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平成21年度和算に挑戦の正解が発表された[1]。私が公表した解答例はすべて正解であることを確認した[2][3][4][5]。正解例を見る限り、予想した解答例が多かったと思う。初級や中級問題は簡単だと思ったが、小学生や中学生の感想を見る限り難しいと感じた人も多かったようだ。上級問題は予想通り私が公開した解答と同趣旨の解答が一番多く投稿されたようだ。補助線を使えば正弦定理を使わなくても解くことができるようだ。問題考案者の解答は相似関係を使って解いているようだが、よくこのような解法を思いついたと思う。
来年度もよい問題の出題を期待している。
参考
[1]一関市博物館: "和算に挑戦 - 平成21年度" 2010.3.5
[2]世界変動展望 著者:"一関市博物館、平成21年度和算に挑戦の解答例について" 世界変動展望 2009.12.2
[3]世界変動展望 著者: "一関市博物館、和算に挑戦-平成21年度初級問題解答" 世界変動展望 2010.2.1
[4]世界変動展望 著者: "一関市博物館、和算に挑戦-平成21年度中級問題解答" 世界変動展望 2010.2.2
[5]世界変動展望 著者: "一関市博物館、和算に挑戦-平成21年度上級問題解答" 世界変動展望 2010.2.3
愛知県公立高校Aグループの入学試験が11日実施された。昨日はその関係ですごいアクセス数だったので、要望に基づきAグループ数学の解説を作成した。時間をかけて作ったものではないので、簡潔な解説ではない部分もあるが御了承いただきたい。解説が不要なほど簡単な問題は解説を略した。問題と解答は参考[1][2]を見ていただきたい。
実施日 2010年3月11日 試験時間 40分
解いた感想としては昨年より易しくなったと思った。公立高校入試としては標準的難度だと思う。制限時間内に全部解くのは難しいと思うが、4(2)②までなら時間内に解くのは難しくないだろう。4(3)①②はやや難しい問題だと思うが、解けないほどの難問ではない。この2問は捨て問としてもよいと思う。この2つを捨てても18点(満点20点)だから、これだけ取れれば最難関の旭丘高校でも十分合格点がつくだろう。
4(3)が全問中一番難しい。よくこんな問題を考え出したと感心する。問題の条件から△DFG∽△DAG , FG // ACに気がつくところがポイントだと思う。本問の解説は一例だが、よく検討した上での解説ではないからもう少し検討すれば他にもっと簡潔な解法が見つかるかもしれない。
合格点だが、毎年野田塾などで推測データが公開されるのでそれを参考にしてほしい。今年の問題は昨年より簡単だからおそらく合格点は上がるのではないかと思う。
今年も去年と変わらず難しい問題は最後の図形問題だけで、あとは基本や標準問題なので教科書や標準的な問題集の演習をきちんと行い、確実に得点できることが合格の鍵となるだろう。愛知県の公立入試数学は制限時間が短く最後に難しい問題がでるので、制限時間内に解いて満点を取るのは難しいと思うが、最難関校の旭丘高校でも合格点は9割程度だから、満点を目指す必要はないと思う。毎年2問くらいは捨て問にできるので、基本問題や標準問題をはやく確実に解けるだけで十分だと思う。
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追加記載 2010.3.13
上述したとおり、本文の解説を作った段階ではあまり検討せずに「答えが出ればよい。」という感覚で解説を作りました。4(3)①②はもっと簡潔な解法があり、本文の解法は実践的な解法ではありません。特に4(3)②は本文の方法だと最終的な答えは出ますが計算量が多すぎて解答時間が足りなくなると思います。
本文ではIからBCにおろした垂線の足をLとし、△ILCに三平方の定理を使うことでICの長さを求めたり、△AFH ∽ △CEH を使ってAHの長さを求めていますが、具体的にAH,HI,ICの長さを求めなくても△AFH ∽ △CEH、△DFG ∽ △DAC、△EHI ∽ △EFGを使えばAH : HI : IC = 4 : 1 : 2を求めることができます。
具体的には、△AFH ∽ △CEHより、AH = (4/7)AC ・・・(1)''
△DFG ∽ △DACより、FG = (1/3)AC
これと△EHI ∽ △EFGより、HI = (3/7)FG = (1/7)AC ・・・(2)''
IC = AC - AH - HI = (2/7)AC ・・・(3)'' (∵ (1)'' (2)'')
(1)'' (2)'' (3)'' より AH : HI : IC = 4 : 1 : 2 となります。
これを使えば多少計算時間を短縮できると思います。この解法なら本文のようにILを補助線として使う必要はありません。その意味でも簡潔だと思います。
もっと簡潔な解法があるかもしれませんが、それは近日発売されるであろう愛知県公立高校過去問集に譲りたいと思います。
参考
[1] 愛知県公立高校Aグループ数学平成22年度 問題 佐鳴予備校HP 2010.3.11
[2] 愛知県公立高校Aグループ数学平成22年度 解答 佐鳴予備校HP 2010.3.11
最近サービス期間でアドバンスを申し込んだ人だけが使えるgooのアクセス解析や画像アップローダーが使えるので、早速使ってみた。アクセス解析を使ったところ携帯電話からのアクセスがずいぶんあることに驚いた。
[gooアクセス解析によるブラウザ数]
[ブンブンカウンターによるブラウザ数]
[goo解析による閲覧数等]
[ブンブンカウンターによる閲覧数等]
上図のとおり、gooアクセス解析はドコモ携帯からのアクセスをカウントするが、ブンブンカウンターはカウントしていない。まさかドコモからのアクセスが396件もあったとは。携帯から見ている人は意外と多い。
それにしてもgooアクセス解析とブンブンカウンターのアクセス数等の開きは依然として大きい。これは前に調査したことがあったので知っていたが、なぜ両者のアクセス数に大きな差があるのか理由がわからなかった[1]。両者は明らかにアクセス解析の手法が異なるが、カウンターの種類で数値がずいぶん変わるようではユーザーにとってどの数値が信用できる実態的なアクセス数なのかわからない。
