カタランの三角形2

カタランの三角形をもう少し拡大してみよう。

1		111	111	111	111	111	111	111	111
1	1
1	2	2
1	3	5	5
1	4	9	14	14
1	5	14	28	42	42
1	6	20	48	90	132	132
1	7	27	75	165	297	429	429
1	8	35	110	275	572	1001	1430	1430
111	191	44	154	429	1001	2002	3432	4862	4862

パスカルの三角形では、三角形の対称軸（正方形の対角線）に並ぶ数列には、次のような関係が成り立っていた。
1²＝1
1²＋1²＝2
1²＋2²＋1²＝6
1²＋3²＋3²＋1²＝20
1²＋4²＋6²＋4²＋1²＝70
…
同じようにカタランの三角形でも、正方形の対角線に並ぶ数列（カタラン数）は、角行の動きに並ぶ数列の2乗の和で構成されている。
1²＝1
1²＝1
1²＋1²＝2
1²＋2²＝5
1²＋3²＋2²＝14
1²＋4²＋5²＝42
1²＋5²＋9²＋5²＝132
…
1²＋8²＋27²＋48²＋42²＝4862

参考　　パスカルの三角形

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84
1	5	15	35	70	126
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84			924
1	8	36					3432
1	9							12870
111	111	111	111	111	111	111	111	111	48620

1²＋9²＋36²＋84²＋126²＋126²＋84²＋36²＋9²＋1²＝48620