三角関数の一つの学び方

三角関数の一つの学び方を思いついた。

 

これは円の中心から引いた円周上の一点に引いた円の半径の射影でcos 関数とかsin 関数を導入することからはじめる、学び方である。

 

普通の三角関数の書でもこのことについて書いてあるので、これは私の発明ではないが、いわゆる直角三角形の三角比だとかの三角形のいろいろな性質から始める三角関数の学び方とは始まりは違うようにしたい。

 

そのとき、cosのグラフだとかsinのグラフの対称性も重要となってくる。cos関数の方はy軸対称の偶関数だから面倒ではないが、sin関数の方は奇関数で原点対称だが、そのことはあまり有用ではないというか、わかり難いというのが私の考えである。

 

それよりもsin関数をy軸に関して鏡映したグラフsin (-x)とsin関数のx軸に関して鏡映したグラフ-sin xとが同一だということの認識をどう示すか。つまりsin (-x)=-sin xをどう示すかを考えたほうがよいかのではないかと思っている。

 

歴史的に三関数は三角比からでてきたから、直角三角形と関連して、三角比だとかの話もどこかでしなくてはいけないが、はじまりはこういう風に始めたい。そのほか三角関数の数値をどうやって求めるかだとか、いまではよく知られている数値計算の知識も補いたい。

 

これは三角関数の還元公式についてのテーマを考えていて、思い至ったことである。なんでも深く学び、考えることが重要である。

 

（２０２５．４．１６修正）どなたかがこのブログを読んでくれたので、私も再度読んで表現が適切でなかったところ等を修正した。しかし、ひょっとするともう昔のブログを書いた初心を忘れているので、間違った修正をしているかもしれない。その節は平にご容赦のほどをお願いしたい。

まだ、放心状態ではないが、

まだ、放心状態ではないが、「数学・物理通信」の一つの号を発行してほっとしている。

１３日に月曜日に発行するつもりでいたが、他のことに気をとられて発行しなかった。そのことに気がついたのは１３日の夕方だった。それで、昨日の１４日はどうしても12巻3号を発行するつもりになった。

それで午前中に発行したのだが、送り先は多いので、送り先によっては午後になったかもしれない。

発行したのち、送付先のメールアドレスの整理を行った。私の友人、知人の中には私の家族とか親戚とかも入っていたので、それらを別のファイルにした。

というのはあまりにも多くの配布先に一度に送るので不具合が起こることもあるかもしれないからである。

まだ、今月にもう一号の12巻4号を発行しなくてはいけない。

ようやく少しづつ売れ始めたらしい

私の本がようやく少しづつ売れ始めたらしい。2014年10月に初版2000部発行された私の本『四元数の発見』のことである。

数年前に出版社に聞いたところでは１年に売れても70部くらいで、そのころはまだ500部の在庫があるということだった。

改訂版を出したいのだが、と問い合わせたのだが、その可能性は初版が全部売切れての上の話だと言われた。取りつく島もなかった。

500部で年間最大で70部しか売れないのでは、少なく見てもそのときは７年以上かかる見込みだった。それに税込みで2200円が定価で高くはまったくない本の海賊版みたいなのがその当時は横行していて、無料のpdfを配布する人がインターネットのサイト上に何人もいた。

一万円を超える本なら、海賊版が出没するのも理解できなくもないが、税抜きなら2000円の定価の本の海賊版みたいなのが横行するとは信じられない。

そんな安価の四元数の本など日本でも他にはないのに。

それに私は初版の発行時に三十万円の印税をもらった後は本がいくら売れても、増刷されるときにしか印税は入らない。

しかし、四元数はマイナーな分野だから、小説みたいに何万部も本が売れることはない。

数学の本としては破格のベストセラーになった『オイラーの贈物』は元の海鳴社版は３万部が売れたという。その後、東海大学出版会の発行となったが、こちらはどれくらい売れたのだろうか。

「数学・物理通信」12巻3号の発行

さきほど「数学・物理通信」12巻3号の発行を発行した。とはいってもメールでこのpdfのファイルを送るだけである。

だからなんということはない。でも正しいメールアドレスに送らないと届かないことになる。

数か月前だったか何人くらいの方に送っているかと尋ねられてその数を数えたら、８１人だった。その送り先は時間の経過とともに変わって来ている。

それにインターネットのサイトにも名古屋大学の谷村省吾さんのご尽力で出ているので、別に私のメールアドレスに登録されていなくても、その内容に接せることができる。

単に「数学・物理通信」と入力するだけで検索できる。

Les absents ont toujours tort.