経験上、gooアクセス解析の数値はブログ開設当初からアクセス数1日平均50を超えることが多く、ネットで公開されている平均的なアクセス数と比較すると高すぎる値であり、ブンブンカウンターの方が実態的なアクセス数に近い気がする。
それにしてもgooアクセス解析はgooglebotからのページビュー数を393もカウントしている。検索クローラーのアクセスをこれだけカウントしたら開設したばかりのブログでもアクセス数50/日、閲覧数 100/日を超えるわけだ。2010年3月9日のブンブンカウンターでは「crawl-66-249-68-145.googlebot.com」は2件しかカウントしていない。gooアクセス解析の閲覧数は高くなりすぎるわけだ。
私の推測ではgooアクセス解析よりブンブンカウンターの方が実態的なアクセス数に近いと思っているので今後もブンブンカウンターの方を参考にしていくが、携帯電話からのアクセスを考えると、ブンブンカウンターの表示より少しユニークアクセス数や閲覧数は高そうだ。
参考
[1]世界変動展望 著者:"gooブログ表示のアクセス数、閲覧数は疑わしい" 世界変動展望 2008.11.16
問題
3x + 6y = 500 を満たす整数x,yは存在しないことを示せ。
[証明]
3x + 6y = 500 を満たす整数x,yは存在すると仮定する。
左辺 = 3(x+2y) だから、左辺は3の倍数である。しかし、右辺は500だから3の倍数ではない。これは不合理である。よって、3x + 6y = 500 を満たす整数x,yは存在しない。
[証明終了]
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4日に実施された宮城県公立高校入試数学AB第四問2(2)では、これと似たような出題がなされた。高校で背理法を学べば簡単だが、中学生にとっては背理法を用いた証明は学習範囲外だ。中学生でも考えれば理解できる内容だが、中学校で学ぶ内容を基礎に自分で内容を発展させて高校で学ぶ定理や概念を発見し解答しなければならない問題はよい問題ではない。
問題
52010 の最高位の数値を求めよ。ただし、log102 = 0.30103, log103 = 0.47712 とする。
[解答]
log105 = log10(10/2) = 1 - log102 = 0.69897
log1052010 = 2010log105 = 2010 × 0.69897 = 1404.9297
∴ 52010 = 101404.9297 = 100.9297 ・101404
よって、100.9297 の最高位の数値を求めればよい。
log108 = 3log102 = 0.90309, log109 = 2log10 3 = 0.95424 だから、
8 = 10log8 < 100.9297 < 10log9 = 9 (logの底は10)
従って、52010 の最高位の数値は 8 である。 ・・・ (答)
[解答終了]
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本問と同様の問題はいくつかの問題集で取り上げているだろう。簡単な問題なのできちんと理解してほしい。
昨日の本ブログへのキーワードをみると、宮城県公立高校入試数学の解答を求めていた人が多かったので、昨年に続いて解説を作成した。去年作った解説の影響でキーワードをもとにアクセスした人が多かったのだろう。解説は難しいB問題の方を作成した。A問題の第一問から第四問はB問題と共通である。A問題第五問の解説は各自考えてほしい。また、解説が不要なほど簡単な問題や参考[2]を見れば十分の場合は、解説を省略した。省略した解説を必要とする方はコメント欄に投稿してほしい。問題と解答は参考[1][2]を見てほしい。
試験実施日 2010年3月4日 試験時間 50分
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難易度は昨年と同じかやや簡単だと思う。宮城県公立高校の入試問題は昨年と今年解いてみただけなので一般の公立入試の難度と比較するのは難しいが、公立高校入試としては標準からやや難レベルではないかと思う。宮城県の問題は記述問題が多い点で他県より少し難しいと思う。
宮城県はよく知らない地域なのでなんともよくわからないが、だいたいどの都道府県もトップ校は90点くらいの成績が要求されるので、トップ校を目指す受験生は85~90点を目標にすべきだと思う。試験時間を考慮しても、きちんとやれば90点以上取れると思う。難問はない。
ただ、第四問2(2)は悪問だと思う。解答を見る限り、高校で習う背理法を聞いているのと変わりなく、高校範囲の先取り的な出題で、中学校の範囲内で作問していないからだ。
第四問2(2) は 3x + 6y = 500 を満たす整数解( x, y )は存在しないことを証明せよというのと同じだが、公表されている解答例は背理法と同じだ。つまり、x,yを整数と仮定すると3x + 6yは3の倍数だが、500は3の倍数ではないため矛盾が生じるので、整数解( x, y )は存在しないと述べているのと何ら変わらない。背理法による証明そのものである。
確かに公表されている解答例のように考えれば商品B,Cで桜もちを500個にできない理由はわかるが、背理法による証明と同じことを尋ねるのは学習範囲の逸脱であり、感心しない。また、解答方法を高校範囲まで広げても背理法による証明法以外に適切な証明法はない。中学校の範囲でも一つだけ証明法が考えられるが、制限時間を考えると現実的ではなく、解答スペースから考えても出題趣旨と異なるのは明白だ。本問に関しては採点対象からはずしてもよいくらいだと思う。
一部不適切な問題はあるが、他は標準的な問題なので公立高校入試レベルの演習を行いたい受験生はチャレンジしてみるのも悪くないと思う。
参考
[1] 宮城県公立高校入試数学B問題 2010.3.4
[2] 宮城県公立高校入試数学B解答 2010.3.4