晩秋、初冬？

庭を歩く。水仙はつぼみが目立ち、すでに咲いているのもある。山茶花もつぼみの中に花びらの赤色が見える。千両は緑の葉を広げ赤い実をつけている。今年は黄色い実をつけているのもある。みかんは収穫を待っているようである。冬の到来である。紅葉しているのは、ナンキンハゼ、レンギョウ、ドウダンツツジ、それにイロハモミジである。

青もみじは初夏だが、赤もみじは？　晩秋なのだろうか、初冬なのだろうか。11月最後の日。

100429の歴史的背景

『世界の見方の転換』1を読んだのは、今年になって楕円軌道とエカントの関係に着目してからである。プトレマイオスの等化円（「離心率の二等分」）が楕円発見の「合理的核心」という位置づけは読む前からすでに考えていた。第1章7離心円・等化点モデルの精度、に3つの図が示してあった（注）。
1プトレマイオスの等化点をともなう離心円・周転円モデル、外惑星の場合
2太陽中心系で見た離心円・等化点モデル
3ケプラー運動
である。
ここには漠然と思い描いていた等化円（「離心率の二等分」）の「合理的核心」の関係がすでに明確に図示してあるように思われた。これを引用するだけでよい、わたしの出番はないと思っていた。
しかし、付記の「金星軌道のパラメータの決定」を『アルマゲスト』第10巻第3章と対照させて読んでから、違うアプローチがあるのではないかと思えてきた。山本義隆の説明は「離心率の二等分」に偏重していて、等化円が隠れているように思われたのである（「等化点Eの問題点」参照）。山本義隆とは別の観点から「合理的核心」の図を提起しようと思った。楕円発見の補助線と補助円である。
等化円（「離心率の二等分」）の「合理的核心」の図は次のようになった（「等化円の導入と楕円の発見」参照）。

これは「100429の数学的背景」と対比していえば、「100429の歴史的背景」である。

（注）
1プトレマイオス
2太陽中心系
3ケプラー

ナンキンハゼの紅葉

昨年まではナンキンハゼの枝が道路にはみ出てしまい、何度が枝を切り落としていた。今年は春先に道路に面する南側の枝は初めから切り落として、枝は庭の方にだけ伸びてくるようにした。これはうまくいった。
庭のナンキンハゼは野生えで、名前が長い間わからなかったが、昨年やっと確認することができた。I市の街路樹がきっかけになった。
G県図書館の北側に隣接している美術館の入り口にナンキンハゼの木が立っている。少し前に、この木には実がついていた。庭のナンキンハゼは、花は咲くが、これまで実ができていないのではないかと思う。今年は注意深く見ているが、実も種もできていない。
葉は色づいてきている。ナンキンハゼは紅葉を楽しむ木だという。

渋柿の実とヒヨドリ

鳥が実をついばんでいる。カメラを持ってくるともう鳥はいない。カメラを構えて待っていると鳥が来ない。なかなかタイミングが合わない。カメラを持っている。鳥もいる。しかし、ピントが合わない。鳥の撮影は容易ではない。
朝、玄関を開けるとヒヨドリが渋柿の実を啄んでいた。カメラを取りに行って戻っても、まだいた。10数枚、撮れた。

嘴が柿の実に隠れているせいだろうか、ヒヨドリの馴染みのある顔ではなく、何か哺乳類の小動物の顔のように見える。

ログインGoogle vs Amazon

昨日、YouTubeにGoogleのアカウントでログインしようとしたら、拒否されてしまった。これまでと違うパソコンでログインがなされていることを感知しての対応のようだった。「他のユーザーがあなたのパスワードを使用しました」とメールが来た。時間と場所が記してあって、場所はA県K市、隣町になっていた。携帯の方にも注意のメールが来ていた。どのようにすればよいのか、最初はわからなかった。スマホを使う対処の仕方が書いてあったがスマホを持っていないので、どうしょうもないと最初は思っていた。しばらくして携帯でもできると気付いた。携帯に送ってもらった証明コードを打ち込んでやっと認知してもらえた。「新しいパソコンでのログインに成功しました」とメールが来た。
他方、Amazonの方は以前と同じようにそのままログインできた。
Googleは考えすぎではないか。Amazonで十分ではないか。