Les absents ont toujours tort.（レ　ザブサン　オン　トゥジュール　トール）とは直訳すれば、「不在者（たち）はいつもまちがっている」という。いわゆる「欠席裁判」だという。

 

「そこにいないとやっかいなことをおしつけられる」という意味だという。

avoir tortは「間違っている」という意味だし、avoir raisonは「正しい」という意味である。

 

Tu as tortというと「君はまちがっているよ」という意味だし、J'ai raisonだと「私は正しい」ということである。

 

（２０２５．４．1付記）

これは間違っていたかどうかの自信はないのだが、フランス語の読みを（レ　アブサン　・・・）から（レ　ザブサン　…）に変えた。どちらが正しいわからないが、いまの修正した方が多分正しい発音だろう。読者の方がこのブログを読んでくださったために気がついた。

Lie群の表現とようやく論理がつながりそうだ

Lie群の表現とようやく論理がつながりそうだ。

これは私にとってということである。世間一般がそうだということでは決してない。いや数学としてはもすでに昔々に解決済みの話であるが、私にとってはそのつながりがついていなかった。

いやはや、こんなことだから自分の頭のわるさがほとほとうらめしい。最近、Lie代数の話が四元数と関連して出てきている。それでこの際に私もと思っている。

何十年も昔に私も少しばかりはLie群を学ぼうとしたことがある。そしてそれが身につかないうちに、そのことを忘れてしまったという次第である。

だからまったく知識がないとはいえないのだが、総合的な知識としては一貫したものとなっていない。部分、部分をかじったことがあるだけだった。それがこの機会に総合的な知識に発展するのであろうか。それとも旧態依然たるままに残るのであろうか。それは私もわからない。

悩むこと

「悩むこと」といっても個人的な悩みではない。

つい昨日だったか一昨日だったかに、球面線形補間の金谷さんの説明の筋の通った説明を見つけたと書いた。

その取扱いについて悩んでいる。私などは別に個人を追い詰めるつもりではないが、金谷さんの説明しているところを逐一述べてから、その分岐点となるところまで明らかにしたいという気がする。

それは別に個人的に恨みがあるわけでもなんでもないが、ものごとの論理をはっきりさせたいという欲求が私には強いからである。

しかし、そういうことをすると普通の人は他人の欠点とか短所をあげつらうのだと思うかもしれない。そういう気持ちはまったくないので、どうしたものかと考える。

同じように『3Dグラフックスのための数学入門』（この本の著者の名誉のためにわざと発行所を書かない）の「四元数と球面線形補間」の箇所も問題である。この書ではまちがったことは書いていないが、不十分な記述だと思う。この記述がひょっとしたら、金谷さんの本とかインターネットのサイトにあった、解説に起因しているのではないかと思ったりするからである（注）。

どこからその知識とか情報を得たかについてのソースをあまり明らかにしないで本とかインターネットのサイトで説明することが世間一般では多い。私はできるだけ自分がその知識とか知見とか情報をどこから得たかを明らかにするために参考文献をあげるように心がけている。

その私でも球面線形補間で、ある一次独立な二つのベクトルで互いにベクトルが垂直でないときに、一つのベクトルに垂直なベクトルのつくり方として、Bussの”3D Comuter Graphics"（Cambridge Univ. Press)から学んだのかどうかがあやふやである。

確かに、二つのベクトルが互いに垂直でないときにはその二つのベクトルを用いて、どちらかの一つのベクトルの垂直なベクトルをつくればよいということを上記の書から学んだ。が、垂直なベクトルをGram-Schmidの直交化法で求めることは自分ですぐに思いついたように思っているからである。

それで、上記の書の該当部分のコピーをもっているはずだと思って、Bussの本のコピーを自分の持っているファイルの中に探しているのだが、どうしたものか、そのコピーを自分のつくった、ファイルの中に見つけることができない。それでひょっとしたら自分の思い込みにしかすぎないかもしれないことを、糺すことができないでいる。

