オイラーのド・モアブルの公式

現在、高校で習うド・モアブルの公式は18世紀にオイラーが『無限解析入門』（『オイラーの無限解析』）で導いたものである。
オリジナルのド・モアブルの公式は次のような形のものだった（1707年）。（『グレイゼルの数学史Ⅲ』参照）
　　
グレイゼルによれば、ド・モアブルの関心はcos Bをcos nBで表わすことにあったという。オイラーはこの式から2つの共役な複素数（虚因子）を洞察し、三角関数の基本公式cos² x＋sin² x＝1を因数分解することからド・モアブルの公式を導出した。

1　√(cos²nB－1）はi sin nBだから、虚因子(cos nB＋i sin nB)がある。
2　1/(cos nB＋i sin nB)＝(cos nB－i sin nB)だから、虚因子(cos nB－i sin nB)が出てくる。
3　(cos nB＋i sin nB) (cos nB－i sin nB)＝1である。

4　 三角関数の基本公式cos² z＋sin² z＝(cos z＋i sin z) (cos z－i sin z)
5 　オイラーは、 cos z＋i sin z , cos z－i sin z に指数関数の性質を確認して、ド・モアブルの公式
　　
を導いた。

6　確認。上の式のn乗根をとると、
　　cos z＋i sin z＝(cos nz＋i sin nz)^1/n
　　cos z－i sin z＝(cos nz－i sin nz)^1/n
7　たすと、
　　2 cos z＝(cos nz＋i sin nz)^1/n ＋ (cos nz－i sin nz)^1/n
　　cos z＝1/2･((cos nz＋i sin nz)^1/n ＋ (cos nz－i sin nz)^1/n)
ここで後(cos nz－i sin nz)^1/n= (cos nz＋i sin nz)^－1/nだから、
zをBで置き換えると、
　　
であり、
また、
　　
である。