雨を待つ

　物置に使っている家屋（平屋）の雨樋が、2、3年前からだめになっている。中央付近の留め金が錆びて取れてしまって、雨が降ると樋がくぼみ、そこに両方から雨が集中して、そこから直接、庭に雨水が落ちるようになっている。樋をつたって側溝に雨水を処理できないのである。古い家なので金をかけて修理する気は起らず、そのままにしてきたが、最近の台風の時など、こちらの2階から見ていると、さすがに修理しようと思うようになった。
　背の高い（2メートルほど）脚立があればできるのではないかと思っていた。なかなか思い切れなかったが、先週、他にも用途がある（樹木の剪定など）と思って、思い切って購入した。今週はそれを使って、雨樋の応急処置を行った。最初は留め金で固定するつもりだったが、針金でも固定できることに気づいて、針金で処理した。
　明日は雨の予報である。雨水は樋をつたって、側溝に流れていくだろうか。

自然対数と自然指数

自然対数log(1＋ω)＝ωは、自然指数（底がeの指数）
　　　　　(1)
に対応する。
これは、
　　
　　
　　
となるから、(1)式はのx＝0における微分の値が1であることを示している。
　ひるがえって、自然対数log(1＋ω)＝ωは、log xのx＝1における微分の値が1であることを示している。

ネイピア数の導入と自然対数の性質

　オイラーはネイピア数（自然対数の底）を導入した。
　　
　　
　この直後の節（§123）で、オイラーは「それゆえ、双曲線対数（自然対数のこと）には、数1＋ωの対数がωに等しくなるという性質が備わっている」と述べている。
　任意の対数
　　
でk＝1（a＝e）とすれば、log(1+ω)＝ωになることはわかる。しかし、ネイピア数の導入と直結している「それゆえ」がわからなかった。

　次のように考えればよいことに気づいた。ネイピア数の導入
　　
において、1/n＝ωとおくと、左辺は
　　
となる。
　ここで両辺の対数（底e）をとると、
　　
　　
したがって、log(1+ω)＝ωである。

自然対数の値を効率よく求める

　任意の対数の級数表示は
　　
だった。自然対数（k＝1、a＝e）は
　　　　　　(1)
となった。これはニュートン・メルカトルの公式である。
　オイラーは、この式から、非常に早く収束する公式を導いている。(1)のxを負に見ると、
　　　　　(2)
となる。(1)－(2)より、
　　　　　(3)
　ここで、x＝1/5、1/7、1/9の場合を計算して、
log6/4＝log3/2、log4/3、log5/4の値を求めている。そして、
　　log2＝log3/2＋log4/3
　　log3＝log3/2＋log2
　　log4＝2log2
　　log5＝log5/4＋log4
　　log6＝log2＋log3
　　log8＝3log2
　　log9＝2log3
　　log10＝log2＋log5
により、log2からlog10までの自然対数の値を小数点以下25桁まで計算している。log7は例外で、(3)でx＝1/99とおいて、log100/98＝log50/49を計算して、log50－log50/49＝log49＝2log7より求めている。（log50＝2log5＋log2）

kは底aの自然対数に等しい2

「kは底aの自然対数に等しい1」では、底aと底eの対数の級数表示の比較からk＝log aになることを見た。こんどは、はじめの設定
　　
から、k＝log aになることを見ておこう。
　　
ここで、ω>0、>1である。
　　　　　(1)
とおくと、→0のとき、→1である。したがって、h→0である。

(1)式で両辺の対数（底a）をとると、
　　
である。また、－1＝hである。
　したがって、
　　　　　　(2)
である。ここで
　　
だから、(2)式は
　　
となる。
　したがって、k＝log aである。



　

kは底aの自然対数に等しい1

　底aと底eの対数はそれぞれ次のようだった（底eのeは省略）。
　　
　　
　ここで、1＋x＝aとおくと、
　　
　　
である。したがって、k＝log aとなる。kは底aの自然対数に等しい。
　これを任意の指数関数
　　
　　
に入れると
　　
　　
となる。これが一般的な指数関数の冪表示と級数表示になる。

他方、任意の対数関数
　　
に、k＝log aを入れると、
　　
となる。これが任意の対数関数の級数表示と自然対数の関係である。特に、a＝10のとき、すなわち常用対数と自然対数の関係は次のようになる。
　　
となる。ここでlog10の値は以前見たように、2.30258…である（1/log10は0.43429…となる）。

指数記号eの導入3

　オイラーは冪に着目して、
　　
を起点に、一般的に指数関数と対数関数の冪表示と級数表示を導いた。
　指数の冪表示から底aと数kの関係を導いて、k＝1のときの底aをe（ネイピア数、自然対数の底）とした。
　　
　　
　eを導入することによって、ヤコブ・ベルヌーイの無限複利法によるeの表示、の無限級数表示、双曲線の下の面積（メルカトルの公式）を「算術的な世界」（志賀浩二）から把握した。これらは冪から構築した指数関数と対数関数を検証する道筋に位置づいている。

指数記号eの導入2

　aとkの一般的な関係
　　
　　
において、k＝1とおくと、
　　
　
となる。このときの底aをオイラーは文字e（注1）で表わすことにした。すなわち、
　　
　　
である。
　上の形はヤコブ・ベルヌーイの「連続複利の元利合計」、下の形はヨハン・ベルヌーイの「対数が1となる数」（注2）が背景にあるだろう。
　オイラーは計算して、e = 2.71828 18284 59045 23536 028の値を出している。

注1
　文字eはEulerのeというよりも、exponential（指数）のeだろう。オイラーはネイピア数とは言っていない。自然対数もしくは双曲線対数の底を表わしていると言っている。
注2
　志賀浩二『数の大航海』に次のようにある。

ヨハン・ベルヌーイは、1696年12月にライプニッツに宛てた手紙の中で、対数を積分する過程で、対数が1となる数をcと表わし、cは
　　
と表わされ数であると伝えている。

指数記号eの導入1

（これは「指数と対数の冪表示と級数表示」の続きである。）

　任意の底a
　　
から始めると指数と対数の冪表示と級数表示は次のようになる。これは『オイラーの無限解析』7章の展開と対応する。


　底a と数kは依存している。オイラーは7章のはじめに、a＝10のときkω＝1/1000000（百万分の1）を例にとって、kの値を求めている。a＝10は常用対数になるから、対数表を用いて、
　　
より、k＝1000000/43429＝2.30258となる。a＝10のとき、k=2.30258である。
　aとkの一般的な関係は、指数の冪表示と級数表示（上の表の左下2つ）において、x＝1と置くと明示される。すなわち、
　　
や
　　
で表示される。

行列に並ぶ

　新型コロナウイルス感染症対策として、I市はプレミアム商品券を売りに出した。１セット5000円（500円×14枚綴り）で4セットまで。5000円で2000円のプレミアムが付く勘定になる。お値打ちである。
　郵便局で9時販売開始。8時40分ごろ着いたが、すでにかなりの行列になっていた。普段は駐車場になっている場所まで列は伸びていた。自転車は奥の方に誘導された。最後尾に並んで待っていると、どんどん人が増えてきた。開始直前、並んでいる位置は先頭から1/3ほどと思われた。先頭の人は7時に来たと言っていた。知り合いも並んでいた。列が動き始めて、15分ほどで順番が来た。４セット買った。帰るときも行列は伸びていた。いったい、何セット準備しているのだろうか。
　家に着くと９時２5分だった。時給8000円の立ち仕事になった。