（注）この辺もひょっとしたら私の思い込みで、この本の説明通りでも首尾一貫するのかもしれない。だからここに書いたことは私の理解不足なのかもしれない。

「数学・物理通信」12巻3号の編集がおわった

昨日「数学・物理通信」12巻3号の編集がおわった。これは、しかし、すぐにこの号を発行するということではない。

来週の月曜日以降に発行ということで数日手元においておくことになる。これはこのことについても毎回このブログに書いていることだが、私はあわてもので思わぬミスをすることがあるから、そういう期間をわざととっているのだ。

なんでも発行が遅くなるとそれだけでも嫌なもので、できるだけ早くことを済ませてしまいたいというのは私だって同じである。

しかし、自分が慌て者であるという事実を考えて、あえて自重をしている。それでもミスは絶えないのだから、私など罪深いものである。

（付記）2009年12月にはじめた「数学・物理通信」の発行であるが、昨年9月には見事に通巻100号を達成した。e-mailで無料配布の雑誌である。発行は３の倍数の月（3, 6, 9, 12月)である。

また、この「数学・物理通信」のバックナンバーは名古屋大学の谷村先生のご尽力により彼のサイトに掲載されている。谷村先生、いつもありがとうございます。

だから、インターネットで検索してもらえば、いつでも見ることができる。

6253件のブログ

6253件のブログを今まで書いたことになるらしい。

いつもいうように１年はだいたい50週であるから、日曜日を除く毎日１件ずつブログを書くとして、6253を300で割ると20と端数となる。

ということはほぼ20年ブログを書いて来たことと等しい。もっとも実際は2005年の4月の終わりにブログを書き始めたのだが。

だから、今年でブログを書いて18年目になる。ずっと続けるという意味では私などよりもすばらしいことをなさっている人はこの世界にはたくさんおられるだろう。

詩をたくさん書いて知人に送っていたという方も松山の近郊には住んでおられた。この方はもう亡くなられているが、その方を記念した記念館が松山の隣町である、砥部町にある。

有名な方なのだが、いまちょっとお名前を失念して思い出せない。

C' 'etait moins une.

　　　　C' 'etait moins une. 　（セテ　モアン　ユンヌ）

直訳すると「１分前だった」ということらしいが、日本語なら「間一髪だった」ということにあたるという。

時刻を言うときに「９時２０分前」であれば、

　Il est 9 heures moins 20. （イレ　ヌヴ―ル　モアン　ヴァン）

などというときにmoinsを使うが、このmoinsである。

仕事は遅いのだが、

私は仕事は遅いのだが、最近は毎日が楽しくて仕方がない。

他の人から見たら、何を喜んでいるのだろうといぶかしがられるかもしれないが、それでも自分の納得が得られるような、ものごとの理解にまれにではあるが、到達する。

なんでも、なかなか自分自身の納得が得られないのは、私の頭がよくないせいだとばかり思っていたが、そればかりではなくそれも自分の個性だと最近になって思うようになった。

これはある意味では生まれつきなので、そういう風な、鈍な頭をもつ子に生んでくれた、すでにこの世にはいない、両親に感謝すべきかもしれない。

この頃は「球面線形補間」について、また見直している。2014年にこれについて「数学・物理通信」に書いて、そのことは自著の『四元数の発見』（海鳴社）に載せたので、すべてその当時私のわかった範囲内だが、球面線形補間の公式の導出のすべてを書いた。

それからおよそ8年が経過して、昔、私が理解不能としたことの解読に成功したと、このブログで数日来述べて来た。これは私の参照した文献の著者である金谷（かなや）さんが自分の手の内をどこかで見せてくれているのかもしれないが、私自身はこの金谷さんの解説にはまだ接していない（注）。

（注）金谷（かなや）さんとわざとフリガナをかっこ内につけたのは同じ金谷だのに（かなたに）さんというえらい先生も他におられるからである。他に他意はない。

球面線形補間の新しい導出になるのか

金谷（かなや）さんの方法をすこし洗練したら、意味の通った新しい球面線形補間の導出法になるかどうか今考えている。

私が理解できなかったと一度は放り出した方法だが、意味をつけることができそうな感じもしている。

Gram-Schmidtの直交化法ではないが、あるベクトルに垂直なベクトルの見つけ方があることはわかった。簡明さではGram-Schmidtの直交化法にはかなわないが、それでもそういう方法があることはわかった。