速さの比較、離心円と楕円

プトレマイオスの離心円上の惑星とケプラーの楕円上の惑星の速さを比較してみよう。

楕円軌道上の惑星は、面積法則（面積一定の速度）で回転する。遠日点Hでの速さをv₀、遠日点から90°の点Kでの速さをv_K、近日点Iでの速さをv_xとする。Fからの距離に着目すると、
FH ＝1＋e
FI ＝1－e
FK ＝1
である。だから、面積法則より、次の関係が成り立つ。
1/2･(1＋e)･v₀＝1/2･(1－e)･v_x＝1/2･1･v_K
したがって（前2項より）、v_x＝(1＋e)/(1－e)･v₀
また（両端より）、v_K＝(1＋e)･v₀
である。
他方、離心円上の惑星は、等化点（エカント）Eのまわりを一定の角速度ωで回転する。遠日点Hでの速さをv₀、遠日点から90°の点Pでの速さをv_P、近日点Iでの速さをv_yとする。Eからの距離に着目すると、
EH ＝1－e
EI ＝1＋e
EK ＝√(1＋e²)
である。だから、次の関係が成り立っている。
v₀＝(1－e)ω　　　(1)
v_y＝(1＋e)ω　　　(2)
v_P＝√(1＋e²)ω　　(3)
(1)より、
ω＝v₀/(1－e)　　　(∗)
(2)に入れて、
v_y＝(1＋e)/(1－e)･v₀
したがって、v_x＝v_yとなり、近日点では同じ速さで回転していることがわかる。
(∗)を(3)に入れると、
v_P＝√(1＋e²)/(1－e)･v₀
ここで、1/(1－e)＝1＋e＋e²＋…
また、√(1＋e²)＝1＋1/2･e²－1/8･e⁴＋…
だから、
v_P＝(1＋1/2･e²－1/8･e⁴＋…)(1＋e＋e²＋…)
となる。ここで、離心率eの1次までとると、
v_P≒(1＋e)･v₀
したがって、v_P≒v_K
遠日点から90°の地点ではほぼ同じ速さで回転していることがわかる。

プトレマイオスの離心円上の惑星とケプラーの楕円上の惑星はほぼ同じ速さで回転している。プトレマイオスのモデルはケプラーの第１法則（楕円）と第２法則（面積）のとても良い近似だったのである。

参考文献
「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」（「FNの高校物理」）

新しいパソコン

パソコンWindow7は不安定になってきていた。７年である。月曜日は午前中に記事を子供のパソコンから投稿した後、新しいパソコンを買いに行った。F社のデスクトップを予定していたが、少し迷った後、N社のノート（テンキーが付いている）にした。午後2時頃帰ってきて、梱包を解き、部屋を整理して、設定を始めた。５時間ほどかかった。
昨日も設定を続けた。新しいパソコンから画像も含めて記事を投稿できた。
いろいろ戸惑うところがあった。大きいのはWindows10のブラウザ「Microsoft Edge」だろうか。どうも使い勝手がよくない。今日は「Internet Explore」が使えるように設定した。これで落ち着けそうである。
部屋もすっきり、広くなった。気に入っているアプリのインストールがしばらく続く。

黄実の千両

今年は千両がよく育っている。赤い実の千両である。庭を歩くとき濃くなっていく赤い実を見るのが楽しみの一つである。蜜柑の実をいくつか取るつもりだった。木の下にいくと、茶の木の傍らに、黄色い実があることに気づいた。今年初めて実ったのだろうか。それとも、これまでもな（生）っていたが気づかなかったのだろうか。若い実もある。まだ色も濃くない。黄実の千両、楽しみが増えた。

