べき

同じ数（式）を何回か掛け合わせた結果の、元の数（式）に対する称（新明解国語辞典）。8は2の「べき」である。累乗のこと。8は2の３乗。8は2の3乗「べき」である。
漢字は冪である。わかんむりに幕。ワかんむりの漢音が「べき」で、「覆う」の意味を示す。漢和辞典には「冪」は覆いかぶせる、たれまく、ものを覆うきれの意味に加えて、同じ数の相乗積の意味が載っている。江戸時代の和算家は「巾」で代用していたという。「覆う」と「べき」の関係がうまく繋がらない。肩の数字（指数）が関係しているのだろうか。（乗冪の「乗」なら肩に乗る指数とつながる）
ところで、「冪」も「巾」も常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降は仮名書の「べき」または「累乗」へ書き換えられているという。昇べきの順、べき級数。
ちなみに、『オイラーの無限解析』（レオンハルト・オイラー著/高橋正仁訳/海鳴社）は「冪」である。『無限のなかの数学』（志賀浩二著/岩波新書）は「巾」である。

たわわ

たわむほどのさまを表わす。たわむは「撓む」と書く。たわむは、まげる、まがるの意である。英語ではbend。慣用句「枝もたわわに実る」。蜜柑の実が大きくなり、枝がたわんでいる。これは、花ボケしたミカン。例年より少し多い程度にまで調整されてきている。果実はまだすっぱい。

オイラーの公式

LaTexの修業も兼ねて「オイラーの公式と複合論」を見直している。もう少し、みやすくわかりやすいものにしたい。
オイラーの公式
e^ix=cos x + i sin x
　　　

アポストロフィーとダッシュ

アポストロフィーは、文字の省略または短縮されていることを表示する。
o'clock (=of the clock)
ダッシュは「一つ下の単位」や「類似するもの」を表わす。
1°2′3″(=1時間2分3秒、1度2分3秒)
「A」と「A′」
ダッシュは、イギリスの影響を受けた国（日本やインドなど）の呼び方だという。国際的には「プライム」と呼ばれていて、ダッシュはマイナスの記号に似た横線(—)である。
アポストロフィーの記号はキーボードに用意してあるがダッシュはない。入力にはいろいろやり方がある。ひらがな入力で「きごう」と打ち「プライム」を選ぶ。また直接入力のまま b4[Alt]+[ X ]と打つ、など。
さて、これまで2つの「論理的なもの」を「A」と「A’」のように、ダッシュではなくアポストロフィーで表示してきた。ダッシュの記号が弱々しく思えたのである。ところがLaTexで見てみるとまったく弱々しくない。むしろ整っている。Latexの原稿ではダッシュ（プライム）で表記することにした。\primeがダッシュ（プライム）のコマンドである。
ダッシュ「′」は数学では類似するものだけでなく微分や補集合の記号としても使われている。2つの「論理的なもの」を、「A」・「A′」と表記しても類似しているものだけを指すわけではない。むしろ異なったものを指す場合の方が多い。基礎にあるのは、「A」と「A′」はそれぞれの傍らにあるということである。

2016

高校生がもってきた問題に次のようなものがあった。

(1) 2016と2²⁰¹⁶+1は互いに素であることを証明せよ．
(2) 2²⁰¹⁶+1 を2016 で割った余りを求めよ．
(3) 2²⁰¹⁶(2²⁰¹⁶+1)(2²⁰¹⁶+2)…(2²⁰¹⁶+m) が2016 の倍数となる最小の自然数mを求めよ．

一見して、今年の問題だとわかる。数学の時事問題である。大学の先生はいろいろ工夫して楽しんでいるようだ。調べてみると九州大学・理（後期）で出題された問題だった。解答例はネットにいくつかある。今年2016は、2016=2⁵・3²・7で合成数だが、来年2017は素数である。関連する問題は作られるだろうか。