いまはそういうことの議論ではなく、もうちょっと違った観点が成り立つかどうかを考えている。それが成り立つのかはたまた単に類推だけであるのかはまだはっきりしない。

眠っていたときにどうも新しい導出法として考えてよさそうだとの感触をつかんだ気がしたが、どうも目覚めて見れば、まったくの根無し草のようでもある。

もう少し突き詰めて考えて見る必要ができた。

(2022.12.19付記)　金谷（かなや）の方法をきちんと突き詰めてこれが球面線形補間の導出の一つとなっていることを確かめた。これはすでに「数学・物理通信」１２巻５号(2022.9.9)に書いた。関心のある方はインターネット検索してみてください。名古屋大学の谷村先生のサイトに行きつくはずである。

(2023.9.27付記)　球面線形補間ということでは、金谷の方法にこだわる必要はない。いくつかの球面線形補間の導出法を小著『四元数の発見』に書いたのでそちらを参照して下さい。Gram-Schmidtの方法による簡便な導出をそこに書いた。

『四元数の発見』は昨年１１月だったかに第２刷が出ている。ミスプリントもほぼ修正したので読みやすくなったと思う。

(2024.10.28付記) 『四元数の発見』は第２刷のときに気の付いたミスプリは修正したのだが、昨日見ていたらやはり修正をした方がいいことを見つけた。

前から気がついていただろうが、直すことを忘れていたところだった。まったくのまちがいでもないのかもしれないが、修正をした方がいいところだ。

6月の子規の俳句

もう６月になった。

日ごろ忙しくしていると月日の経つのが早い。

さて、6 月の子規の俳句を紹介しておこう。

　　禅寺になにもなきこそ涼しけれ　　　子規

　　Coolness ---

       there is nothing 

       in the  Zen temple    (Shiki 1896)

子規は３０そこそこで亡くなったと思うが、詠んだ俳句は２万句とも３万句ともいわれる。普通の人間のできることではない。

私たちが毎月1句だけ紹介していくのなら、ほとんど無限に子規の俳句はあると感じるだろう。

松山は特に子規の出身地であるし、いまでもE大学の近くの平和通りには大きくはないが、子規の俳句の句碑とか漱石の俳句の句碑がある。

それ以外にもいたるところに句碑がある。こんなに句碑の多い町はさすがに他にはないだろう。JRの駅前にも大きな句碑がある。

　春や昔　十五万石の城下かな

であったか。

L'avenir appartient `a ceux qui se l`event tot

　　　L'avenir appartient `a ceux qui se l`event tot.

（ラヴニール　アパルティアン　ア　スー　キィ　ス　レーヴ　トー）　

　未来は早起きする人たちのものだ

（カタカナの発音はフランス語のわからない人のための補助だから、フランス語の得意な人は無視してください。s' il vous plait）

とはあまり早く起きるのがあまり得意ではない私のようなものには耳の痛いことわざである。

appartenirとは「・・・のものである、とか、所属する」という意味らしい。ドイツ語なら、

gehoerenという語を使うだろうし、英語ならbelongという語を使うかもしれない。

(2022.6.10付記)　上のフランス文がおかしいと感じておられる方もおられよう。たとえば、`aはa アクサン　グラ―ヴのつもりなのである。`eもeアクサン　グラ―ヴ のつもりである。だからそのつもりで読んでほしい。

フランス語ではこれらのアクサン(accent)はつづり字の一部であるから、普通は省略することはないのである。

昨日は疲れたので

昨日は疲れたので夕食後にテレビを見ながら、ぐうぐうとねむってしまった。ようやく目が覚めたが、深夜の１２時３０分であった。

それから床についたのだが、まったく眠れない。２時半ごろに起き出して自分の本である『四元数の発見』の10章の「四元数と球面線形補間」のところを読み返した。

昼間に久しぶりにインターネットで球面線形補間について検索をした。昔、『四元数の発見』になる「数学・物理通信」の連載原稿を書いていたころにすでにあったサイトも全部ではないが、残っていたりして懐かしかった。

それ以外にも新しく球面線形補間について解説したサイトもあったりした。この説明の図はなかなかわかりやすかったので、「球面線形補間について書くときにはこの説明も付け加えなければならないな」などと考えた。

自分の本の該当の章を昨夜読んでみて、このサイトの説明と同じ説明はいくつかの球面線形補間の導出の一つとして、私もすでに書いてあることを確認した。が、それにしてもこのサイトの図はわかりやすかったので、今度改訂する機会があれば、その説明図はつけ加えたいと考えている。