1
i²=-1,j²=-1を基礎にk²の値を調べてみよう。
k²=(ij)²=ijij=-i(ij)j=-iijj=-i²j²=-1
i²=j²=k²=-1である。虚数単位として整合的ではないか。単独で図示すれば次のようである。

これは２元の図でiにkを重ねた図である。こちらは問題はない。
だが、1,i,jの関係と連立させて図示するとどのようになるのだろうか。

これは3元の図で1にkを重ねた図である。実軸は虚軸に隠れている。1とkは下の図では重なって見えるが、角度を変えて見ると上のように1とkは垂直である。