1864年の「光の電磁波説」

〈「光の電磁波説」の誕生2〉を〈1864年の「光の電磁波説」〉に改題した。内容と直結して、わかりやすいタイトルになったと思う。内容はほとんど変わっていない。
Kazumoto Iguchi氏の翻訳「電磁場の動力学的理論」の脚注に次のようにある。
_ last revised on 5 Sept. 2012. translated to Japanese by Kazumoto Iguchi. Original paper: Received October 27, — Read December 8, 1864. James Clerk Maxwell, of the Royal Society (London), 155 (1865) pp.459 – 512.
また、Philosophical Transactionsには、次のようにある。
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field　J. Clerk Maxwell
Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1865 155, 459-512, published 1 January 1865
マクスウェルの"A Dynamical Theory of Electromagnetic Field"は1864年に執筆され、1865年に公開されたことがわかる。1864年の「光の電磁波説」というタイトルは、A Dynamical Theory of the Electromagnetic Fieldが書かれた1864年を考慮したものである。
さて、〈「光の電磁波説」の誕生2〉では波動方程式は次のようだった。
　　　
d²/dt²が縮んでいて気になっていたが、どうすることもできなかった。改行など試みてはみた。ところが別の不具合を解決しようとして見つけたコマンドをここで試してみたらうまくいった。行の間隔を調整できることも知った。〈1864年の「光の電磁波説」〉では次のようになっている。
　　　
〈1864年の「光の電磁波説」〉の出発は「εとμ の複合――マクスウェルの弁証法」（2007年）である。ここの数式はWordで数式を作成してスキャナーで読み込んで画像ファイルにしたものである。ずいぶん手間をかけた。しかし残念なことに、偏微分の上付き文字2の位置がほとんど間違っている。例えば、∂²H/∂t²ではなく、∂²H/∂²tになっている。どうしていたのだろう。（これ以前の「マックスウェルの発想と複合論」（2003年）では正しい表記になっている。）
〈1864年の「光の電磁波説」〉をみていただきたい。（〈「光の電磁波説」の誕生2〉もそのまま残してある。）
1864年の「光の電磁波説」

名称の変更

共時的構造と通時的構造、かなり前から使ってきたが、いま書いてみると手に馴染まなくなっている。
共時的構造とは、時間を固定して空間的な差異をみることによって出現する構造を指していた。これは時間を捨象しているから、単純に「場所的構造」とする。通時的構造とは、場所を固定して時間的な差異をみることによって出現する構造を指していた。これを「過程的構造」とよぶことにする。
波のグラフで説明してみよう。
位置(x)と媒質の変位(y)を表す波のグラフ(y-x図)では、ある時刻での波形が表される。これが場所的構造である。一方、時間(t)と媒質の変位(y)を表す波のグラフ(y-t図)では、ある位置の媒質の変位の時間変化が表される。これが過程的構造である。
「ひろがるかたち」（弁証法の場所的構造）
　　　　
「つながるかたち」（弁証法の過程的構造）
　

LaTex修行

「ひろがるかたち」（弁証法の共時的構造）はラインなしの表である。「つながるかたち」（弁証法の通時的構造）はラインありの表である。今日は「つながるかたち」（弁証法の通時的構造）の表示を試みた。外形はすぐに出来たが、偶数行の中央にどのように文字を置けばよいのか。これを表示できるコマンドを見つけるまでに時間がかかった。
「つながるかたち」（弁証法の通時的構造）
　　　　　

LaTexとHTML

Latexでも「ひろがるかたち」（弁証法の共時的構造）のアルファベット表示ができるようになった。いままでは列指定と空白の表現がわかっていなかった。今日はパスカルの三角形の表示を試みた。ここでも空白の表現がポイントになった。
DVIの表示をこのブログに表示するにはどうしたらよいのか。PDFは手間がかかりすぎる。そこで思いついたのがDVIの表示の画像ファイルを作りアップすること。
「ひろがるかたち」（弁証法の共時的構造）
　　　　　　
パスカルの三角形
　　　　　　
マクスウェルの波動方程式
　　　　　　

草刈り

午後から2時間ほど草刈り。昨年は雑草を観察するために、あまり草刈りをしなかったが、今年は頻繁にやっている。先週のアレチムスビトハギの刈取のときは金属刃に取替えたが、使うのはほとんどナイロンカッターである。15年ほど使ったM社のナイロンコードカッターを今日、新品に替えた。小石が飛ぶ。小さなニホンカナヘビが草の中から出てくる。しばらくは雨がふっても足元を気にしなくていいだろう。