直交座標と斜交座標

普通に高校くらいまで数学を学んだ人々には座標系とは直交座標系のことである。

 

ところが少し高等な数学（たとえばテンソル解析とか結晶学）を学んだ人には直交座標だけでは済まなくて、座標軸が９０度ではない角度で交わっている座標系に出会う。それを斜交座標系という。

 

いつだったかもこのブログでも書いたが、日本語の辞書の編纂者にもそのことが理解されていなくて、射影という概念も座標軸に垂直な光を当てたときにできる正射影と座標軸に平行な光線を当てたときにできる平行射影とに分かれるという概念が辞書の編纂者にも理解されていないことがわかる。

 

昨日書いた双対空間はもし普通の直交座標系ならば、双対空間は元の空間そのものである。だからいわゆる「双対基底」を考える必要がない。

 

ところが、もしか座標軸同士が直交していないときにはその軸に沿った基底ベクトルの内積（スカラー積）をつくっても0とはならない。

 

そうすると基底ベクトルの内積が0となるような元の座標系の座標軸にそった基底ベクトルは存在しないから、別の座標系を見つけて来なくてはならない。そういう座標系を双対空間という。そして双対空間での基底ベクトルを双対基底ベクトルという。

 

要するに直交座標での座標軸に沿った基底ベクトルはその基底ベクトルの内積をつくれば、その内積は０である。このことは数学的に取り扱うときに都合がいいことであるので、斜交座標系でもそういうものを人工的につくってやろうというのである。

 

それが双対空間の出所の所以であろう。

 

結晶学では双対空間のことを逆格子空間といい、元の直接空間と区別している。

 

（２０２５．３．２３付記）正射影と平行射影という用語がある。斜交座標系の座標軸に沿った射影を平行射影と呼んでいる。これは正式の用語かどうかはわからない。そのときにできる射影線分でベクトルを定義すれば、それがベクトルの共変成分をなす。

 

またはベクトルにその座標系の軸にそれぞれ垂直の光をあてて、その影というか成分をみる。これをそのベクトルの反変成分という。座標軸に垂直に光をあててベクトルの影の長さを調べるのが反変成分である。

 

私はこの後者の場合を正射影というのだと思っている。ところが『ベクトルとテンソル』（岩波書店）の訳者はどちらも正射影という語を使っている。正射影と平行射影という語で区別をした方がいいのではないかと考えているのだが、識者のご意見を伺いたいと思う。

 

ともあれ、「垂直な正射影」と「平行な正射影」という用語はおかしいのではないか。正射影は座標軸に垂直な射影に限るという定義ではなかったのか。

 

ここまで書いてちょっと私の持っている数学辞典を参照したが、あまりはっきりとはしない。正射影はorthogonal projection（直交射影）の訳語である。数学英和辞典にはoblique projection（斜交射影？）という語もあるので、平行射影はoblique projectionというのが正しいのかもしれない。