等化点の導入と楕円の発見

楕円軌道の発見におけるプトレマイオスとケプラーの関係は、弁証法発見のヘーゲルとマルクスの関係と対応しているのではないか。このように考えはじめていた。プトレマイオスが導入した「離心距離の二等分」は神秘的な外皮に隠されている。プトレマイオス惑星理論の「合理的核心」を把握するにはひっくり返さなければならない。
コペルニクスは天地を転倒し、惑星軌道は地球中心から太陽中心に変わった。ケプラーはこの惑星軌道で「離心距離の二等分」を継承し、楕円軌道を発見する。楕円発見の過程はすでに見てきた（「楕円軌道の発見」参照）。ここではプトレマイオスとケプラーの関係に焦点を当てることにする。

ケプラーが楕円を発見する火星の軌道に、プトレマイオスが金星で導入した等化点と等化円を描いてみる。『新天文学』の火星と『アルマゲスト』の金星をつないでみるのである。プトレマイオスの等化円の特徴は、遠日点で離心円に内接していて、離心円の中心が等化点と離心点を二等分していることだった。離心円の半径を1、離心率をeとすると、等化円の半径は1－eである。

ケプラーが『新天文学』第32章で描いた等化円は離心円と同じ半径だった（「速さと遅さ」参照）。その等化円を1－e 対1の比で縮小し、遠日点Hで内接させてみる。楕円軌道も描いてある。

Fは離心点、Cは離心円の中心、Eは等化点である。等化円は細い線で描いてある。Hは遠日点、Iは近日点である。PとKは楕円軌道発見の現場で、「平均的な長さを取るところでは正割の代わりに半径を用いる」箇所である。Pは離心円上の点、Kは楕円上の点である。
長さを見ておこう。離心円の半径CH＝CP＝CIを１、離心率をeとする。CF＝CE＝e、EH＝1－e、EI＝1＋eである。

PE は直角三角形PCEに三平方の定理を適用して
PE ＝√（1＋e²）となる。
この PE は「離心距離の二等分」より PF に等しい。ケプラーが使った火星の離心率eは0.009265で、√（1＋e²）を計算してみると1.00429になる。これが正割の値に対応している。ケプラーを目覚めさせた正割は、遠日点から90°離れた離心円上の点Pとプトレマイオスが導入した等化点Eとの距離に対応する。楕円発見の端緒には「離心率の二等分」が背景にあった。（注）

ケプラーは正割の代わりに半径を用いる。すなわち、 PF ＝1.00429ではなく PC ＝1を用いる。これが端緒だった。Fを中心に半径1で弧を描きPCとの交点をKとする。それが正しい火星の位置である。 KF ＝1である。直角三角形KCFに着目し、三平方の定理を使うと、 KC ＝√（1－e²）である。これが楕円の短半径となる。
離心点Fと等化点Eは全く動いていない。離心点Fと等化点Eは離心円の中心Cによって二等分されたまま、離心円から三日月形が切り取られることによって、楕円の焦点となっている。「離心距離の二等分」は自然の秘密の鍵であり、プトレマイオス惑星理論の「合理的核心」だったのである。
（注）
「100429の数学的背景」では、離心円上にある惑星と太陽の間の距離を離心アノマリアβを使って求め、べき展開して近似式を導いた。それは離心率eの２次までの近似で次のようになった。
r=1+ecosβ+e²/2・sin²β
β=90°を代入したときがPFの距離になる。
PF ＝ 1+e²/2
ここに火星の離心率e=0.09265（ケプラーの値）を代入して、1.00429を導いた。

しかし、ここでは、等化点Eと離心円上の点Pとの距離 PE と「離心率の二等分」という仮定だけを使っている。離心円上の1点Pだけに着目した展開だが、興味深いと思われる。（だれかこれまでに指摘しているだろうか。）
√(1＋e²)をべき展開すると
1＋1/2・e²－1/8・e⁴＋…
となり、2次までとると
1+e²/2
となり、同じ結果を与えることがわかる。

樒の実2

シキミの実はすでにすべて落ちていた。10数個拾い集めた。そのうち形が整っている実を9つ並べてみる。3時の位置の実は以前撮った7角形の実だろう。あとは8角形の実である。6時の位置の実は種が見えている。

種を発芽させるつもりで実を集めたが、今の木に肥料を与えて力強く成長させた方がいいような気になっている。