日曜に『数学通論』の複素解析のところを読んでいたら、どうも私は無限級数の収束等のところがあまりよくわかっていなかったことに気がついた。それで『解析概論』を取り出してみたが、どうもこの本を分かるほど頭がよくはないらしいとわかった。
それで別の本を取り出してきて読もうとしている。実は複素解析の解析接続のところを読もうとしていたのである。
どの本にも書いてあるが、
f(x)=1+x＋x^[2}+x^{3}+・・・
という無限級数は|x|<1なら、この無限級数の和が存在して
F(x)=\frac{1}{1-x}
であることは高校生でも知っている。
ところが|x|=>1のときは
f(x)=1+x＋x^[2}+x^{3}+・・・
は発散して和をもたない。だから関数f(x)は|x|=>1では意味をもたない。
ところが、
F(x)=\frac{1}{1-x}
はx=1では定義されないが、その他の実数では定義できる。そして、|x|<1ではf(x)とF(x)とは一致する。それでF(x)はf(x)の解析接続といわれる。いまはじめにxを実数に限ったが、xを複素数zに一般化して普通は解析接続の概念は実数ではなく、複素数関数で定義される。